أقسام النقاط أو معادلات النسبة: 41 حلًا هامًا


أمثلة أساسية على الصيغ "أقسام أو نسبة نقطة"

الحالة- I

المشاكل 21: أوجد إحداثيات النقطة P (x، y) التي تقسم داخليًا قطعة مستقيمة تربط بين النقطتين (1,1،4,1) و (1،2) في النسبة XNUMX: XNUMX.

حل:   ونحن نعلم بالفعل،

إذا كانت نقطة الفوسفور (س ، ص) يقسم الجزء المستقيم AB داخليا في النسبة م: ن ،حيث إحداثيات A و B . (x1,y1) و (x2,y2) على التوالى. ثم إحداثيات P هي 

[اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1}} {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}} [/ لاتكس]

و

[اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1}} {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}} [/ لاتكس]

(انظر مخطط الصيغ)

باستخدام هذه الصيغة يمكننا القول ، (x1,y1) ≌ (1,1،XNUMX) أي   x1= 1، y1=1 ؛

(x2,y2)≌ (4,1،XNUMX) أي   x2= 4، y2=1   

و

م: ن  ≌ 1: 2 أي   م = 1 ، ن = 2

التمثيل الرسومي

ولذلك،       

س =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times x2 \ right) + \ left (2 \ times x1 \ right)} {1 + 2}} [/ اللاتكس] ( وضع قيم m & n في [اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n } \ textbf {x} _ {1}} {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}} [/ اللاتكس])

أو، س =[latex]\mathbf{\textbf{}\tfrac{1×4+2×1}{3}}[/latex] ( وضع قيم x1 &  x2 جدا )

أو، س = [اللاتكس] \ mathbf {\ tfrac {4 + 2} {3}} [/ اللاتكس]

أو، س = [اللاتكس] \ mathbf {\ textbf {} \ tfrac {6} {3}} [/ اللاتكس]

 Or, س = 2

وبالمثل نحصل ،  

y =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times y2 \ right) + \ left (2 \ times y1 \ right)} {1 + 2}} [/ اللاتكس] ( وضع قيم m & n فيها     ص =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {my2 + ny1} {m + n}} [/ اللاتكس])

أو، ذ =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times 1 \ right) + \ left (2 \ times 1 \ right)} {3}} [/ latex] ( وضع قيم y1 &  y2 جدا )

أو، ذ = [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times 1 + 2 \ right)} {3}} [/ اللاتكس]

أو، ص =  [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {3} {3}} [/ اللاتكس]

أو، ص = 1

 ولذلك، x = 2 و y = 1 هما إحداثيات النقطة P أي (2,1،XNUMX).   (الجواب)

ترد أدناه المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح في المشكلة 21 أعلاه: -

22 المشكلة: أوجد إحداثيات النقطة التي تقسم داخليًا المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (0,5،0,0) و (2،3) في النسبة XNUMX: XNUMX.

                     الجواب. (0,2،XNUMX)

23 المشكلة: أوجد النقطة التي تقسم داخليًا المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (1,1،4,1) و (2،1) في النسبة XNUMX: XNUMX.

الجواب. (3,1،XNUMX)

24 المشكلة: أوجد النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين (3,5،3 ،) و (5 ، -1 ،) وقسمها على النسبة 1: XNUMX

الجواب. (3,0،XNUMX)

25 المشكلة: أوجد إحداثيات النقطة التي تقسم داخليًا الجزء المستقيم الذي يصل بين النقطتين (-4,1،4,1) و (3،5) في النسبة XNUMX: XNUMX

الجواب. (-1,1)

26 المشكلة: أوجد النقطة التي تقسم داخليًا المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (-10,2،10,2) و (XNUMX،XNUMX) في النسبة 1.5 : 2.5.

_____________________________

الحالة الثانية

المشاكل 27:   أوجد إحداثيات النقطة Q (x، y) التي تقسم خارجيًا المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (2,1،6,1) و (3،1) في النسبة XNUMX: XNUMX.

حل:  ونحن نعلم بالفعل،

إذا كانت نقطة س (س ، ص) يقسم الجزء المستقيم AB خارجيا في النسبة م: ن ،أين ينسق of A و B . (x1,y1) و (x2,y2) على التوالي ، فإن إحداثيات النقطة P هي 

[اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1}} {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}} [/ لاتكس]

و

[اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1}} {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}} [/ لاتكس]

(انظر مخطط الصيغ)

باستخدام هذه الصيغة يمكننا القول ،  (x1,y1) ≌ (2,1،XNUMX) أي  x1= 2، y1=1 ؛

                                                    (x2,y2)≌ (6,1،XNUMX) أي   x2= 6، y2= 1 و   

                                                    م: ن  ≌ 3: 1 أي    m=3، ن =1   

أقسام النقطة
التمثيل الرسومي

ولذلك، 

x =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times x2 \ right) - \ left (1 \ times x1 \ right)} {3-1}} [/ latex] ( وضع قيم m & n فيها     x  =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {mx2-nx1} {mn}} [/ اللاتكس])

أو، x =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times 6 \ right) - \ left (1 \ times 2 \ right)} {2}} [/ latex] ( وضع قيم x1 &  x2 جدا )

أو، x[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {18-2} {2}} [/ اللاتكس]

أو، x  =  [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {16} {2}} [/ اللاتكس]

أو، x = 8

وبالمثل نحصل ،  

y =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times y2 \ right) - \ left (1 \ times y1 \ right)} {3-1}} [/ latex] ( وضع قيم m & n فيها     ص =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {my2-ny1} {mn}} [/ اللاتكس])

أو، ص =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {2}} [/ latex] ( وضع قيم y1 &  y2 جدا )

أو، ذ = [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {3-1} {2}} [/ اللاتكس]

أو، ص =  [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {2} {2}} [/ اللاتكس]

أو، ص = 1

 ولذلك، x = 8 و y = 1 هما إحداثيات النقطة Q أي 8,1.   (الجواب)

ترد أدناه المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح في المشكلة 27 أعلاه: -

28 المشكلة: أوجد النقطة التي تقسم خارجيًا المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (2,2،4,2) و (XNUMX،XNUMX) في النسبة 3 : 1.

الجواب. (5,2،XNUMX)

29 المشكلة: أوجد النقطة التي تقسم خارجيًا المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (0,2،0,5) و (XNUMX،XNUMX) في النسبة 5: 2.

الجواب. (0,7،XNUMX)

30 المشكلة: أوجد النقطة التي تقع على الجزء الممتد من القطعة المستقيمة التي تربط النقطتين (-3 ، -2) و (3 ، -2) في النسبة 2 : 1.

الجواب. (9، -2)

________________________________

الحالة الثالثة

المشاكل 31:  أوجد إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين (-1,2،1,2) و (XNUMX،XNUMX).

حل:   ونحن نعلم بالفعل،

إذا كانت نقطة ص (س ، ص) تكون نقطة منتصف الجزء المستقيم المنضم فأس1,y1) و ب (x2,y2).ثم إحداثيات R .

[اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {x} _ {1} \ textbf {+} \ textbf {x} _ {2}} {\ textbf {2} } [/ لاتكس]

و

[اللاتكس] \ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {y} _ {1} \ textbf {+} \ textbf {y} _ {2}} {\ textbf {2} } [/ لاتكس]

(انظر مخطط الصيغ)

الحالة III هي شكل الحالة I بينما m = 1 و n = 1

باستخدام هذه الصيغة يمكننا القول ،  (x1,y1) ≌ (-1,2،XNUMX) أي  x1=-1، y1=2 و

                                                    (x2,y2)≌ (1,2،XNUMX) أي   x2= 1، y2=2

التمثيل الرسومي

ولذلك،

x =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {\ left (-1 \ right) +1} {2}} [/ اللاتكس] ( وضع قيم x1 &  x2  in x =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {x1 + x2} {2}} [/ اللاتكس])

أو، x  =  [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {0} {2}} [/ اللاتكس]

أو، x = 0

وبالمثل نحصل ، 

y =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {2 + 2} {2}} [/ اللاتكس] ( وضع قيم y1 &  y2  in y =[اللاتكس] \ mathbf {\ frac {x1 + x2} {2}} [/ اللاتكس])

أو، y [اللاتكس] \ mathbf {\ frac {4} {2}} [/ اللاتكس]

أو، y = 2

ولذلك، x = 0 و y = 2 هما إحداثيات نقطة المنتصف R أي (0,2،XNUMX).   (الجواب)

ترد أدناه المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح في المشكلة 31 أعلاه: -

32 المشكلة: أوجد إحداثيات نقطة منتصف الخط الذي يصل بين النقطتين (-1 ، -3) و (1 ، -4).

الجواب. (0,3.5،XNUMX)

33 المشكلة: أوجد إحداثيات نقطة المنتصف التي تقسم المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (-5 ، -7) و (5,7،XNUMX).

الجواب. (0,0،XNUMX)

34 المشكلة: أوجد إحداثيات نقطة المنتصف التي تقسم المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (10 ، -5) و (-7,2 ، XNUMX).

الجواب. (1.5، -1.5)

35 المشكلة: أوجد إحداثيات نقطة المنتصف التي تقسم المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (3، √2) و (1,3،XNUMX2).

الجواب. (2,2،2)

36 المشكلة: أوجد إحداثيات نقطة المنتصف التي تقسم المقطع المستقيم الذي يصل بين النقطتين (2 + 3i ، 5) و (2-3i ، -5).

الجواب. (2,0،XNUMX)

ملاحظة: كيفية التحقق مما إذا كانت نقطة ما تقسم خطًا (الطول = د وحدة) داخليًا أو خارجيًا بواسطة النسبة م: ن

إذا (م × د) / (م + ن) + (ن × د) / (م + ن) = د ، ثم الانقسام الداخلي و

إذا (م × د) / (م + ن) - (ن × د) / (م + ن) = د ، ثم القسمة خارجيًا

____________________________________________________________________________

أمثلة أساسية على الصيغ "مساحة المثلث"

الحالة- I 

المشاكل 37: ما مساحة المثلث برأسين ا (1,2) و ب (5,3) و الارتفاع فيما يتعلق AB be 3 الوحدات في مستوى الإحداثيات؟

 حل:   ونحن نعلم بالفعل،

If "ح" يكون الارتفاع و "ب" تكون قاعدة المثلث ، إذن  مساحة المثلث = ½ × ب × ح

(انظر مخطط الصيغ)

التمثيل الرسومي

باستخدام هذه الصيغة يمكننا القول ، 

 h = 3 وحدات و b = √ [(x2-x1)2+ (ذ2-y1)2 ] بمعنى آخر  √ [(5-1)2+ (3-2)2 ]

                    أو، b = √ [(4)2+ (1)2 ]

                    أو، b = √ [(16 + 1 ]

                    أو،  b = √ 17 وحدة

لذلك ، المساحة المطلوبة للمثلث هي   = ½ × ب × ح أي

= ½ × (√ 17) × 3 الوحدات

= 3⁄2 × (17) وحدة (الإجابة.)

______________________________________________________________________________________

الحالة الثانية

المشاكل 38:ما مساحة المثلث برؤوسه أ (1,2،5,3) ، ب (3,5،XNUMX) ، ج (XNUMX،XNUMX) في مستوى الإحداثيات؟

 حل:   ونحن نعلم بالفعل،

If  فأس1,y1 ب (x2,y2) و ج (x3,y3) تكون رؤوس المثلث ،

مساحة المثلث هي  =|½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2- ذ1)]|

(انظر مخطط الصيغ)

باستخدام هذه الصيغة لدينا ، 

                                              (x1,y1) ≌ (1,2،XNUMX) أي   x1= 1، y1=2 ؛

                                              (x2,y2) ≌ (5,3،XNUMX) أي   x2= 5، y2= 3 و

                                              (x3,y3) ≌ (3,5،XNUMX) أي    x3= 3، y3=5

التمثيل الرسومي

إذن ، مساحة المثلث هي = | ½ [x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)] | أي 

= | ½ [1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)] |  وحدات مربعة 

= | ½ [1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)] |    وحدات مربعة

= | ½ [-2 + 10 + 3] |    وحدات مربعة

= | ½ س 11|     وحدات مربعة

= 11-2     وحدات مربعة

= 5.5      وحدات مربعة         (الإجابة)

يتم إعطاء المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها أدناه لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح في المشكلات أعلاه: -

39 المشكلة: أوجد مساحة المثلث الذي تكون رءوسه (1,1،1,2) و (-3,2،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX).

الجواب. 2 وحدات مربعة

40 المشكلة: أوجد مساحة المثلث الذي رءوسه (3,0،0,6) و (6,9،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX).

الجواب. 22.5 وحدات مربعة

41 المشكلة: أوجد مساحة المثلث الذي تكون رءوسه (-1، -2) و (0,4،1) و (3، -XNUMX).

الجواب. 6.5 وحدات مربعة

42 المشكلة: أوجد مساحة المثلث الذي تكون رءوسه (-5,0،0,5،)، (0،5) و (XNUMX، -XNUMX).                                 الجواب. 25 وحدات مربعة

 _______________________________________________________________________________________

لمزيد من المنشورات حول الرياضيات ، يرجى اتباع صفحة الرياضيات.

ناسرينا بارفين

أنا نسرينا بارفين ، لدي خبرة 10 سنوات في العمل في وزارة الاتصالات وتكنولوجيا المعلومات في الهند. لقد فعلت التخرج في الرياضيات. في أوقات فراغي أحب التدريس وحل مسائل الرياضيات. منذ طفولتي ، كانت الرياضيات هي الموضوع الوحيد الذي أدهشني كثيرًا.

آخر المقالات