عزم الدوران والتسارع الزاوي: كل الحقائق التي تحتاج إلى معرفتها


يرجع التسارع الزاوي للجسم إلى الحركة الدورانية للكائن حول محوره من نقطة مركز الجاذبية ويكون عزم الدوران مسؤولاً عن الحركة الدورانية للجسم.

نظرًا لتطبيق القوة عرضيًا على الجسم ، فإن القوة المكافئة تؤثر على النقطة الواقعة مقابلها وتعمل في الاتجاه المعاكس الذي يميل إلى تدويرها مع التسارع الزاوي ، وبالتالي يظهر كل من عزم الدوران والتسارع الزاوي في الصورة في حالة جسم دوار.

العلاقة بين عزم الدوران والتسارع الزاوي

إن صافي عزم الدوران الذي يعمل على الجسم يتناسب طرديًا مع التسارع الزاوي للجسم ويرتبط عكسًا بقصور الدوران حول محور دورانه.

السرعة التي يكتسبها الجسم تعتمد على عزم الدوران المطبق على الجسم و التسارع الزاوي هو التغير في السرعة الزاوية مع وقت دوران الكائن حول محور.

معادلة التسارع الزاوي والعزم

We أعلم أن عزم الدوران هو نتاج القوة المطبقة على الجسم ومدى إزاحته عن القوة المطبقة.

τ = القوة * الإزاحة

و F = أماه

ضع في اعتبارك قرصًا دائريًا نصف قطره 'r' ويتم تطبيق القوة F على القرص لتدويره حول محور يمارس عزم دوران τ يتحرك مع تسارع زاوية α.

عزم الدوران على قرص

θ هو الإزاحة الزاوية للقرص عند تطبيق عزم الدوران ، ω هي السرعة الزاوية و a هو تسريع القرص.

دع الإزاحة تساوي 'r' من محور الدوران ثم نحصل عليها

τ = أماه * ص

إذا كان الجسم يدور بسرعة زاوية ω فإن السرعة الزاوية ترتبط بالتسارع الزاوي α = ω / ر ويتعلق تسارع الجسم بالتسارع الزاوي مثل

أ = ص

باستخدام هذا في المعادلة أعلاه ، لدينا

τ = السيد2

مصطلح السيد2 ليست سوى لحظة القصور الذاتي للكائن الممتد في جميع أبعاد الكائن. لذلك،

أ = Iα

هذه هي المعادلة التي تدل على العلاقة بين عزم الدوران والتسارع الزاوي للجسم.

الرسم البياني للعزم والتسارع الزاوي

بالإشارة إلى المعادلة التي توضح العلاقة بين عزم الدوران والتسارع الزاوي للجسم التي وجدناها أعلاه ، يمكننا رسم رسم بياني لعزم الدوران والتسارع الزاوي.

لنفترض أن لحظة القصور الذاتي I = 0.67kg.m2، ثم

إذا كانت α = 10 إذن

τ = Iα

= 0.67 * 10 = 6.7 نيوتن متر

إذا كانت α = 20 إذن

τ = 0.67 * 20 = 13.4 نانومتر

إذا كانت α = 30 إذن

τ = 0.67 * 30 = 20.1 نانومتر

ومن ثم نحصل على رسم بياني لعزم الدوران v / s التسارع الزاوي كما هو موضح أدناه: -

عزم الدوران والتسارع الزاوي
رسم بياني لعزم الدوران مقابل التسارع الزاوي

من الواضح أن منحدر الرسم البياني لعزم الدوران v / s العجلة الزاويّة سيعطينا لحظة القصور الذاتي للجسم ، ويُلاحظ أن التسارع الزاوي يزداد خطيًا مع زيادة عزم الدوران.

ومن ثم ، إذا اكتشفنا عزم الدوران المعطى للجسم والتسارع الزاوي الذي يكتسبه الجسم ، فيمكننا حينئذٍ معرفة لحظة القصور الذاتي للكائن من خلال رسم رسم بياني لعزم الدوران مقابل التسارع الزاوي.

اتجاه التسارع الزاوي والعزم

إذا نظرنا إلى الرسم البياني أدناه بعناية ، يمكننا أن نفهم أن القوة المؤثرة على الجسم المماس له ويبدأ الجسم في الدوران مع التسارع الزاوي المتعامد مع القوة المطبقة عليه.

يظهر العزم الناتج عند محور الدوران في الرسم التخطيطي المتعامد مع القوة وكذلك التسارع الزاوي للجسم.

يوفر اتجاه عزم الدوران والتسارع الزاوي للجسم

نفس الشيء يمكننا تصويره على المحاور الثلاثة كما هو موضح أدناه: -

اتجاه القوة التسارع الزاويو عزم الدوران

في هذا الشكل ، يمكننا أن نرى بوضوح أن القوة ، والتسارع الزاوي ، وعزم الدوران كلها متعامدة مع بعضها البعض.

إذا تم تطبيق القوة على المحور x ، فسيكون اتجاه التسارع الزاوي للجسم عموديًا على القوة في الاتجاه y وسيتم تطبيق عزم الدوران المقابل في المحور السمتي الذي يكون المحور z متعامدًا على كليهما .

يمكن حفظ نفس المفهوم باستخدام قاعدة الإبهام اليمنى.

اتجاه القوة والتسارع الزاوي والعزم باستخدام قاعدة RHT

إذا كنت تمسك بيدك اليمنى كما هو موضح في الصورة أعلاه ، فإن الإبهام يشير إلى اتجاه عزم الدوران المبذول على الكائن ، وتمثل أصابع المنحني اتجاه التسارع الزاوي للكائن ويُشار إلى القوة العمودية على كليهما كف يدك.

كيف تجد عزم الدوران مع التسارع الزاوي؟

ينتج التسارع الزاوي للجسم عن بذل عزم دوران على جسمه.

يمكن العثور بسهولة على عزم الدوران من خلال معرفة التسارع الزاوي للجسم ولحظة القصور الذاتي باستخدام الصيغة τ = Iα ، حيث τ هو عزم على الجسم ، وأنا لحظة القصور الذاتي وألفا هو تسارع زاوي للجسم.

لحظة القصور الذاتي هي نتاج مجموع كتل الجسيم المكونة للجسم ومربع المسافة من نقطة التسارع الزاوي لحافة الجسم ومحور الدوران وهو اتجاه كائن لخفض التسارع الزاوي.

إذا تم تدوير قرص صلب بوزن 1 كجم ونصف قطره 12 سم لإعطاء تسارع زاوي قدره 2π راديان / ثانية2 إذن ما هو عزم الدوران المطبق على القرص؟

معطى: م = 1 كجم

ص = 12 سم = 0.12 م

أ = 2π راد / ثانية2

لحظة القصور الذاتي للقرص

الآن يمكننا حساب العزم المبذول على القرص كـ

ومن ثم فإن العزم المطبق على الجسم هو 0.045 نيوتن متر

كيف تجد التسارع الزاوي من عزم الدوران؟

بمجرد تطبيق عزم الدوران على الجسم ، سيبدأ في الدوران مع بعض التسارع الزاوي اعتمادًا على لحظة القصور الذاتي للجسم.

يمكن حساب التسارع الزاوي من مقدار عزم الدوران المطبق على الكائن باستخدام الصيغة [اللاتكس] \ alpha = \ frac {\ tau} {I} [/ latex]. سوف ينتج عزم الدوران المطبق التسارع الزاوي بينما ستحاول لحظة القصور الذاتي للجسم معارضة هذا التسارع الزاوي في نفس الوقت.

ما العجلة الزاوية لكرة بولينج كتلتها 800 جرام ونصف قطرها 12 سم إذا كان عزمها 3.5؟ ضرب 10-4 Nm يتم تطبيقه على الكرة؟

معطى: τ = 3.5 * 10-4 نانومتر

ص = 12 سم = 0.12 م

م = 800 جرام = 0.8 كجم

الآن دعونا نحسب أولاً لحظة القصور الذاتي لكرة البولينج. لأن كرة البولينج كروية الشكل

ومن ثم ، فإن التسارع الزاوي لكرة البولينج هو

التسارع الزاوي لكرة البولينج هو 0.076 م / ث2.

هل التسارع الزاوي ناتج عن عزم الدوران؟

التسارع الزاوي هو نتيجة الحركة الدورانية للجسم والتي يتم الحصول عليها من خلال إعطاء عزم دوران للجسم.

يتم إنشاء عزم الدوران من خلال تطبيق القوة بشكل عمودي على محور دوران الجسم ويبدأ الجسم بالدوران على محور الدوران الخاص به ، مما يجعل زاوية 90 درجة في اتجاه عزم الدوران المطبق.

عزم الدوران والتسارع الزاوي للحدافة

الحدافة هي آلة تستخدم لتخزين الطاقة داخلها وتولد قدرًا كبيرًا من الطاقة الكهربائية عندما يتم إعطاؤها عزمًا لتسريعها.

حذافة على آلة بخار ؛ حقوق الصورة: pixabay

ضع في اعتبارك أن دولاب الموازنة تدور في اتجاه عقارب الساعة حيث يتم ممارسة القوة F عليها كما هو موضح في الشكل أدناه. نصف قطر دولاب الموازنة هو "r" ويقع محور دورانها في المركز.

رسم تخطيطي مجاني لجسم دولاب الموازنة

عزم الدوران الذي يعمل على دولاب الموازنة هو

τ = القوة * الإزاحة

القوة الناتجة عن الجاذبية على دولاب الموازنة هي F = mg والإزاحة الشعاعية للحذافة على طول نصف قطرها 'r'.

ومن ثم ، نحصل على التعبير عن عزم الدوران كـ

τ = المونسنيور

نظرًا لارتفاع دولاب الموازنة إلى ارتفاع "h" ، فإن فقد الطاقة الكامنة في الماكينة يساوي mgh.

الطاقة الحركية للعجلة الدوارة التي تدور بسرعة الزاوية ω تساوي

KE = 1 / 2Iω2

حيث أنا لحظة من القصور الذاتي و هي السرعة الزاوية للجسم

التسارع الزاوي للجسم هو التغير في السرعة الزاوية فيما يتعلق بالوقت ويعطى بواسطة

α = dω / dt

عزم الدوران على دولاب الموازنة هو

τ = Iα

استبدال ألفا

τ = معرف / دينارا

هذه المعادلة مستقلة عن العجلة الزاوية.

We أعلم أن عزم الدوران يتناسب طرديًا مع العجلة الزاوية بالمعادلة

τ = Iα

ومن ثم ، فإن التسارع الزاوي هو نسبة عزم الدوران وعزم القصور الذاتي للجسم.

α = τ / أنا

الآن ، أوجدنا معادلة عزم دوران دولاب الموازنة ، فلنقم بالتعويض عنها هنا في هذه المعادلة لإيجاد العجلة الزاوية.

α = المونسنيور / أنا

نضرب 'r' في البسط والمقام نحصل على

α = السيد2ز / إر

منذ أنا = السيد2 باستخدام هذا في المعادلة أعلاه

α = Ig / Ir

α = ز / ص

يوفر يرتبط التسارع الزاوي عكسيا إلى نصف قطر الجسم ؛ هذا يعني أنه إذا كان قطر الجسم أكبر ، فإن التسارع الزاوي للجسم سيكون أصغر.

عزم الدوران والتسارع الزاوي لجسم صلب

الجسم الصلب هو جسم صلب لا يتشوه بأي تسلسل وتتوزع الكتلة باستمرار في جسم صلب.

لحظة القصور الذاتي للجسم الصلب ثابتة وتتناسب طرديا مع الزخم الزاوي للجسم الدوار. يتم تقديمها من خلال العلاقة مثل

أنا = L / ω

ومن ثم ، فإن عزم الدوران على الجسم الصلب هو

ويرتبط عزم الدوران بعزم القصور الذاتي بواسطة المعادلة

بالتعويض عن معادلة الزخم الزاوي في هذه المعادلة هنا ، نحصل على

ω ليست سوى السرعة الزاوية وتساوي التسارع الزاوي بمرور الوقت.

ومن ثم ، حصلنا على ذلك ، فإن العزم الذي يعمل على جسم صلب يساوي أيضًا الزخم الزاوي للجسم لكل وحدة زمنية.

ومن ثم ، يمكننا الآن إيجاد العجلة الزاوية للجسم على النحو التالي

يمكننا إيجاد العجلة الزاوية لجسم صلب باستخدام هذه الصيغة.

ما العجلة الزاوية وعزم الدوران لقضيب أسطواني كتلة صلبة؟

فكر في قضيب أسطواني بطول 'L' ويتم تدويره في اتجاه عقارب الساعة ، ثم يعمل عزم الدوران على قضيب أسطواني للكتلة م هو

القوة الناتجة عن الجاذبية هي F = mg و r نصف طول القضيب ، المسافة من محور الدوران إلى النقطة التي تؤثر فيها القوة.

بما أن الزاوية التي يصنعها المحور الدوار مع التسارع الزاوي للجسم تساوي 90 درجة ،

Sin900=1

عزم الدوران على التسارع الزاوي للقضيب هو

الآن معادلة كلتا المعادلتين ،

ومن ثم حصلنا على التسارع الزاوي من قضيب أسطواني صلب.

الأسئلة المتكررة

ما هو عزم الدوران والتسارع الزاوي الناتج عندما يجلس طفل وزنه 21 كجم على دوامة دوارة وزنها 60 كجم نصف قطرها 1.2 متر وتؤثر قوة مقدارها 230 نيوتن على تدويرها؟

معطى: وزن الطفل م = 21 كجم

وزن الدوامة M = 60 كجم

نصف قطر لعبة Merry-go-round هي r = 1.2m

القوة = 230 شمالاً

لحظة القصور الذاتي لمرح من الجولة

لحظة القصور الذاتي للطفل عندما يجلس على مرح من الجولة هي

ومن ثم ، فإن اللحظة الإجمالية في الجمود هي

عزم الدوران الذي يعمل على الدوامة هو

ومن ثم ، فإن التسارع الزاوي للدوران بسبب عزم الدوران البالغ 276 نيوتن متر هو

التسارع الزاوي للدوامة هو 4.76 م / ث2.

ما العجلة الزاوية وعزم الدوران لمروحة سقف كتلتها 5.4 كجم بها 3 ريش طولها 1 متر وقرص مركزي نصف قطرها 12 سم؟ كتلة كل شفرة 800 جرام وتزن الكتلة المركزية 3 كجم.

معطى: كتلة الشفرات م = 800 جم = 0.8 كجم

كتلة القرص M = 3 كجم

طول 3 ريش L = 1 متر

نصف قطر القرص r = 12 سم = 0.12 م

الكتلة الإجمالية للمروحة 5.4 كجم

عزم الدوران من ريش المروحة هو

لحظة القصور الذاتي للشفرة

ومن ثم ، فإن لحظة القصور الذاتي لل 3 ريش هي

لحظة القصور الذاتي للقرص هي

ومن ثم ، فإن اللحظة الكلية للقصور الذاتي هي

ومن ثم ، يمكننا الآن حساب العجلة الزاوية لمروحة

يوفر التسارع الزاوي مروحة السقف 64.33 راديان / ثانية 2.

أكشيتا ماباري

مرحبًا ، أنا أكشيتا ماباري. لقد حصلت على ماجستير. في الفيزياء. لقد عملت في مشاريع مثل النمذجة العددية للرياح والأمواج أثناء الإعصار ، وفيزياء اللعب وآلات التشويق الآلية في مدينة الملاهي على أساس الميكانيكا الكلاسيكية. لقد تابعت دورة تدريبية حول Arduino وأنجزت بعض المشاريع الصغيرة على Arduino UNO. أحب دائمًا استكشاف مناطق جديدة في مجال العلوم. أنا شخصياً أعتقد أن التعلم يكون أكثر حماساً عندما يتعلم بالإبداع. بصرف النظر عن هذا ، أحب القراءة ، والسفر ، والعزف على الجيتار ، وتحديد الصخور والطبقات ، والتصوير ، ولعب الشطرنج. اتصل بي على LinkedIn - LinkedIn.com/in/akshita-mapari-b38a68122

آخر المقالات

الارتباط هل المجال الكهربائي متجه؟ 5 حقائق يجب أن تعرفها

هل المجال الكهربائي متجه؟ 5 حقائق يجب أن تعرفها

يتم إنشاء المجال الكهربائي بسبب الجسيمات المشحونة. ستوضح هذه المقالة ما إذا كان المجال الكهربائي هو كمية قياسية أو كمية متجهة. المجال الكهربائي هو متجه لأنه يحتوي على ...