المتغير العشوائي العادي: 3 حقائق مهمة


عادي متغير عشوائي وتوزيع عادي

      من المعروف أن المتغير العشوائي الذي يحتوي على مجموعة غير معدودة من القيم هو متغير عشوائي مستمر ، ودالة كثافة الاحتمال بمساعدة التكامل كمنطقة أسفل المنحنى تعطي التوزيع المستمر ، والآن سنركز على أحد المتغيرات العشوائية المستمرة الأكثر استخدامًا وتكرارًا بمعنى متغير عشوائي عادي له اسم آخر مثل المتغير العشوائي الغاوسي أو التوزيع الغوسي.

متغير عشوائي عادي

      المتغير العشوائي العادي هو المتغير العشوائي المستمر مع دالة كثافة الاحتمال

وجود لئيم μ والتباين σ2 كمعلمات إحصائية وهندسية ، فإن دالة كثافة الاحتمال لها منحنى على شكل جرس متماثل حول المتوسط ​​μ.

متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي

نعلم أن الاحتمال الكلي لدالة كثافة الاحتمال واحد كذلك

بوضع y = (x-μ) /

يمكن حل هذا التكامل المزدوج بتحويله إلى شكل قطبي

وهي القيمة المطلوبة لذلك يتم التحقق منها من أجل التكامل الأول.

  • إذا تم توزيع X بشكل طبيعي مع المعلمة μ  و σ2 ثم Y = aX + b يتم توزيعها أيضًا بشكل طبيعي مع المعلمات aμ + b و a2μ2

توقع وتباين المتغير العشوائي العادي

القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي العادي والتباين الذي سنحصل عليه بمساعدة

حيث يتم توزيع X بشكل طبيعي مع متوسط ​​المعلمات μ والانحراف المعياري σ.

نظرًا لأن متوسط ​​Z يساوي صفرًا ، لذلك لدينا التباين كـ

باستخدام التكامل بالأجزاء

بالنسبة للمتغير Z ، يكون التفسير الرسومي على النحو التالي

متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي

والمنطقة الواقعة تحت المنحنى لهذا المتغير Z والتي تعرف بـ المتغير العادي القياسي ، عليه يتم حسابه للمرجع (الوارد في الجدول) ، حيث أن المنحنى متماثل ، لذا بالنسبة للقيمة السالبة ، ستكون المنطقة مماثلة لتلك الخاصة بالقيم الموجبة

z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

منذ أن استخدمنا التعويض

ضع في اعتبارك هنا أن Z هو المعيار الطبيعي المتغير حيث يتم توزيع المتغير العشوائي المستمر X بشكل طبيعي متغير عشوائي عادي بمتوسط ​​μ وانحراف معياري σ.

لذلك للعثور على دالة التوزيع للمتغير العشوائي ، سنستخدم التحويل إلى المتغير العادي القياسي كـ

لأي قيمة من أ.

على سبيل المثال: في المنحنى القياسي العادي أوجد المنطقة الواقعة بين النقطتين 0 و 1.2.

إذا اتبعنا الجدول ، فإن قيمة 1.2 تحت العمود 0 هي 0.88493 والقيمة 0 هي 0.5000 ،

متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي

مثال: أوجد مساحة المنحنى العادي القياسي ضمن -0.46 إلى 2.21.

متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي

من المنطقة المظللة يمكننا تقسيم هذه المنطقة من -0.46 إلى 0 ومن 0 إلى 2.21 لأن المنحنى العادي متماثل حول المحور y وبالتالي فإن المنطقة من -0.46 إلى 0 هي نفسها من 0 إلى 0.46 وبالتالي من الجدول

و

حتى نتمكن من كتابتها

المساحة الإجمالية = (المنطقة الواقعة بين z = -0.46 و z = 0) + (المنطقة الواقعة بين z = 0 و z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

على سبيل المثال: إذا كان X متغيرًا عشوائيًا عاديًا بمتوسط ​​3 والتباين 9 ، فابحث عن الاحتمالات التالية

P2

ص {X> 0}

ص | X-3 |> 6

حل: لأن لدينا

متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي

لذلك ، بالتقسيم في الفترات الزمنية من -1/3 إلى 0 ومن 0 إلى 2/3 ، سنحصل على الحل من القيم المجدولة

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

و

متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي
متغير عشوائي عادي

على سبيل المثال: يقول مراقب في قضية الأبوة أن طول (بالأيام) النمو البشري

يتم توزيعها عادةً بمعلمات تعني 270 والتباين 100. في هذه الحالة ، قدم المشتبه به وهو والد الطفل دليلًا على أنه كان خارج البلاد خلال فترة بدأت قبل 290 يومًا من ولادة الطفل وانتهت قبل 240 يومًا الميلاد. أوجد احتمالية أن تكون الأم قد حملت لفترة طويلة جدًا أو قصيرة جدًا كما أشار الشاهد؟

دع X تشير إلى المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي للحمل واعتبر أن المشتبه به هو والد الطفل. في هذه الحالة حدث ولادة الطفل في الوقت المحدد له الاحتمال

العلاقة بين المتغير العشوائي العادي والمتغير العشوائي ذي الحدين

      في حالة التوزيع ذي الحدين ، يكون المتوسط ​​هو np ويكون التباين npq ، لذلك إذا قمنا بتحويل هذا المتغير العشوائي ذي الحدين بهذا المتوسط ​​والانحراف المعياري الذي يحتوي على n كبير جدًا و p أو q صغير جدًا يقترب من الصفر ثم المتغير العادي القياسي Z مع مساعدة من هذه يعني والتباين

هنا من حيث محاكمات برنولي يأخذ X في الاعتبار عدد النجاحات في n من التجارب. نظرًا لأن n تزداد وتقترب من اللانهاية ، فإن هذا المتغير الطبيعي يسير بنفس الطريقة ليصبح متغيرًا عاديًا عاديًا.

العلاقة بين المتغير العادي ذي الحدين والمتغير العادي القياسي الذي يمكننا إيجاده بمساعدة النظرية التالية.

DeMoivre Laplace نظرية الحد

If Sn يشير إلى عدد النجاحات التي تحدث عندما ن  تجارب مستقلة ، كل منها يؤدي إلى النجاح مع الاحتمال ص يتم أداؤها ، إذن ، لأي أ <ب ،

على سبيل المثال: بمساعدة التقريب العادي للمتغير العشوائي ذي الحدين ، ابحث عن احتمال حدوث 20 مرة من الذيل عند رمي عملة عادلة 40 مرة.

حل: لنفترض أن المتغير العشوائي X يمثل حدوث الذيل ، حيث أن المتغير العشوائي ذي الحدين هو متغير عشوائي متقطع والمتغير العشوائي العادي هو متغير عشوائي مستمر ، لذلك لتحويل المنفصل إلى مستمر ، نكتبه على النحو التالي

وإذا حللنا المثال المعطى بمساعدة التوزيع ذي الحدين ، فسنحصل عليه على أنه

على سبيل المثال: لتحديد مدى فعالية غذاء محدد في تقليل نسبة الكوليسترول في الدورة الدموية ، يتم وضع 100 شخص على هذا الغذاء. لوحظ تعداد الكوليسترول في الوقت المحدد بعد تقديم الغذاء. إذا كان 65 في المائة من هذه العينة لديهم عدد منخفض من الكوليسترول ، فستتم الموافقة على التغذية. ما هو احتمال أن يوافق اختصاصي التغذية على الغذاء الجديد إذا لم يكن له في الواقع أي تأثير على مستوى الكوليسترول؟

حل:  دع المتغير العشوائي يعبر عن مستوى الكوليسترول في حالة انخفاضه عن طريق التغذية ، لذا فإن احتمال هذا المتغير العشوائي سيكون ½ لكل شخص ، إذا كانت X تشير إلى المستوى المنخفض لعدد الأشخاص ، فإن احتمال الموافقة على النتيجة حتى لا يكون هناك تأثير للتغذية على خفض مستوى الكوليسترول



الخلاصة:

   في هذا المقال مفهوم المتغير العشوائي المستمر وهو العادي متغير عشوائي وقد تمت مناقشة توزيعها مع دالة الكثافة الاحتمالية وتم إعطاء متوسط ​​المعلمة الإحصائية ، التباين للمتغير العشوائي العادي. يتم إعطاء تحويل المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي إلى المتغير العادي القياسي الجديد والمنطقة الواقعة تحت المنحنى لمثل هذا المتغير العادي القياسي في شكل مجدول واحد من تم ذكر العلاقة مع المتغير العشوائي المنفصل أيضًا مع المثال ، إذا كنت تريد مزيدًا من القراءة ، فانتقل إلى:

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

لمزيد من الموضوعات حول الرياضيات يرجى التحقق هذه الصفحة.

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق. لقد أكملت رسالة الدكتوراه الخاصة بي. في الرياضيات والعمل أستاذا مساعدا في الرياضيات. لديه خبرة 12 عامًا في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات

الارتباط بـ 13 أمثلة من المعادن الحديدية: حقائق يجب أن تعرفها

13 أمثلة على المعادن الحديدية: حقائق يجب أن تعرفها

المعادن الحديدية هي تلك المعادن التي تحتوي على الحديد. يتكون من الحديد وسبائكه. دعونا نناقش هنا أمثلة مختلفة من المعادن الحديدية. يتم سرد الأمثلة الشائعة للمعادن الحديدية ...