الاحتمال الشرطي: 7 حقائق مثيرة للاهتمام يجب معرفتها


احتمال مشروط

مشروط نظرية الاحتمالات الخروج من مفهوم المخاطرة الكبيرة. هناك العديد من المشكلات في هذه الأيام التي تطارد لعبة الحظ ، مثل رمي العملات المعدنية ورمي النرد ولعب الورق. 

يتم تطبيق نظرية الاحتمال الشرطي في العديد من المجالات المختلفة ومرونة احتمال مشروط يوفر أدوات للعديد من الاحتياجات المختلفة تقريبًا. نظرية الاحتمالات والعينات المتعلقة بدراسة احتمالية وقوع الأحداث.

ضع في اعتبارك أن X و Y كلاهما حدثان لتجربة عرضية. بعد ذلك ، يُعرف احتمال حدوث X في ظل الظروف التي حدث فيها Y بالفعل مع P (Y) ≠ 0 بالاحتمال الشرطي ويُشار إليه بـ P (X / Y).

لذلك ، P (X / Y) = احتمال حدوث X ، بشرط أن يكون Y قد حدث بالفعل.

الفوسفور (س ، ص) / ف (ص) = ن (س ⋂ ص) / ن (ص)

وبالمثل ، P (Y / X) = احتمال حدوث Y ، حيث حدث X بالفعل.

ف (س ، ص) / ف (س) = ن (س ⋂ ص) / ن (ص)

باختصار لبعض الحالات ، يتم استخدام P (X / Y) لتحديد احتمال حدوث X عند حدوث Y. وبالمثل ، يتم استخدام P (Y / X) لتحديد احتمالية حدوث Y أثناء حدوث X.

ما هي نظرية الضرب في الاحتمال؟

إذا كان كلا من X و Y أحداثًا ذاتية الدعم (مستقلة) لتجربة عشوائية ، إذن

ص (X ص) = ف (س). P (X / Y) ، إذا P (X) ≠ 0

ص (X Y) = P (Y). P (Y / X) ، إذا P (Y) ≠ 0

ما هي نظريات الضرب للأحداث المستقلة؟ 

If X و Y كلاهما أحداث ذاتية الدعم (مستقلة) مرتبطة بتجربة عشوائية ، ثم P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

أي، إن احتمال حدوث حدثين مستقلين في وقت واحد يساوي مضاعفة احتمالاتهما. باستخدام نظرية الضرب ، لدينا P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)

 نظرًا لأن X و Y حدثان مستقلان ، فإن P (Y / X) = P (Y)

يتضمن ، P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

بينما الأحداث متنافية: 

إذا كان X و Y حدثان متنافيان ، فإن ⇒ n (X ∩ Y) = 0 ، P (X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

بالنسبة إلى أي ثلاثة أحداث X و Y و Z متنافية ، 

الفوسفور (X ∩ Y) = الفوسفور (Y ∩ Z) = الفوسفور (Z ∩ X) = الفوسفور (X ∩ Y ∩ Z) = 0

الفوسفور (X ⋃ Y ⋃ Z) = P (X) + P (Y) + P (Z)

بينما الأحداث مستقلة: 

إذا كانت X و Y أحداث غير مقيدة (أو مستقلة) ، إذن

الفوسفور (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

P (XUY) = P (X) + P (Y) - P (X). السنة التحضيرية)

دع X و Y حدثان متصلان بتجربة عشوائية (أو عشوائية) ، إذن

إذا كان Y⊂ X ، إذن

(ب) P (Y) ≤ P (X)

وبالمثل إذا كان X⊂ Y ، إذن

(ب) الفوسفور (X) ≤ الفوسفور (ص)

احتمال حدوث لا X ولا Y هو 

على سبيل المثال: إذا تم اختيار بطاقة واحدة من حزمة من البطاقات. ما هي احتمالية أن تكون مجرفة أو ملكًا؟

حل:

P (A) = P (ورقة بأسمائها الحقيقية) = 13/52

P (B) = P (بطاقة ملك) = 4/52

P (إما بأسمائها الحقيقية أو بطاقة الملك) = P (A أو B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

على سبيل المثال: من المعروف أن شخصًا ما ضرب الهدف بثلاث فرص من أصل 3 ، بينما من المعروف أن شخصًا آخر يصيب الهدف بفرصتين من أصل 4. اكتشف ما إذا كان من المحتمل إصابة هذا الهدف على الإطلاق عندما يحاول كلا الشخصين.

حل:

 احتمال إصابة الهدف من قبل شخص أول = P (A) = 3/4

احتمال إصابة الهدف من قبل شخص آخر = P (B) = 2/3

الحدثان ليسا متنافيين ، لأن كلا الشخصين ضرب نفس الهدف = P (A أو B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

على سبيل المثال: If  A  و B حدثان مثل P (A) = 0.4 ، P (A + B) = 0.7 و P (AB) = 0.2 ثم ​​P (B)؟

حل: نظرًا لأن لدينا P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

على سبيل المثال: يتم تحديد بطاقة بشكل تعسفي من حزمة من البطاقات. ما هي احتمالية أن تكون البطاقة بطاقة حمراء اللون أو ملكة.

حل: الاحتمال المطلوب هو

P (Red + Queen) -P (Red ⋂ Queen)

= P (Red) + P (Queen) -P (Red ⋂ Queen)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

على سبيل المثال: إذا كان احتمال فشل X في الاختبار 0.3 وكان احتمال Y هو 0.2 ، فابحث عن احتمال فشل X أو Y في الاختبار؟

حل: هنا P (X) = 0.3 ، P (Y) = 0.2

الآن P (X ∪ Y) = P (X) + P (Y) -P (X ⋂ Y)

لأن هذه أحداث مستقلة ، لذلك

الفوسفور (X ⋂ Y) = الفوسفور (X). السنة التحضيرية)

وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب هو 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

على سبيل المثال: تبلغ فرص الرسوب في الفيزياء 20٪ واحتمال الرسوب في الرياضيات 10٪. ما هي احتمالات الفشل في موضوع واحد على الأقل؟

حل: لنفترض أن P (A) = 20/100 = 1/5 ، P (B) = 10/100 = 1/10

لأن الأحداث مستقلة وعلينا أن نجد 

الفوسفور (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). ف (ب)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

لذا فإن فرصة الرسوب في مادة واحدة هي (14/50) × 100 = 28٪

على سبيل المثال: احتمال حل سؤال من قبل ثلاثة طلاب هو 1/2,1/4/1 و 6/XNUMX على التوالي. ما هي الفرصة المحتملة للإجابة على السؤال؟

حل:

(ط) يمكن أيضًا حل هذا السؤال بواسطة طالب واحد

(XNUMX) يمكن الإجابة على هذا السؤال من قبل طالبين في نفس الوقت.

(XNUMX) يمكن الإجابة على هذا السؤال من قبل ثلاثة طلاب معًا.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

الفوسفور (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

على سبيل المثال: المتغير العشوائي X له التوزيع الاحتمالي

X12345678
P(X)0.150.230.120.100.200.080.070.05
الاحتمال الشرطي: مثال

للحدثين E = {X هو رقم أولي} و F = {X <4} ، أوجد احتمال P (E ∪ F).

حل:

E = {X عدد أولي}

الفوسفور (E) = الفوسفور (2) + الفوسفور (3) + الفوسفور (5) + الفوسفور (7) = 0.62

F = {X <4} ، P (F) = P (1) + P (2) + P (3) = 0.50

و P (E ⋂ F) = P (2) + P (3) = 0.35

الفوسفور (E ∪ F) = P (E) + P (F) - الفوسفور (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

على سبيل المثال: رمي ثلاث عملات. إذا ظهر أحدهم ذيلًا ، فما هي الفرصة المحتملة لظهور جميع العملات الثلاث ذيلًا؟

حل: نظر E هو الحدث الذي تظهر فيه جميع العملات المعدنية الثلاثة ذيلًا و F هو الحدث الذي تظهر فيه عملة الذيل. 

F = {HHT، HTH، THH، HTT، THT، TTH، TTT}

و E = {TTT}

الاحتمال المطلوب = P (E / F) = P (E F) / P (E) = 1/7

إجمالي الاحتمالية وقاعدة Baye

قانون الاحتمال الكلي:

لعينة الفضاء S و n الأحداث المتنافية والشاملة E1 E2 ....n ذات الصلة بتجربة عشوائية. إذا كان X حدثًا محددًا يحدث مع الأحداث E.1 أو E2 او او En، ثم 

حكم بايي: 

نظر S تكون عينة من الفضاء و E.1، ه2،… ..En be n الأحداث غير المتوافقة (أو الحصرية للطرفين) مثل تلك

و P (Ei)> 0 لـ i = 1,2،XNUMX،…، n

يمكننا التفكير في Eiكعوامل تؤدي إلى نتيجة التجربة. الاحتمالات P(Ei), i = 1، 2،… ..، n تسمى الاحتمالات السابقة (أو السابقة). إذا كان التقييم نتيجة للحدث X ، أين P(X)> 0. ثم علينا أن ندرك احتمال أن يكون الحدث المدرك X هو السبب Ei، أي أننا نبحث عن الاحتمال الشرطي P (Ei/ X). تُعرف هذه الاحتمالات باسم الاحتمالات اللاحقة ، التي قدمها حكم باي كـ

على سبيل المثال: هناك 3 صناديق معروفة باحتوائها على 2 من الرخام الأزرق و 3 من الرخام الأخضر ؛ 4 كرات زرقاء و 1 خضراء و 3 زرقاء و 7 خضراء على التوالي. يتم سحب قطعة من الرخام عشوائيًا من أحد الصناديق وتجد أنها كرة خضراء. ثم ما هو احتمال أن يكون قد تم سحبه من الصندوق الذي يحتوي على أكبر عدد من الكرات الخضراء.

حل: تأمل الأحداث التالية:

أ -> الرخام المسحوب باللون الأخضر ؛

E1 -> تم اختيار المربع 1 ؛

E2 تم اختيار المربع 2

E3 تم اختيار المربع 3.

ص (هـ1) = ف (إي2) = ف (إي3) = 1/3 ، ص (أ / هـ1) = 3/5

ثم

ف (أ / هـ2) = 1/5 ، ف (أ / هـ3) = 7/10

الاحتمال المطلوب = P (E3/أ)

ص (هـ3) ف (أ / هـ3) / ف (هـ1) ف (أ / هـ1) + ف (إي2) ف (أ / هـ2) + ف (إي3) ف (أ / هـ3) = 7/15

على سبيل المثال: يوجد في اختبار القبول أسئلة متعددة الخيارات. هناك أربع إجابات صحيحة محتملة لكل سؤال ، أي منها يكون صحيحًا. الاحتمال المحتمل أن يدرك التلميذ الإجابة الصحيحة على سؤال معين هو 90٪. إذا حصل على الإجابة الصحيحة لسؤال معين ، فما هي الفرصة المحتملة التي كان يتوقعها.

حل: نحدد الأحداث التالية:

A1 : يعرف الجواب.

A2 : ربما لا يعرف الجواب.

- يعلم الجواب الصحيح.

ص (أ1) = 9/10 ، الفوسفور (أ2) = 1-9 / 10 = 1/10 ، ف (ع / أ1) = 1 ،

ف (E / A2) = 1/4

لذا فإن الاحتمال المتوقع

احتمال مشروط
احتمال مشروط

على سبيل المثال: دلو A تحتوي على 4 كرات صفراء و 3 رخامات سوداء ودلو B يحتوي على 4 كرات سوداء و 3 كرات صفراء. يتم أخذ دلو واحد بشكل عشوائي ويتم رسم قطعة رخامية ويلاحظ أنها صفراء. ما هو احتمال أن يأتي دلو B.

حل: إنه يقوم على نظرية بايي. 

احتمالية دلو منتقى A ، ف (أ) = 1/2

احتمالية دلو منتقى B ، الفوسفور (ب) = 1/2

احتمالية قطع الرخام الأصفر من الجرافة A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

احتمالية قطع الرخام الأصفر من الجرافة B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

إجمالي احتمالية الرخام الأصفر = (2/7) + (3/14) = 1/2

احتمالية حقيقة أن الرخام الأصفر مأخوذ من الجرافة B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

الخلاصة:

 في هذه المقالة نناقش بشكل رئيسي على احتمال مشروط ونظرية بايز مع الأمثلة من هذه النتيجة المباشرة والمعتمدة للتجربة التي نناقشها حتى الآن في المقالات المتتالية ، نربط الاحتمال بالمتغير العشوائي وبعض المصطلحات المألوفة المتعلقة بنظرية الاحتمالات التي سنناقشها ، إذا كنت تريد مزيدًا من القراءة ، فانتقل إلى:

مخططات Schaum للاحتمالات والإحصاء و Wصفحة ikipedia.

لمزيد من الدراسة ، يرجى الرجوع لدينا صفحة الرياضيات.

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات