15 أمثلة على التباديل والتوليفات


توضيح لمفهوم التباديل والتوليفات من خلال الأمثلة

في هذه المقالة ، ناقشنا بعض الأمثلة التي ستجعل الأساس قويًا للطلاب التباديل والتوافيق للحصول على إجازة متبصرة للمفهوم ، تدرك جيدًا أن التباديل والتوليفات هي عملية لحساب الاحتمالات ، والفرق بينهما هو ما إذا كان النظام مهمًا أم لا ، لذلك هنا من خلال استعراض عدد الأمثلة التي سنحصل عليها مسح الالتباس أين تستخدم أي واحد.

تسمى طرق ترتيب أو اختيار عدد صغير أو متساوٍ من الأشخاص أو العناصر في وقت واحد من مجموعة من الأشخاص أو العناصر المقدمة مع الاهتمام الواجب بترتيبها بترتيب التخطيط أو الاختيار التباديل.

كل مجموعة مختلفة أو تحديد يمكن إنشاؤه عن طريق أخذ بعض أو كل العناصر ، بغض النظر عن كيفية تنظيمها ، تسمى مجموعة.

التقليب الأساسي (صيغة nPr) أمثلة

            نحن هنا نصنع مجموعة من n كائنات مختلفة ، تم تحديد r في وقت يعادل ملء أماكن r من n أشياء.

عدد طرق الترتيب = عدد طرق ملء أماكن r.

nPr = n. (n-1). (n-2) ... (لا+1) = n/(لا)!

so صيغة nPr علينا استخدام هو

nPr = n! / (لا)!

مثال 1): هناك قطار بقيت مقاعده السبعة فارغة ، ثم كم عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها ثلاثة ركاب.

الحل: هنا n = 7 ، r = 3

لذلك العدد المطلوب من الطرق =

nPr = n! / (لا)!

7P3 = 7! / (7-3)! = 4! .5.6.7 / 4! = 210

في 210 طريقة يمكن للركاب الجلوس.

مثال 2) كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 أشخاص من بين 10 نساء كقادة للفريق؟

الحل: هنا n = 10 ، r = 4

لذلك العدد المطلوب من الطرق =

nPr = n! / (لا)!

10P4 = 10! / (10-4)! = 6! 7.8.9.10/6! = 5040

في 5040 طريقة يمكن اختيار 4 سيدات كقائدات فريق.

مثال 3) كم عدد التبديلات الممكنة من 4 أحرف مختلفة ، مختارة من ستة وعشرين حرف من الأبجدية؟

الحل: هنا n = 26 ، r = 4

لذلك العدد المطلوب من الطرق =

nPr = n! / (لا)!

26P4 = 26! / (26-4)! = 22! .23.24.25.26 / 22! = 358800

في 358800 طريقة ، تتوفر 4 تبديلات مختلفة للأحرف.

مثال 4) كم عدد التبديلات المختلفة المتاحة من ثلاثة أرقام ، المختارة من عشرة أرقام من 0 إلى 9 مجتمعة؟ (بما في ذلك 0 و 9).

الحل: هنا n = 10 ، r = 3

لذلك العدد المطلوب من الطرق =

nPr = n! / (لا)!

10P3 = 10! / (10-3)! = 7! .8.9.10 / 7! = 720

في 720 طريقة ، تتوفر تباديل من ثلاثة أرقام.

مثال 5) اكتشف عدد الطرق التي يمكن للقاضي من خلالها منح المركز الأول والثاني والثالث في مسابقة مع 18 متنافسًا.

الحل: هنا n = 18 ، r = 3

لذلك العدد المطلوب من الطرق =

nPr = n! / (لا)!

18P3 = 18! / (18-3)! = 15! .16.17.18 / 15! = 4896

من بين 18 متسابقًا ، بعدد 4896 طريقة ، يمكن للقاضي منح المركز الأول والثاني والثالث في المسابقة.

مثال

6) ابحث عن عدد الطرق ، يمكن لـ 7 أشخاص تنظيم أنفسهم على التوالي.

الحل: هنا n = 7 ، r = 7

لذلك العدد المطلوب من الطرق =

nPr = n! / (لا)!

7P7 = 7! / (7-7)! = 7! / 0! = 5040

في 5040 طريقة ، يمكن لـ 7 أشخاص تنظيم أنفسهم على التوالي.

أمثلة على أساس الدمج (صيغة nCr / n اختر صيغة k)

عدد المجموعات (التحديدات أو المجموعات) التي يمكن إعدادها من n كائنات مختلفة مأخوذة r (0 <= r <= n) في وقت واحد

هذا هو المعروف باسم nCr أو n اختر صيغة k.

nCk = ن! / ك! (nk)!

أمثلة:

1) إذا كان لديك ثلاثة فساتين بألوان مختلفة باللون الأحمر والأصفر والأبيض ، فهل يمكنك العثور على مجموعة مختلفة ستحصل عليها إذا كان عليك اختيار أي منها؟

الحل: هنا n = 3 ، r = 2 هذا هو 3 اختر 2 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

3C2 = 3!/2!(3-2)! = 2!.3/2!.1 = 3

في 3 مجموعات مختلفة تحصل على أي اثنين منهم.

2) كم عدد التركيبات المختلفة التي يمكن إجراؤها إذا كان لديك 4 عناصر مختلفة وعليك أن تختار 2؟

الحل: هنا n = 4 ، r = 2 هذا هو 4 اختر 2 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

4C2 = 4!/2!(4-2)! = 2!.3.4/2!.2! = 6

في 6 مجموعات مختلفة تحصل على أي اثنين منهم.

3) كم عدد التركيبات المختلفة التي يمكن إجراؤها إذا كان لديك 5 أحرف فقط وعليك اختيار أي 2 من بينها؟

الحل: هنا n = 5 ، r = 2 هذا هو 5 اختر 2 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

5C2 = 5!/2!(5-2)! = 3!.4.5/2!.3! = 10

في 10 مجموعات مختلفة تحصل على أي اثنين منهم.

4) أوجد عدد التوليفات 6 اختر 2.

الحل: هنا n = 6 ، r = 2 هذا هو 6 اختر 2 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

6C2 = 6!/2!(6-2)! = 4!.5.6/2!.4! = 15

في 15 مجموعات مختلفة تحصل على أي اثنين منهم.

5) ابحث عن عدد طرق اختيار 3 أعضاء من 5 شركاء مختلفين.

الحل: هنا n = 5 ، r = 3 هذا هو 5 اختر 3 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

5C3 = 5!/3!(5-3)! = 3!.4.5/3!.2! = 10

في 10 مجموعات مختلفة تحصل على أي ثلاثة منهم.

6) علبة من أقلام تلوين باللون الأحمر والأزرق والأصفر والبرتقالي والأخضر والأرجواني. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك استخدامها لرسم ثلاثة ألوان فقط؟

الحل: هنا n = 6 ، r = 3 هذا هو 6 اختر 3 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

6C3 = 6!/3!(6-3)! = 3!.4.5.6/3!.3.2.1 =20

في 20 مجموعات مختلفة تحصل على أي ثلاثة منهم.

7) أوجد عدد التوليفات لـ 4 اختر 3.

الحل: هنا n = 4 ، r = 3 هذا هو 4 اختر 3 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

4C3 = 4! / 3! (4-3)! = 3! .4 / 3! .1! = 4

في 4 مجموعات مختلفة تحصل على أي ثلاثة منهم.

8) كم عدد اللجان المختلفة المكونة من خمسة أشخاص يمكن انتخابها من بين 10 أشخاص؟

الحل: هنا n = 10 ، r = 5 هذا هو 10 اختر 5 مشاكل

nCr = n! / r! (nr)!

10C5 = 10! / 5! (10-5)! = 10! / 5! .5! = 5! .6.7.8.9.10 / 5! .5.4.3.2 = 7.4.9 = 252

لذلك يمكن انتخاب 252 لجنة مختلفة مكونة من 5 أشخاص من 10 أشخاص.

9) يوجد في الكلية 12 لاعباً للكرة الطائرة ، والتي سوف تتكون من فريق من 9 لاعبين. إذا ظل القبطان ثابتًا ، يمكن تشكيل الفريق بعدد الطرق.

الحل: هنا بما أن الكابتن قد تم اختياره بالفعل ، لذلك الآن من بين 11 لاعبًا ، سيتم اختيار 8 ن = 11 ، ص = 8 هذا هو 11 اختر 8 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

11C8 = 11! / 8! (11-8)! = 11! / 8! .3! = 8! .9.10.11 / 8! .3.2.1 = 3.5.11 = 165

لذلك إذا ظل القبطان ثابتًا ، يمكن تشكيل الفريق بـ 165 طريقة.

10) أوجد عدد التوليفات 10 اختر 2.

الحل: هنا n = 10 ، r = 2 هذا هو 10 اختر 2 مشكلة

nCr = n!/r!(نر)!

10C2 = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!.8! = 8!.9.10/2!.8! = 5.9،45 = XNUMX،XNUMX

في 45 مجموعات مختلفة تحصل على أي اثنين منهم.

علينا أن نرى الفرق في أن nCr هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار الأشياء بطرق r و nPr هو عدد الطرق التي يمكن بها فرز الأشياء عن طريق r. علينا أن نضع في اعتبارنا أنه في أي حالة من حالات سيناريو التقليب ، فإن الطريقة التي يتم ترتيب الأشياء بها مهمة للغاية. ومع ذلك ، في المجموعة ، فإن الترتيب لا يعني شيئًا.

في الختام

تم توفير وصف مفصل مع أمثلة على التباديل والتركيبات في هذه المقالة مع بعض الأمثلة الواقعية ، في سلسلة من المقالات سنناقش بالتفصيل النتائج والصيغ المختلفة مع الأمثلة ذات الصلة إذا كنت مهتمًا بمزيد من الدراسة. هذه الصفحة .

الرقم المرجعي

  1. مخطط SCHAUM للنظرية ومشكلات الرياضيات التمييزية
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات