وظائف توليد اللحظة: 13 حقائق مهمة


وظيفة توليد اللحظة    

وظيفة توليد اللحظة هي وظيفة مهمة للغاية والتي تولد لحظات المتغير العشوائي التي تتضمن المتوسط ​​والانحراف المعياري والتباين وما إلى ذلك ، لذلك بمساعدة وظيفة توليد اللحظة فقط ، يمكننا العثور على اللحظات الأساسية وكذلك اللحظات الأعلى ، في هذه المقالة نحن سوف نرى وظائف توليد اللحظة لمختلف المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة. نظرًا لأن وظيفة توليد اللحظة (MGF) يتم تعريفها بمساعدة التوقع الرياضي الذي يشير إليه M (t) على أنه

[لاتكس] [/ لاتكس]

[اللاتكس] M (t) = E \ left [e ^ {t X} \ right] [/ اللاتكس]

واستخدام تعريف توقع المتغير العشوائي المنفصل والمستمر ستكون هذه الوظيفة

[اللاتكس] M (t) = \ left \ {\ start {array} {ll}
\ sum_ {x} e ^ {tx} p (x) & \ text {if} X \ text {منفصل بوظيفة الكتلة} p (x) \\
\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ix} f (x) dx & \ text {if} X \ text {مستمر بكثافة} f (x)
\ نهاية {مجموعة} \ صحيح.
[/ اللاتكس]

والذي عن طريق استبدال قيمة t كصفر يولد لحظات على التوالي. يجب أن نجمع هذه اللحظات عن طريق التمييز بين وظيفة توليد هذه اللحظة ، على سبيل المثال للحظة الأولى أو يعني أنه يمكننا الحصول عليها عن طريق التمييز مرة واحدة

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
م ^ {\ prime} (t) & = \ frac {d} {dt} E \ left [e ^ {t X} \ right] \\
& = E \ left [\ frac {d} {dt} \ left (e ^ {LX} \ right) \ right] \\
& = E \ left [X e ^ {t X} \ right]
\ end {align} [/ اللاتكس]

يعطي هذا تلميحًا إلى أن التمايز قابل للتبديل في ظل التوقع ويمكننا كتابته على هذا النحو

[اللاتكس] \ frac {d} {dt} \ left [\ sum_ {x} e ^ {ix} p (x) \ right] = \ sum_ {x} \ frac {d} {dt} \ left [e ^ {\ operatorname {tr}} p (x) \ right] [/ latex]

و

[اللاتكس] \ frac {d} {dt} \ left [\ int e ^ {ix} f (x) dx \ right] = \ int \ frac {d} {dt} \ left [e ^ {tx} f ( x) \ right] dx [/ اللاتكس]

إذا كانت t = 0 ستكون اللحظات المذكورة أعلاه

[لاتكس] M ^ {\ prime} (0) = شرق [X] [/ لاتكس]

و

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
م ^ {\ prime \ prime} (t) & = \ frac {d} {dt} M ^ {\ prime} (t) \\
& = \ frac {d} {dt} E \ left [X e ^ {t X} \ right] \\
& = E \ left [\ frac {d} {dt} \ left (X e ^ {t X} \ right) \ right] \\
& = E \ left [X ^ {2} e ^ {LX} \ right] \\
م ^ {\ prime \ prime} (0) & = E \ left [X ^ {2} \ right]
\ end {align} [/ اللاتكس]

بشكل عام يمكننا أن نقول ذلك

[اللاتكس] M ^ {n} (t) = E \ left [X ^ {n} e ^ {t X} \ right] \ quad n \ geq 1 [/ latex]

من هنا

[اللاتكس] M ^ {n} (0) = E \ left [X ^ {n} \ right] \ quad n \ geq 1 [/ latex]

دالة توليد اللحظة للتوزيع ذي الحدين || دالة توليد اللحظة للتوزيع ذي الحدين || MGF للتوزيع ذي الحدين || متوسط ​​وتباين التوزيع ذي الحدين باستخدام وظيفة توليد اللحظة

ستتبع وظيفة توليد اللحظة للمتغير العشوائي X وهو التوزيع ذي الحدين دالة الاحتمال للتوزيع ذي الحدين مع المعلمتين n و p مثل

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M (t) & = E \ left [e ^ {t X} \ right] \\
& = \ sum_ {k = 0} ^ {n} e ^ {tk} \ left (\ start {array} {l}
ن \\
k
\ نهاية {مجموعة} \ يمين) p ^ {k} (1-p) ^ {nk} \\
& = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left (\ start {array} {l}
ن \\
k
\ نهاية {مجموعة} \ يمين) \ يسار (pe ^ {t} \ right) ^ {k} (1-p) ^ {nk} \\
& = \ يسار (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n}
\ end {align} [/ اللاتكس]

والتي هي نتيجة نظرية ذات الحدين ، الآن اشتقاق ووضع قيمة t = 0

[لاتكس] M ^ {\ prime} (t) = n \ left (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n-1} pe ^ {t} \\
E [X] = M ^ {\ prime} (0) = np [/ لاتكس]

الذي هو الوسيط أو اللحظة الأولى للتوزيع ذي الحدين بالمثل ستكون اللحظة الثانية

[لاتكس] M ^ {\ prime} (t) = n (n-1) \ left (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n-2} \ left (pe ^ {t} \ right ) ^ {2} + n \ يسار (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n-1} pe ^ {t} \\
E \ left [X ^ {2} \ right] = M ^ {\ prime \ prime} (0) = n (n-1) p ^ {2} + np [/ latex]

لذلك سيكون تباين التوزيع ذي الحدين

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ operatorname {Var} (X) & = E \ left [X ^ {2} \ right] - (E [X]) ^ {2} \\
& = n (n-1) p ^ {2} + n pn ^ {2} p ^ {2} \\
& = np (1-p)
\ end {align} [/ اللاتكس]

وهو المتوسط ​​القياسي والتباين للتوزيع ذي الحدين ، وبالمثل يمكن أن نجد اللحظات الأعلى باستخدام وظيفة توليد اللحظة هذه.

وظيفة توليد اللحظة سمك التوزيع ||سمك دالة توليد لحظة التوزيع || MGF of سمك التوزيع || متوسط ​​وتباين توزيع بواسون باستخدام وظيفة توليد اللحظة

 إذا كان لدينا المتغير العشوائي X الذي يتم توزيع Poisson مع المعلمة Lambda ، فستكون وظيفة توليد اللحظة لهذا التوزيع

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M (t) & = E \ left [e ^ {\ ell X} \ right] \\
& = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {in} e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {n}} {n!} \\
& = e ^ {- \ lambda} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ left (\ lambda e ^ {t} \ right) ^ {n}} {n!} \\
& = e ^ {- \ lambda} e \\
& = e ^ {\ left \ {\ lambda \ left (e ^ {t} -1 \ right) \ right \}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

الآن سوف يعطي التفريق بين هذا

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
م ^ {\ prime} (t) & = \ lambda e ^ {t} e ^ {\ left \ {\ lambda \ left (e ^ {t} -1 \ right) \ right \}} \\
M ^ {\ prime \ prime} (t) & = \ left (\ lambda e ^ {t} \ right) ^ {2} e ^ {\ left \ {\ lambda \ left (e ^ {t} -1 \ يمين) \ right \}} + \ lambda e ^ {t} e ^ {\ left \ {\ lambda \ left (e ^ {t} -1 \ right) \ right \}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

هذا يعطي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E [X] & = M ^ {\ prime} (0) = \ lambda \\
E \ left [X ^ {2} \ right] & = M ^ {\ prime \ prime} (0) = \ lambda ^ {2} + \ lambda \\
\ operatorname {Var} (X) & = E \ left [X ^ {2} \ right] - (E [X]) ^ {2} \\
& = \ لامدا
\ end {align} [/ اللاتكس]

والذي يعطي نفس الوسيلة والتباين لتوزيع بواسون وهذا صحيح

دالة توليد اللحظة للتوزيع الأسي ||أسي دالة توليد لحظة التوزيع || MGF of أسي التوزيع || يعني وتباين أسي التوزيع باستخدام وظيفة توليد اللحظة

                دالة توليد اللحظة للمتغير العشوائي الأسي X باتباع التعريف هي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M (t) & = E \ left [e ^ {t X} \ right] \\
& = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {\ lfloor x} \ lambda e ^ {- \ lambda x} dx \\
& = \ lambda \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (\ lambda-t) x} dx \\
& = \ frac {\ lambda} {\ lambda-t} \ quad \ text {for} t <\ lambda
\ end {align} [/ اللاتكس]

هنا قيمة t أقل من المعلمة lambda ، والآن فإن التفريق بين هذا سيعطي

[لاتكس] M ^ {\ prime} (t) = \ frac {\ lambda} {(\ lambda-t) ^ {2}} \ quad M ^ {\ prime \ prime} (t) = \ frac {2 \ لامدا} {(\ lambda-t) ^ {3}} [/ لاتكس]

الذي يوفر اللحظات

[لاتكس] E [X] = M ^ {\ prime} (0) = \ frac {1} {\ lambda} \ quad E \ left [X ^ {2} \ right] = M ^ {\ prime \ prime} (0) = \ frac {2} {\ lambda ^ {2}} [/ لاتكس]

بوضوح

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ operatorname {Var} (X) & = E \ left [X ^ {2} \ right] - (E [X]) ^ {2} \\
& = \ frac {1} {\ lambda ^ {2}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

ما هو متوسط ​​وتباين التوزيع الأسي.

دالة توليد اللحظة للتوزيع الطبيعي ||حكمl وظيفة توليد لحظة التوزيع || MGF of حكمل التوزيع || يعني وتباين خرسانة عادية التوزيع باستخدام وظيفة توليد اللحظة

  دالة توليد اللحظة للتوزيعات المستمرة هي نفسها الدالة المنفصلة ، لذا ستكون وظيفة توليد اللحظة للتوزيع الطبيعي مع دالة كثافة الاحتمال القياسية

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M_ {Z} (t) & = E \ left [e ^ {t Z} \ right] \\
& = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx
\ end {align} [/ اللاتكس]

هذا التكامل يمكننا حله عن طريق الضبط كـ

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- \ frac {\ left (x ^ {2} -2 tx \ يمين)} {2} \ right \}} dx \\
= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- \ frac {(xt) ^ {2}} {2} + \ frac {t ^ {2}} {2} \ right \}} dx \\
= e ^ {t ^ {2} / 2} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (xt) ^ {2} / 2} dx \\
= e ^ {t ^ {2} / 2}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

نظرًا لأن قيمة التكامل هي 1. وبالتالي فإن وظيفة توليد اللحظة للمتغير العادي القياسي ستكون

[لاتكس] M_ {Z} (t) = e ^ {t ^ {2} / 2} [/ لاتكس]

من هذا يمكننا أن نجد لأي متغير عشوائي عادي عام وظيفة توليد اللحظة باستخدام العلاقة

[اللاتكس] X = \ mu + \ sigma Z [/ اللاتكس]

هكذا

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M_ {X} (t) & = E \ left [e ^ {t X} \ right] \\
& = E \ left [e ^ {t (\ mu + \ sigma Z)} \ right] \\
& = E \ left [e ^ {t \ mu} e ^ {b \ sigma Z} \ right] \\
& = e ^ {t \ mu} E \ left [e ^ {k \ sigma Z} \ right] \\
& = e ^ {t \ mu} M_ {Z} (t \ sigma) \\
& = e ^ {t \ mu} e ^ {(t \ sigma) ^ {2} / 2} \\
& = e ^ {\ left \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ right \}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

حتى الاختلاف يعطينا

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
M_ {X} ^ {\ prime} (t) = \ left (\ mu + t \ sigma ^ {2} \ right) \ exp \ left \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ right \} \\
M_ {X} ^ {\ prime \ prime} (t) = \ left (\ mu + t \ sigma ^ {2} \ right) ^ {2} \ exp \ left \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ right \} + \ sigma ^ {2} \ exp \ left \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ مو ر \ الحق \}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

هكذا

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E [X] & = M ^ {\ prime} (0) = \ mu \\
E \ left [X ^ {2} \ right] & = M ^ {\ prime \ prime} (0) = \ mu ^ {2} + \ sigma ^ {2}
\ end {align} [/ اللاتكس]

لذلك سيكون التباين

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ operatorname {Var} (X) & = E \ left [X ^ {2} \ right] -E ([X]) ^ {2} \\
& = \ سيجما ^ {2}
\ end {align} [/ اللاتكس]

دالة توليد اللحظة لمجموع المتغيرات العشوائية

يوفر وظيفة توليد اللحظة من مجموع المتغيرات العشوائية يعطي خاصية مهمة تساوي ناتج وظيفة توليد اللحظة للمتغيرات العشوائية المستقلة ذات الصلة والمتعلقة بالمتغيرات العشوائية المستقلة X و Y ثم وظيفة توليد اللحظة لمجموع المتغير العشوائي X + Y

وظيفة توليد اللحظة
MGF من SUM

هنا تكون وظائف توليد اللحظة لكل من X و Y مستقلة عن طريق خاصية التوقع الرياضي. في التعاقب سنجد مجموع وظائف توليد اللحظة للتوزيعات المختلفة.

مجموع المتغيرات العشوائية ذات الحدين

إذا تم توزيع المتغيرات العشوائية X و Y عن طريق التوزيع ذي الحدين مع المعلمات (n ، p) و (m ، p) على التوالي ، فإن وظيفة توليد اللحظة لمجموعها X + Y ستكون

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M_ {X + Y} (t) = M_ {X} (t) M_ {Y} (t) & = \ left (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n} \ left (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {m} \\
& = \ يسار (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {m + n}
\ end {align} [/ اللاتكس]

حيث معلمات المجموع هي (n + m ، p).

مجموع متغيرات بواسون العشوائية

التوزيع لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة X و Y بالوسائل ذات الصلة والتي يتم توزيعها بواسطة توزيع بواسون يمكننا العثور عليها

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M_ {X + Y} (t) & = M_ {X} (t) M_ {Y} (t) \\
& = \ exp \ left \ {\ lambda_ {1} \ left (e ^ {t} -1 \ right) \ right \} \ exp \ left \ {\ lambda_ {2} \ left (e ^ {t} - 1 \ يمين) \ يمين \} \
& = \ exp \ left \ {\ left (\ lambda_ {1} + \ lambda_ {2} \ right) \ left (e ^ {t} -1 \ right) \ right \}
\ end {align} [/ اللاتكس]

أين

[لاتكس] \ لامدا_ {1} + \ لامدا_ {2} [/ لاتكس]

هو متوسط ​​متغير Poisson العشوائي X + Y.

مجموع المتغيرات العشوائية العادية

     النظر في المستقل المتغيرات العشوائية العادية X و Y مع المعلمات

[لاتكس] يسار (\ mu_ {1} ، \ sigma_ {1} ^ {2} \ right) \ و \ \ left (\ mu_ {2} ، \ sigma_ {2} ^ {2} \ right) [/ latex ]

ثم لمجموع المتغيرات العشوائية X + Y مع المعلمات

[لاتكس] \ mu_ {1} + \ mu_ {2} \ and \ \ sigma_ {1} ^ {2} + \ sigma_ {2} ^ {2} [/ latex]

لذلك ستكون وظيفة توليد اللحظة

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M_ {X + Y} (t) & = M_ {X} (t) M_ {Y} (t) \\
& = e ^ {\ left \ {\ frac {\ sigma_ {1} ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu_ {1} t \ right \} \ exp \ left \ {\ frac { \ sigma_ {2} ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu_ {2} t \ right \}} \\
&=e^{\left\{\frac{\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) t^{2}}{2}+\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) t\right\}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

وهي وظيفة توليد اللحظة بمتوسط ​​مضاف وتباين.

مجموع العدد العشوائي للمتغيرات العشوائية

للعثور على وظيفة توليد اللحظة لمجموع العدد العشوائي للمتغيرات العشوائية ، دعنا نفترض المتغير العشوائي

[اللاتكس] Y = \ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i [/ اللاتكس]

حيث المتغيرات العشوائية X1,X2، ... هي سلسلة من المتغيرات العشوائية من أي نوع ، والتي تكون مستقلة وموزعة بشكل متماثل ، فإن وظيفة توليد اللحظة ستكون

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [\ exp \ left \ {t \ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ right \} \ mid N = n \ right] & = E \ left [\ exp \ left \ {t \ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ right \} \ mid N = n \ right] \\
& = E \ left [\ exp \ left \ {t \ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ right \} \ right] \\
& = \ يسار [M_ {X} (t) \ يمين] ^ {n}
\ end {align} [/ اللاتكس]

[لاتكس] \ نص {حيث} MX (t) = E \ left [e ^ {t X_ {i}} \ right] \\ \ text {وبالتالي} E \ left [e ^ {t Y} \ mid N \ اليمين] = \ left (M_ {X} (t) \ right) ^ {N} \\ M_ {Y} (t) = E \ left [\ left (M_ {X} (t) \ right) ^ {N } \ right] [/ اللاتكس]

وهو ما يعطي دالة توليد اللحظة لـ Y عند التفاضل كـ

[لاتكس] M_ {Y} ^ {\ prime} (t) = E \ left [N \ left (M_ {X} (t) \ right) ^ {N-1} M_ {X} ^ {\ prime} ( t) \ right] [/ اللاتكس]

من هنا

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E [Y] & = M_ {Y} ^ {\ prime} (0) \\
& = E \ left [N \ left (M_ {X} (0) \ right) ^ {N-1} M_ {X} ^ {\ prime} (0) \ right] \\
& = E [NEX] \\
& = E [N] E [X]
\ end {align} [/ اللاتكس]

بالطريقة نفسها سيعطي الاشتقاق مرتين

[لاتكس] M_ {Y} ^ {\ prime \ prime} (t) = E \ left [N (N-1) \ left (M_ {X} (t) \ right) ^ {N-2} \ left ( M_ {X} ^ {\ prime} (t) \ right) ^ {2} + N \ left (M_ {X} (t) \ right) ^ {N-1} M_ {X} ^ {\ prime \ prime } (t) \ right] [/ اللاتكس]

التي تعطي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [Y ^ {2} \ right] & = M_ {Y} ^ {\ prime \ prime} (0) \\
& = E \ left [N (N-1) (E [X]) ^ {2} + NE \ left [X ^ {2} \ right] \ right] \\
& = (E [X]) ^ {2} \ left (E \ left [N ^ {2} \ right] -E [N] \ right) + E [N] E \ left [X ^ {2} \ حقا] \\
& = E [N] \ left (E \ left [X ^ {2} \ right] - (E [X]) ^ {2} \ right) + (E [X]) ^ {2} E \ left [ N ^ {2} \ right] \\
& = E [N] \ operatorname {Var} (X) + (E [X]) ^ {2} E \ left [N ^ {2} \ right]
\ end {align} [/ اللاتكس]

وبالتالي سيكون التباين

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ operatorname {Var} (Y) & = E [N] \ operatorname {Var} (X) + (E [X]) ^ {2} \ left (E \ left [N ^ {2} \ right] - ( E [N]) ^ {2} \ right) \\
& = E [N] \ operatorname {Var} (X) + (E [X]) ^ {2} \ operatorname {Var} (N)
\ end {align} [/ اللاتكس]

مثال على متغير عشوائي مربع كاي

احسب دالة توليد اللحظة لمتغير عشوائي مربع كاي بدرجة n من الحرية.

الحل: ضع في اعتبارك المتغير العشوائي Chi-squared مع درجة الحرية لـ

[لاتكس] Z_ {1} ^ {2} + \ cdots + Z_ {n} ^ {2} [/ لاتكس]

تسلسل المتغيرات العادية القياسية ستكون وظيفة توليد اللحظة

[اللاتكس] M (t) = \ left (E \ left [e ^ {t Z ^ {2}} \ right] \ right) ^ {n} [/ latex]

لذلك يعطي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [e ^ {t Z ^ {2}} \ right] & = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx ^ {2}} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \\
& = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2}} dx \ quad \ نص {where} \ sigma ^ {2} = (1-2 t) ^ {- 1} \\
& = \ سيجما \\
& = (1-2 طن) ^ {- 1/2}
\ end {align} [/ اللاتكس]

الكثافة الطبيعية بمتوسط ​​0 وتباين σ2 يتكامل مع 1

[اللاتكس] M (t) = (1-2 طن) ^ {- n / 2} [/ اللاتكس]

وهي دالة توليد اللحظة المطلوبة لدرجة n من الحرية.

مثال على متغير عشوائي منتظم

أوجد دالة توليد اللحظة للمتغير العشوائي X الذي يتم توزيعه ثنائي الحدين باستخدام المعلمات n و p مع إعطاء شرطي المتغير العشوائي Y = p في الفترة (0,1،XNUMX)

الحل: لإيجاد دالة توليد اللحظة للمتغير العشوائي X معطى Y

[لاتكس] E \ left [e ^ {XX} \ mid Y = p \ right] = \ left (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n} [/ latex]

باستخدام التوزيع ذي الحدين ، فإن sin Y هو المتغير العشوائي المنتظم في الفترة (0,1،XNUMX)

[لاتكس]
\ ابدأ {مجموعة} {l}
E \ left [e ^ {t X} \ right] = \ int_ {0} ^ {1} \ left (pe ^ {t} + 1-p \ right) ^ {n} dp
\\ = \ frac {1} {e ^ {t} -1} \ int_ {1} ^ {e ^ {t}} y ^ {n} dy \\
=\frac{1}{n+1} \frac{e^{t(n+1)}-1}{e^{t}-1} \\
= \ frac {1} {n + 1} \ left (1 + e ^ {t} + e ^ {2 t} + \ cdots + e ^ {nt} \ right)
\ نهاية {مجموعة}
\\\ text {باستبدال} \ left.y = pe ^ {t} + 1-p \ right)
[/ اللاتكس]

وظيفة توليد اللحظة المشتركة

دالة توليد اللحظة المشتركة لعدد n من المتغيرات العشوائية X1,X2، ... ، Xn

[اللاتكس] M \ left (t_ {1} ، \ ldots ، t_ {n} \ right) = E \ left [e ^ {t_ {1} X_ {1} + \ cdots + t_ {n} X_ {n} } \ right] [/ اللاتكس]

اين1,t2، ...... رn هي الأرقام الحقيقية ، من وظيفة توليد اللحظة المشتركة يمكننا أن نجد وظيفة توليد اللحظة الفردية مثل

[اللاتكس] M_ {X_ {i}} (t) = E \ left [e ^ {t X_ {i}} \ right] = M (0، \ ldots، 0، t، 0، \ ldots، 0) [ / اللاتكس]

نظرية: المتغيرات العشوائية X1,X2، ... ، Xn تكون مستقلة فقط إذا وفقط إذا كانت وظيفة توليد الذكريات المشتركة

[اللاتكس] M \ اليسار (t_ {1} ، \ ldots ، t_ {n} \ right) = M X_ {1} \ left (t_ {1} \ right) \ cdots M X_ {n} \ left (t_ { n} \ يمين) [/ لاتكس]

الدليل: لنفترض أن المتغيرات العشوائية المحددة X1,X2، ... ، Xn تكون مستقلة بعد ذلك

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
M \ يسار (t_ {1} ، \ ldots ، t_ {n} \ right) & = E \ left [e ^ {\ left (t_ {1} X_ {1} + \ cdots + t_ {n} X_ {n }\صحيح صحيح] \\
& = E \ left [e ^ {t_ {1} X_ {1}} \ ldots e ^ {t_ {n} X_ {n}} \ right] \\
& = E \ left [e ^ {t_ {1} X_ {1}} \ right] \ cdots E \ left [e ^ {t_ {n} X_ {n}} \ right] \ quad \ text {by freedom} \\
& = M_ {X_ {1}} \ left (t_ {1} \ right) \ cdots M_ {X_ {n}} \ left (t_ {n} \ right)
\ end {align} [/ اللاتكس]

افترض الآن أن وظيفة توليد اللحظة المشتركة تفي بالمعادلة

[اللاتكس] M \ اليسار (t_ {1} ، \ ldots ، t_ {n} \ right) = M X_ {1} \ left (t_ {1} \ right) \ cdots M X_ {n} \ left (t_ { n} \ يمين) [/ لاتكس]

  • لإثبات المتغيرات العشوائية X1,X2، ... ، Xn مستقلون لدينا النتيجة أن وظيفة توليد اللحظة المشتركة تعطي توزيعًا فريدًا للمفاصل (هذه نتيجة مهمة أخرى تتطلب إثباتًا) لذلك يجب أن يكون لدينا توزيع مشترك يوضح أن المتغيرات العشوائية مستقلة ، ومن ثم تم إثبات الشرط الضروري والكافي.

مثال على وظيفة توليد اللحظة المشتركة

1 احسب دالة توليد اللحظة المشتركة للمتغير العشوائي X + Y و XY

الحل: نظرًا لأن مجموع المتغيرات العشوائية X + Y وطرح المتغيرات العشوائية XY مستقلان عن المتغيرين العشوائيين المستقلين X و Y ، لذا فإن وظيفة توليد اللحظة المشتركة لهما ستكون

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [e ^ {n (X + Y) + s (XY)} \ right] & = E \ left [e ^ {(t + s) X + (ts) Y} \ right] \\
& = E \ left [e ^ {(t + s) X} \ right] E \ left [e ^ {(ts) Y} \ right] \\
& = e ^ {\ mu (t + s) + \ sigma ^ {2} (t + s) ^ {2} / 2} e ^ {\ mu (ts) + \ sigma ^ {2} (ts) ^ {2} / 2} \\
& = e ^ {2 \ mu t + \ sigma ^ {2} t ^ {2}} e ^ {\ sigma ^ {2} s ^ {2}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

نظرًا لأن وظيفة توليد اللحظة هذه تحدد التوزيع المشترك ، فيمكننا من هذا أن نحصل على X + Y و XY متغيرات عشوائية مستقلة.

2. ضع في اعتبارك بالنسبة للتجربة عدد الأحداث المحسوبة وغير المحسوبة الموزعة عن طريق توزيع بواسون مع الاحتمال ص والمتوسط ​​λ ، أظهر أن عدد الأحداث المحسوبة وغير المحسوبة مستقل عن الوسيلة المعنية λp و (1-p).

الحل: سنعتبر X هو عدد الأحداث و Xc عدد الأحداث المحسوبة بحيث يكون عدد الأحداث غير المحسوبة XXc، ستولد وظيفة توليد اللحظة المشتركة لحظة

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [e ^ {\ kappa X _ {\ varepsilon} + t \ left (X-X_ {c} \ right)} \ mid X = n \ right] & = e ^ {\ ln} E \ left [e ^ {(st) X_ {c}} \ mid X = n \ right] \\
& = e ^ {in} \ left (pe ^ {st} + 1-p \ right) ^ {n} \\
& = \ left (pe ^ {s} + (1-p) e ^ {t} \ right) ^ {n}
\ end {align} [/ اللاتكس]

وبحلول اللحظة التي تولد وظيفة التوزيع ذي الحدين

[اللاتكس] E \ left [e ^ {s X _ {\ varepsilon} + t \ left (X-X _ {\ varepsilon} \ right)} \ mid X \ right] = \ left (pe ^ {s} + (1 -p) ه ^ {t} \ right) ^ {X} [/ لاتكس]

وأخذ التوقعات من هذه سوف تعطي

[لاتكس] E \ left [e ^ {\ sum X_ {c} + t \ left (X-X_ {c} \ right)} \ right] = E \ left [\ left (pe ^ {s} + (1 -p) e ^ {t} \ right) ^ {X} \ right] \\
\ تبدأ {محاذاة}
E \ left [e ^ {s X_ {c} + t \ left (X-X_ {c} \ right)} \ right] & = e ^ {\ lambda \ left (pe ^ {\ prime} + (1- ع) ه ^ {t} -1 \ يمين)} \\
& = e ^ {\ lambda p \ left (e ^ {c-1} \ right)} e ^ {\ lambda (1-p) \ left (e ^ {t} -1 \ right)}
\ end {align} [/ اللاتكس]

الخلاصة:

باستخدام التعريف القياسي لوظيفة توليد اللحظة ، تمت مناقشة لحظات التوزيعات المختلفة مثل ذات الحدين ، والبويسون ، والعادي ، وما إلى ذلك ، وتم الحصول على مجموع هذه المتغيرات العشوائية إما المنفصلة أو المستمرة لوظيفة توليد اللحظة لتلك والوظيفة المشتركة لتوليد اللحظة. أمثلة مناسبة ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فراجع الكتب أدناه.

لمزيد من المقالات حول الرياضيات ، يرجى الاطلاع على موقعنا صفحة الرياضيات.

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات