التقليب والتجميع: 7 حقائق سريعة كاملة


خصائص التقليب والجمع

  عند مناقشة التقليب والجمع حيث نتعامل مع الاختيار والترتيب مع أو بدون اعتبارات الطلب ، اعتمادًا على الموقف ، توجد أنواع وخصائص مختلفة لـ التقليب والجمع، هذه الاختلافات بين التباديل والتوليفات سنشرحها هنا بأمثلة مبررة.

التباديل دون تكرار

  هذا هو التقليب الطبيعي الذي يرتب n كائنات مأخوذة r في وقت أي nPr

n Pr= ن! / (نر)!

عدد الطلبات لعدد n من العناصر المختلفة المأخوذة كلها في وقت واحد n Pn = ن!

بالإضافة إلى ذلك ، لدينا

nP0 = ن! / ن! = 1

nPr = ن.N-1PR-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 أو (-r)! = ∞

التباديل مع التكرار

 عدد التباديل (الترتيبات) لعناصر مختلفة ، مأخوذة r في كل مرة ، حيث يمكن أن يحدث كل عنصر مرة واحدة ، مرتين ، ثلاث مرات ، .......... مرات عديدة في أي ترتيب = عدد الطرق لملء مناطق r حيث كل عنصر يمكن ملء العنصر بأي من العناصر n.

خصائص التقليب والجمع: التباديل مع التكرار

عدد التباديل = عدد طرق الملء r الأماكن = (ن)r

عدد الطلبات التي يمكن تنظيمها باستخدام n كائنات منها p متشابهة (ومن نوع واحد) q متشابهة (ومن نوع آخر) ، r متشابهة (ومن نوع آخر) والباقي متميز هو nPr = n! / (p! q! r!)

على سبيل المثال:

كم عدد الطرق التي يمكن بها تخصيص 5 تفاحات لأربعة أولاد عندما يستطيع كل صبي تناول تفاحة واحدة أو أكثر.      

حل: هذا مثال على التقليب مع التكرار كما نعلم في مثل هذه الحالات

عدد التباديل = عدد طرق الملء r الأماكن = نr

عدد الطرق المطلوبة 45 = 10 ، حيث يمكن توزيع كل تفاحة بأربع طرق.

على سبيل المثال: البحث عن عدد الكلمات يمكن تنظيمه بأحرف كلمة MATHEMATICS عن طريق إعادة تجميعها.

حل: هنا يمكننا أن نلاحظ أن هناك 2 M و 2 A و 2T وهذا مثال على التقليب مع التكرار

= n! / (p! q! r!)

 عدد الطرق المطلوبة = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

على سبيل المثال: كم عدد الطرق التي يكون فيها عدد ذيول يساوي عدد الرؤوس إذا تم ترتيب ست عملات متطابقة في صف واحد.

حل: هنا يمكننا ملاحظة ذلك

عدد الرؤوس = 3

عدد ذيول = 3

وبما أن العملات المعدنية متطابقة ، فهذا مثال على التقليب بالتكرار = n! / (p! q! r!)

عدد الطرق المطلوبة = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

التقليب الدائري:

في التقليب الدائري ، الأهم من ذلك أن ترتيب الكائن هو احترام للآخرين.

لذلك ، في التبديل الدائري ، نضبط موضع كائن واحد ونرتب الكائنات الأخرى في جميع الاتجاهات.

يتم تقسيم التقليب الدائري إلى طريقتين:

(ط) التقليب الدائري حيث تشير إعدادات اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة تبديل مختلف، على سبيل المثال ، ترتيبات جلوس الأشخاص حول المائدة.

(XNUMX) التقليب الدائري حيث يتم عرض الإعدادات في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة نفس التقليب، على سبيل المثال ترتيب خرز معين لعمل عقد.

ترتيب في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة

إذا كان الترتيب والحركة عكس اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة غير مختلف على سبيل المثال ، ترتيب الخرزة في قلادة ، ترتيب الزهور في إكليل ، إلخ ، ثم عدد التباديل الدائري n العناصر المميزة هي (ن -1)! / 2

  1. عدد التقليب الدائري لعدد n من العناصر المختلفة ، مأخوذ r في كل مرة ، عندما يتم اعتبار أوامر اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة مختلف by nPr /r
  2. عدد التبديلات الدائرية لعدد n من العناصر المختلفة ، مأخوذة r في كل مرة ، عندما تكون الأوامر في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة غير مختلف تبدأ من nPr / 2 ص
  3. عدد التباديل الدائري لعدد ن كائنات مختلفة هو (ن -1)!
  4. عدد الطرق التي n يمكن أن يجلس أولاد مختلفون حول طاولة دائرية (ن -1)!
  5. عدد الطرق التي n يمكن إنشاء أحجار كريمة مختلفة لتشكيل رقبة ، هي (ن -1)! / 2

على سبيل المثال:

كم عدد الطرق التي يمكن بها وضع خمسة مفاتيح في الحلقة

حل:

نظرًا لأن اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة متماثلان في حالة الحلقة.

إذا كان التسلسل والحركة في عكس اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة غير مختلف ثم عدد التباديل الدائري n العناصر المميزة

= (ن -1)! / 2

عدد الطرق المطلوبة = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

على سبيل المثال:

ما هو عدد الترتيبات ، إذا كان أحد عشر عضوًا من اللجنة يجلسون على طاولة مستديرة بحيث يجلس الرئيس والأمين دائمًا معًا.

حل:

بواسطة الخاصية الأساسية للتبديل الدائري

عدد التباديل الدائري لعدد ن أشياء مختلفة هو (ن -1)!

نظرًا لأن موقعين يتم إصلاحهما ، فقد قمنا بذلك

عدد الطرق المطلوبة (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

على سبيل المثال: ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يأكل بها 6 رجال و 5 نساء على طاولة مستديرة إذا لم تستطع امرأتان الجلوس معًا

حل: بواسطة الخاصية الأساسية للتبديل الدائري.

عدد التباديل الدائري لعدد ن أشياء مختلفة هو (ن -1)!

عدد الطرق التي يمكن من خلالها ترتيب 6 رجال على طاولة مستديرة = (6 - 1)! = 5!

خصائص التقليب والجمع
خصائص التقليب والجمع: مثال

الآن يمكن ترتيب النساء في 6! الطرق وعدد الطرق = 6! × 5!

تركيبات بدون تكرار

هذا هو الدمج المعتاد وهو "عدد المجموعات (التحديدات أو المجموعات) التي يمكن تكوينها منها n كائنات مختلفة مأخوذة ص في وقت واحد nCr = ن! / (نر)! ص!

أيضا    nCr =nCص ص

              n Pr / ص! = ن! / (نر)! =nCr

على سبيل المثال: ابحث عن عدد الخيارات لملء 12 وظيفة شاغرة إذا كان هناك 25 مرشحًا وخمسة منهم من الفئة المجدولة ، بشرط أن يتم حجز 3 شواغر لمرشحي اللجنة العليا بينما يكون الباقي مفتوحًا للجميع.

حل: منذ أن تم شغل 3 وظائف شاغرة من 5 متقدمين في 5 C3  الطرق (أي 5 اختر 3) والمرشحون المتبقون الآن هم 22 والمقاعد المتبقية 9 لذلك سيكون 22C9 (22 اختر 9) يمكن الاختيار في 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

لذلك يمكن الاختيار من خلال 4974200 طريقة. 

على سبيل المثال: هناك 10 مرشحين وثلاثة شواغر في الانتخابات. ما هو عدد الطرق التي يمكن للناخب من خلالها الإدلاء بصوته؟

حل: نظرًا لوجود 3 وظائف شاغرة فقط لـ 10 مرشحين ، فهذه هي مشكلة 10 CHOOSE 1 و 10 CHOOSE 2 و 10 CHOOSE 3 Examples ،

يمكن للناخب التصويت 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 لذلك في 175 طريقة يمكن للناخب التصويت.

على سبيل المثال:يوجد 9 كراسي في غرفة تتسع لـ 4 أشخاص ، أحدها نزيل بمقعد واحد مع كرسي واحد محدد. كم عدد الطرق التي يمكن أن يجلسوا بها؟

حل: حيث يمكن اختيار 3 كراسي في 8C3 وبعد ذلك يمكن ترتيب 3 أشخاص في 3! طرق.

3 أشخاص يجلسون على 8 كراسي 8C3 (أي 8 اختر 3) الترتيب

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56 × 6 = 336

في 336 طريقة يمكنهم الجلوس.

على سبيل المثال: لخمسة رجال و 4 نساء ، سيتم تشكيل مجموعة من 6. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها بحيث تضم المجموعة رجالًا أكثر.

الحل: هنا تتضمن المشكلة مجموعات مختلفة مثل 5 CHOOSE 5 ، 5 CHOOSE 4 ، 5 CHOOSE 3 للرجال والنساء ، تشمل 4 CHOOSE 1 ، 4 CHOOSE 2 و 4 CHOOSE 3 كما هو مذكور في ما يلي

1 امرأة و 5 رجال =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           امرأتان و 2 رجال =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 نساء و 3 رجال =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    ومن ثم مجموع الطرق = 4 + 30 + 40 = 74.

على سبيل المثال: عدد الطرق التي يمكن أن يسافر بها 12 فتى في ثلاث سيارات بحيث 4 أولاد في كل سيارة ، بافتراض أن ثلاثة أولاد معينين لن يركبوا نفس السيارة.

حل: قم أولاً بحذف ثلاثة أولاد معينين ، وقد يكون 9 فتيان الباقين 3 في كل سيارة. يمكن القيام بذلك في 9 CHOOSE 3 ie 9C3 طرق،

يمكن وضع الأولاد الثلاثة في ثلاث طرق واحدة في كل سيارة. لذلك إجمالي عدد الطرق = 3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

لذلك من خلال 252 طريقة يمكن وضعها.

على سبيل المثال: كم عدد الطرق التي خرجت بها كرتان خضراء و 2 سوداء من كيس يحتوي على 2 كرات خضراء و 7 سوداء؟

حل: هنا تحتوي الحقيبة على 7 أخضر من ذلك علينا أن نختار 2 لذا فهي مشكلة 7 CHOOSE 2 و 8 كرات سوداء من ذلك علينا أن نختار 2 لذا فهي مشكلة 8 CHOOSE 2.

ومن هنا العدد المطلوب = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

لذلك من خلال 588 طريقة يمكننا اختيار 2 أخضر و 2 أسود من تلك الحقيبة.

على سبيل المثال: يتم توفير اثني عشر حرفًا مختلفًا من الكلمات الإنجليزية. من هذه الحروف ، يتم تكوين اسمين أبجديين. كم عدد الكلمات التي يمكن إنشاؤها عند تكرار حرف واحد على الأقل.

حل: هنا يتعين علينا اختيار كلمتين من الأحرف من 2 حرفًا ، لذا فهي مشكلة 12 اختيار 12.

عدد الكلمات المكونة من حرفين والتي تكررت فيها الأحرف في أي مرة = 22

        لكن لا. من الكلمات التي تحتوي على حرفين مختلفين من أصل 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        عدد الكلمات المطلوب = 122-66 = 144-66 = 78.

على سبيل المثال: هناك 12 نقطة على المستوى حيث ستة على خط واحد ، ثم كم عدد الخطوط التي يمكن رسمها من خلال ضم هذه النقاط.

حل: للحصول على 12 نقطة في المستوى لرسم خط ، فإننا نحتاج إلى نقطتين متماثلتين لست نقاط خطية متداخلة ، لذلك هذه هي مسألة 2 اختر 12 و 2 اختر 6.

عدد الأسطر = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

لذلك من خلال 52 طريقة يمكن رسم الخطوط.

على سبيل المثال: ابحث عن عدد الطرق التي يمكن من خلالها إنشاء خزانة من 6 أعضاء من 8 رجال و 4 سيدات بحيث تتكون الخزانة من 3 سيدات على الأقل.

حل: لتشكيل اللجنة ، يمكننا الاختيار من بين 3 رجال ونساء و 2 رجال و 4 نساء لذا فإن المشكلة تشمل 8 اختيار 3 و 4 اختيار 3 و 8 اختيار 2 و 4 اختيار 4.

يمكن تشكيل نوعين من الخزانات

        (ط) وجود 3 رجال و 3 سيدات

        (2) وجود رجلين و 4 سيدات

        ممكن لا. الطرق = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

لذلك من خلال 252 طريقة يمكننا تشكيل مثل هذه الخزانة.

       هذه بعض الأمثلة حيث يمكننا مقارنة حالة nPr vs nCr في حالة التقليب ، فإن طريقة تنظيم الأشياء مهمة. لكن في المجموعة ، الترتيب لا يعني شيئًا.

في الختام

وصف موجز للتبديل والجمع عند التكرار وعدم التكرار مع الصيغة الأساسية و يتم تقديم نتائج مهمة في شكل أمثلة حقيقية، في هذه السلسلة من المقالات سنناقش بالتفصيل النتائج والصيغ المختلفة مع الأمثلة ذات الصلة ، إذا كنت ترغب في مواصلة القراءة:

مخطط SCHAUM للنظرية ومشكلات الرياضيات التمييزية

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

لمزيد من المقالات حول الرياضيات ، يرجى اتباع هذا لينك

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات