دالة الكتلة الاحتمالية: 5 أمثلة


المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي -XNUMX

كما سبق ونحن على دراية الآن بـ المتغير العشوائي المنفصل، إنه المتغير العشوائي الذي يأخذ عددًا قابلاً للعد من القيم الممكنة في تسلسل. المفهومان المهمان المتعلقان بالمتغيرات العشوائية المنفصلة هما احتمال المتغير العشوائي المنفصل ووظيفة التوزيع ، ونقصر الاسم على دالة الاحتمال والتوزيع مثل ،

دالة الكتلة الاحتمالية (pmf)

                يوفر دالة الكتلة الاحتمالية هو احتمال المتغير العشوائي المنفصل ، لذلك لأي متغير المتغيرات العشوائية المنفصلة  x1، س2، س3، س4، …… ، xk  الاحتمالات المقابلة P (x1) ، ف (س2) ، ف (س3) ، ف (س4) …… ، ف (سk) هي وظائف الكتلة الاحتمالية المقابلة.

على وجه التحديد ، بالنسبة إلى X = a ، P (a) = P (X = a) هي pmf

نحن هنا فصاعدا نستخدم دالة الكتلة الاحتمالية للمتغيرات العشوائية المنفصلة احتمالا. من الواضح أن جميع خصائص الاحتمال الخاصة بالاحتمال قابلة للتطبيق على دالة كتلة الاحتمال مثل الإيجابية وجمع كل pmf سيكون واحدًا ، إلخ.

دالة التوزيع التراكمي (cdf) / دالة التوزيع

  يتم تعريف دالة التوزيع على أنها

و (س) = ف (س <= س)

للمتغير العشوائي المنفصل مع دالة الكتلة الاحتمالية هي دالة التوزيع التراكمي (cdf) للمتغير العشوائي.

و التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي عرفنا كان

نرى الآن بعض نتائج التوقعات الرياضية

  1. إذا كان x1، X2، X3، X4،… .. هي المتغيرات العشوائية المنفصلة مع الاحتمالات ذات الصلة P (x1) ، ف (س2) ، ف (س3) ، ف (س4) ... سيكون توقع الوظيفة القيمة الحقيقية g

مثال: لدوال الكتلة الاحتمالية التالية ، ابحث عن E (X3)

دالة الكتلة الاحتمالية

هنا g (X) = X3

وبالتالي،

E (X3) = (-1)3 <em> 0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3

السابق3) = 0.1

وبنفس الطريقة يمكننا الكتابة لأي ترتيب ن

والتي تعرف باسم اللحظة التاسعة.

2. إذا كان a و b ثوابت

E [aX + b] = aE [X] + ب

هذا يمكننا فهمه بسهولة

= aE [X] + ب

التباين من حيث التوقع.

                بالنسبة للمتوسط ​​الذي يُشار إليه بـ μ ، سيكون التباين في المتغير العشوائي المنفصل X المشار إليه بواسطة var (X) أو من حيث التوقع

فار (X) = E [(X- μ)2]

ويمكننا تبسيط هذا بشكل أكبر

فار (X) = E [(X- μ)2]

= E [X2] - 2μ2 + μ2

= E [X2] - μ2

هذا يعني أنه يمكننا كتابة التباين على أنه الفرق في توقع مربع المتغير العشوائي ومربع توقع المتغير العشوائي.

على سبيل المثال Var (X) = E [X2] - (السابق])2

على سبيل المثال:  عند إلقاء نرد ، احسب التباين.

حل:  هنا نعلم متى رمي الموت ستكون الاحتمالات لكل وجه

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

ومن ثم لحساب التباين سنجد توقع المتغير العشوائي ومربعه كـ

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

السابق2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

وحصلنا للتو على التباين كـ

فار (X) = E [X.2] - (السابق])2

so

فار (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

واحد من هوية مهمة للتباين is

  1. بالنسبة للثوابت التعسفية a و b لدينا

فار (aX + ب) = أ2 فار (X)

هذا يمكننا أن نظهر بسهولة مثل

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= E [أ2(X - μ)2]

=a2 E [(X-μ)2]

=a2 فار (X)

متغير برنولي العشوائي

      قام عالم الرياضيات السويسري جيمس برنولي بتعريف ملف متغير برنولي العشوائي كمتغير عشوائي له إما نجاح أو فشل نتيجة نتيجتين فقط للتجربة العشوائية.

أي عندما تكون النتيجة نجاح X = 1

عندما تكون النتيجة فشل X = 0

إذن دالة الكتلة الاحتمالية لمتغير برنولي العشوائي هي

ص (0) = P {X = 0} = 1-ص

ص (1) = P {X = 1} = ص

حيث p هو احتمال النجاح و 1-p سيكون احتمال الفشل.

هنا يمكننا أن نأخذ 1-p = q أيضًا حيث q هو احتمال الفشل.

نظرًا لأن هذا النوع من المتغيرات العشوائية منفصل بشكل واضح ، فإن هذا أحد المتغيرات العشوائية المنفصلة.

مثال: القذف عملة.

المتغير العشوائي ذو الحدين

إذا كانت تجربة عشوائية لها نتيجة فقط كنجاح أو فشل ، فإننا نأخذ تجارب n ، لذلك في كل مرة سنحصل فيها إما على النجاح أو الفشل ، يُعرف المتغير العشوائي X الذي يمثل النتيجة لمثل هذه التجربة العشوائية التجريبية باسم المتغير العشوائي ذو الحدين.

                بعبارة أخرى ، إذا كانت p هي دالة الكتلة الاحتمالية للنجاح في تجربة برنولي المنفردة و q = 1-p هي احتمال الفشل ، فإن احتمال حدوث حدث 'x أو i' مرات في n من التجارب سيكون

or

على سبيل المثال: إذا ألقينا عملتين من العملات المعدنية ست مرات ونجحنا في الحصول على رأس المال ، وكانت التكرارات المتبقية فاشلة ، فستكون احتمالية حدوثها

بنفس الطريقة يمكننا حساب أي تجربة من هذا القبيل.

يوفر المتغير العشوائي ذو الحدين له الاسم معادلة ذات حدين لأنها تمثل توسع

إذا وضعنا مكان n = 1 ، فسيتحول هذا إلى متغير برنولي العشوائي.

على سبيل المثال: إذا تم إلقاء خمس عملات معدنية وأخذت النتيجة بشكل مستقل ، فسيحدث ما هو احتمال عدد الرؤوس.

هنا إذا أخذنا المتغير العشوائي X كعدد الرؤوس ، فسيتحول إلى المتغير العشوائي ذي الحدين مع n = 5 واحتمال النجاح كـ ½

لذا باتباع دالة الكتلة الاحتمالية للمتغير العشوائي ذي الحدين ، سنحصل على

على سبيل المثال:

في شركة معينة ، يكون احتمال وجود عيب 0.01 من الإنتاج. تصنع الشركة وتبيع المنتج في عبوة من 10 منتجات وتقدم لعملائها ضمانًا لاسترداد الأموال على أن منتجًا واحدًا على الأكثر معيبًا ، لذا ما هي نسبة المنتجات المباعة التي يجب على الشركة استبدالها.

هنا إذا كان X هو المتغير العشوائي الذي يمثل المنتجات المعيبة ، فإنه من النوع ذي الحدين مع n = 10 و p = 0.01 ، فإن احتمال عودة الحزمة هو

على سبيل المثال: (chuck-a-luck / wheel of fortune) في لعبة حظ معينة في الفندق ، راهن اللاعب على أي من الأرقام من 1 إلى 6 ، ثم رمي ثلاثة نرد وإذا ظهر الرقم رهانه اللاعب مرة واحدة أو مرتين أو ثلاث مرات اللاعب الذي يعني أن الكثير من الوحدات إذا ظهر مرة واحدة ثم وحدة واحدة إذا كانت على نردتين ثم وحدتين وإذا كان على ثلاث نرد ثم 1 وحدات ، تحقق بمساعدة احتمال أن تكون اللعبة عادلة للاعب أم لا.

إذا افترضنا أنه لن تكون هناك وسائل غير عادلة مع تقنيات النرد والخداع ، فعند افتراض نتيجة النرد بشكل مستقل ، فإن احتمال النجاح لكل نرد هو 1/6 وسيكون الفشل

 1-1 / 6 لذلك يتحول هذا ليكون مثالاً على المتغير العشوائي ذي الحدين مع n = 3

لذلك سنحسب أولاً احتمالات الفوز من خلال تعيين x عندما يفوز اللاعبون

الآن لحساب اللعبة عادلة للاعب أم لا ، سنحسب توقع المتغير العشوائي

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

هذا يعني أن احتمال خسارة اللاعب عندما يلعب 216 مرة هو 17.

الخلاصة:

   ناقشنا في هذه المقالة بعض الخصائص الأساسية للمتغير العشوائي المنفصل ودالة كتلة الاحتمال والتباين. بالإضافة إلى ذلك ، رأينا بعض أنواع المتغير العشوائي المنفصل ، قبل أن نبدأ المتغير العشوائي المستمر نحاول تغطية جميع أنواع وخصائص المتغير العشوائي المنفصل ، إذا كنت تريد مزيدًا من القراءة ، فانتقل من خلال:

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

لمزيد من المواضيع في الرياضيات ، يرجى متابعة الرابط التالي

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات

الارتباط هل المجال الكهربائي متجه؟ 5 حقائق يجب أن تعرفها

هل المجال الكهربائي متجه؟ 5 حقائق يجب أن تعرفها

يتم إنشاء المجال الكهربائي بسبب الجسيمات المشحونة. ستوضح هذه المقالة ما إذا كان المجال الكهربائي هو كمية قياسية أو كمية متجهة. المجال الكهربائي هو متجه لأنه يحتوي على ...