التباديل والتوليفات: 3 حقائق مهمة يجب تذكرها


  بعد مناقشة التعاريف والمفاهيم الأساسية سنقوم بتجميع جميع النتائج والعلاقات التقليب والجمع، اعتمادًا على كل هؤلاء ، سنكون أكثر دراية بمفهوم التقليب والجمع من خلال حل أمثلة متنوعة.

نقاط للتذكر (التقليب)

  1. عدد طرق الطلب = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. عدد ترتيب n من العناصر المختلفة التي تم أخذها معًا في وقت واحد هو = nPn = ن!
  3. nP0 = ن! / ن! = 1
  4. ف = ن. N-1PR-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0، (-r)! = (r N)
  7. عدد طرق ملء أماكن r حيث يمكن ملء كل مكان بأي كائن من n كائنات ، عدد التباديل = عدد طرق حشو أماكن r = (n)r   

على سبيل المثال: كم عدد الأرقام بين 999 و 10000 التي يمكن إنشاؤها بمساعدة الأرقام 0 ، 2 ، 3,6,7,8 ، XNUMX ، XNUMX ، XNUMX حيث لا يجب تكرار الأرقام؟

حل: الأرقام بين 999 و 10000 تتكون كلها من أربعة أرقام.

                   الأرقام المكونة من أربعة أرقام المكونة من الأرقام 0 ، 2 ، 3,6,7,8 ، XNUMX ، XNUMX ، XNUMX هي

تبديل
التقليب: مثال

  ولكن هنا يتم تضمين هذه الأرقام أيضًا والتي تبدأ من 0. لذا يمكننا أن نأخذ الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام.

بأخذ الرقم الأولي 0 ، فإن عدد الطرق لترتيب 3 أماكن معلقة من خمسة أرقام 2 ، 3,6,7,8 ، XNUMX ، XNUMX ، XNUMX هي 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

لذا فإن الأرقام المطلوبة = 360-60 = 300.

مثال: ما هو عدد الكتب التي يمكن ترتيبها في صف واحد حتى لا يكون الكتابان المذكوران معًا؟

حل: العدد الإجمالي لأوامر n من الكتب المختلفة = n !.                                                                                                                

           إذا تم ذكر كتابين معًا دائمًا ، فسيكون عدد الطرق = (ن -1)! × 2

مثال: كم عدد طرق هناك مقسومة على 10 كرات بين ولدين ، أحدهما يحصل على اثنين والآخر على ثمانية.

حل: A يحصل على 2 ، ب  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A يحصل على 8 ، ب يحصل على 2 10! / (8! 2!) = 45

هذا يعني 45 + 45 = 90 طريقة سيتم تقسيم الكرة بها.

مثال: ابحث عن رقم ترتيب الحروف الهجائية لكلمة "CALCUTTA".

حل: عدد الطرق المطلوبة = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

مثال: تمت دعوة عشرين شخصًا إلى الحفلة. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنهم بها والمضيف الجلوس على طاولة مستديرة ، إذا كان على الشخصين الجلوس على جانبي الحارس.

حل: سيكون هناك إجمالي 20 + 1 = 21 شخصًا في المجموع.

يتم اعتبار الشخصين المحددين والمضيف كوحدة واحدة بحيث تظل 21 - 3 + 1 = 19 شخصًا يتم ترتيبهم في 18! طرق.

 لكن يمكن ترتيب الشخصين المعينين على جانبي المضيف في 2! طرق.

  ومن ثم هناك 2! * 18! طرق.

مثال : كم عدد الطرق التي يمكن بها صنع إكليل من 10 أزهار بالضبط.

حل:  n يمكن صنع إكليل الزهور في (ن -1)! طرق.

يمكن تحضير 10 إكليل زهور بـ 9! / 2 طرق مختلفة.

مثال: ابحث عن العدد المحدد المكون من أربعة أرقام والذي يجب أن يتكون من 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 بحيث يكون لكل رقم الرقم 1.

حل: بعد تأمين 1 في المركز الأول من أصل 4 أماكن يمكن ملء 3 أماكن بها7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

لكن بعض الأعداد التي يكون رقمها الرابع صفرًا ، لذا فإن هذا النوع من الطرق =6P2= 6! / (6-2)! = 20.

                   مجموع الطرق = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

ضع هذه النقاط في الاعتبار للمختلط

  • عدد التوليفات من n الأشياء ، منها p متطابقة ، مأخوذة r في وقت هو

npCr+npCR-1+npCR-2+ ...... .. +npC0 ، إذا كانت r <= p و  npCr+npCR-1+npCR-2+… .. +npCrp  ، إذا ص> ص

  1. n اختر 0 أو n اختر n هو 1 ، nC0 = nCn = 1، nC1 = ن.
  2. nCr + nCR-1 = n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> س = ص أو س + ص = ن
  4. n. N-1CR-1 = (ن ص + 1) nCR-1
  5. nC0+nC2+nC4+ .... =nC1+nC3+nC5… .. = 2N-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
  8. عدد التوليفات من n أشياء متباينة يتم أخذها جميعًا في وقت واحد. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

في استمرار سنحل بعض الأمثلة  

على سبيل المثال: If 15Cr=15Cص + 5 إذن ما هي قيمة r؟

حل: هنا سوف نستخدم ما ورد أعلاه

 nCr=nCلا على الجانب الأيسر من المعادلة

15Cr=15Cص + 5 => 15C15-ص =15Cص + 5

=> 15-r = r + 5 => 2r = 10 => r = 10/2 = 5

لذا فإن قيمة r هي 5 تعني مشكلة 15 اختر 5.

على سبيل المثال: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 أوجد قيمة r ، بحيث تكون قيمة nCr  سيكون 15.

 حل: المصطلح المعطى هنا هو نسبة 2n اختر 3 و n اختر 2 as

من خلال تعريف الجمع

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   الآن 6Cr= 15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => ص = 2، 4

لذلك تبين أن المشكلة هي 6 اختر 2 أو 6 اختر 4

على سبيل المثال:  If  nCR-1= 36 nCr= 84 و nCص + 1= 126 ، فما قيمة r إذن؟

 الحل: هنا nCR-1 / nCr = 36/84 و nCr /nCص + 1 = 84/126.

(ن)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r / (n-r + 1) = 3/7 => 7r = 3n-3r + 3

=> 3n-10r = -3 ، وبالمثل من الحصة الثانية نحصل عليها

4n-10r = 6

عند الحل ، نحصل على n = 9 ، r = 3

لذلك تبين أن المشكلة هي 9 اختر 3 ، 9 اختر 2 و 9 اختر 4.

على سبيل المثال: كل شخص في الغرفة يصافح الجميع. إجمالي عدد المصافحة 66. أوجد عدد الأشخاص في الغرفة.

nC2 = 66 => n! / {2! (n-2)!} = 66 => n (n-1) = 132 => n = 12

حل: لذا فإن قيمة n هي 12 تعني أن العدد الإجمالي للأشخاص في الغرفة هو 12 والمشكلة هي 12 اختر 2.

مثال: في بطولة كرة القدم ، تم لعب 153 مباراة. لعبت جميع الفرق مباراة واحدة. أوجد عدد المجموعات المشاركة في البطولة.

حل:

هنا nC2 = 153 => ن! / {2! (ن -2)} = 153 => ن (ن -1) / 2 = 153 => ن = 18

لذلك كان إجمالي عدد الفرق المشاركة في البطولة 18 و مجموعة هو 18 اختر 2.

مثال خلال حفل ديباوالي يرسل كل عضو في النادي بطاقات تهنئة للآخرين. إذا كان هناك 20 عضوًا في النادي ، فما هو العدد الإجمالي لطرق تبادل بطاقات التهنئة من قبل الأعضاء.

حل: نظرًا لأنه يمكن لعضوين تبادل البطاقات بطريقتين ، فهناك 20 اختر 2 مرتين

2 X 20C2 = 2 × (20!) / {2! (20-2)!} = 2 * 190 = 380 ، سيكون هناك 380 طريقة لتبادل بطاقات التهنئة.

مثال: ستة زائد "+" وأربعة ناقص "-" يجب ترتيب الرموز في مثل هذا الخط المستقيم بحيث لا يلتقي رمزان "-" ، ابحث عن العدد الإجمالي للطرق.

 حل: يمكن إجراء الترتيب كـ - + - + - + - + - + - + - يمكن وضع العلامات (-) في 7 أماكن شاغرة (مدببة).

ومن ثم المطلوب عدد من الطرق = 7C4 = 35.

على سبيل المثال: If nC21 =nC6 ، ثم نجد nC15 =?

حل: معطى nC21 =nC6

21 + 6 = ن => ن = 27

بالتالي 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

وهو 27 اختيار 15.

في الختام

يتم أخذ بعض الأمثلة اعتمادًا على العلاقات والنتائج ، كعدد من الأمثلة التي يمكننا أخذها في كل نتيجة ولكن الشيء المهم هنا الذي أريد إظهاره هو كيف يمكننا استخدام أي نتيجة اعتمادًا على الموقف إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، يمكنك انتقل إلى المحتوى أو إذا كانت هناك أي مساعدة شخصية ، فيمكنك الاتصال بنا مجانًا ببعض المحتويات ذات الصلة التي يمكنك العثور عليها من:

لمزيد من الموضوعات حول الرياضيات ، يرجى التحقق من هذا الصفحة .

مخطط SCHAUM للنظرية ومشكلات الرياضيات التمييزية

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات