11 حقائق عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي


توقع رياضي ومتغير عشوائي    

     يلعب التوقع الرياضي دورًا مهمًا للغاية في نظرية الاحتمالات ، والتعريف الأساسي والخصائص الأساسية للتوقعات الرياضية التي ناقشناها بالفعل في بعض المقالات السابقة الآن بعد مناقشة التوزيعات المختلفة وأنواع التوزيعات ، في المقالة التالية سوف نتعرف على المزيد الخصائص المتقدمة للتوقعات الرياضية.

توقع مجموع المتغيرات العشوائية | توقع وظيفة المتغيرات العشوائية | توقع التوزيع الاحتمالي المشترك

     نحن نعلم أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي ذي الطبيعة المنفصلة هو

[اللاتكس] E [X] = \ sum_ {x} xp (x) [/ اللاتكس]

وللواحد المستمر

[اللاتكس] E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx [/ latex]

الآن بالنسبة للمتغير العشوائي X و Y إذا كانا منفصلين ثم مع المفصل دالة الكتلة الاحتمالية ص (س ، ص)

سيكون توقع وظيفة المتغير العشوائي X و Y

[اللاتكس] E \ left [g (X، Y) \ right] = \ sum_ {y} \ sum_ {x} g (x، y) p (x، y) [/ latex]

وإذا كانت مستمرة ، فمع دالة كثافة الاحتمال المشتركة f (x ، y) ، سيكون توقع وظيفة المتغير العشوائي X و Y

[اللاتكس] E \ left [g (X، Y) \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x، y) f (x ، y) dxdy [/ latex]

إذا كانت g هي إضافة هذين المتغيرين العشوائيين في شكل مستمر

[اللاتكس] E \ left [X + Y \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x + y) f (x، y) dxdy [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x، y) dydx + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} yf (x، y) dxdy [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x f_ {X} (x) dx + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {Y} (y) dy [/ latex]

[اللاتكس] = E [X] + E [Y] [/ اللاتكس]

وإذا كان لدينا المتغيرات العشوائية X و Y

X> ص

[اللاتكس] X \ geq Y [/ اللاتكس]

ثم التوقع أيضا

[اللاتكس] E [X] \ geq E [Y] [/ اللاتكس]

مثال

يتم توزيع مستشفى Covid-19 بشكل موحد على الطريق بطول L عند النقطة X ، حيث توجد مركبة تحمل الأكسجين للمرضى في الموقع Y الذي يتم توزيعه أيضًا بشكل موحد على الطريق ، ابحث عن المسافة المتوقعة بين مستشفى Covid-19 والمركبة التي تحمل الأكسجين إذا كانت مستقلة.

حل:

لإيجاد المسافة المتوقعة بين X و Y علينا حساب E {| XY | }

الآن ستكون دالة كثافة المفصل X و Y

[اللاتكس] f (x، y) = \ frac {1} {L ^ {2}} ، \ \ 0 <x <L ، \ \ 0 <y <L [/ latex]

منذ

[اللاتكس] E \ left [g (X، Y) \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x، y) f (x ، y) dxdy [/ latex]

باتباع هذا لدينا

[لاتكس] E \ left [\ left | X- ص \ الحق | \ right] = \ frac {1} {L ^ {2}} \ int_ {0} ^ {L} \ int_ {0} ^ {L} \ left | س ص \ الحق | dy dx [/ اللاتكس]

الآن ستكون قيمة التكامل

[لاتكس] \ int_ {0} ^ {L} \ left | س ص \ الحق | dy = \ int_ {0} ^ {x} (xy) dy + \ int_ {x} ^ {L} (yx) dy [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {x ^ {2}} {2} + \ frac {L ^ {2}} {2} - \ frac {x ^ {2}} {2} -x (Lx) [/ اللاتكس ]

[اللاتكس] = \ frac {L ^ {2}} {2} + x ^ {2} -xL [/ اللاتكس]

وبالتالي ستكون المسافة المتوقعة بين هاتين النقطتين

[اللاتكس] E \ left [\ left | X- ص \ الحق | \ right] = \ frac {1} {L ^ {2}} \ int_ {0} ^ {L} \ left (\ frac {L ^ {2}} {2} + x ^ {2} -xL \ right ) dx = \ frac {L} {3} [/ اللاتكس]

توقع متوسط ​​العينة

  كمتوسط ​​عينة لتسلسل المتغيرات العشوائية X1، العاشر2، ……… ، Xn مع دالة التوزيع F والقيمة المتوقعة لكل منهما كـ μ هي

[اللاتكس] \ overline {X} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} [/ اللاتكس]

لذا فإن توقع هذه العينة يعني أن يكون

[اللاتكس] E \ left [\ overline {X} \ right] = E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} \ right] [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {1} {n} E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right] [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} شرق [X_ {i}] [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ mu \ \ منذ \ \ E [X_ {i}] \ equiv \ mu [/ اللاتكس]

مما يدل على أن القيمة المتوقعة لمتوسط ​​العينة هي أيضًا μ.

عدم المساواة في بول

                بول يمكن الحصول على عدم المساواة بمساعدة الخصائص من التوقعات ، افترض أن المتغير العشوائي X المحدد هو

[اللاتكس] X = \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} [/ اللاتكس]

أين

[اللاتكس] X_ {i} = \ start {cases} 1 \ \ if \ \ A_ {i} \ \ يحدث \\ 0 \ \ \ \ خلاف ذلك \ end {cases} [/ latex]

هنا أi هي الأحداث العشوائية ، وهذا يعني أن المتغير العشوائي X يمثل حدوث عدد الأحداث أi ومتغير عشوائي آخر Y as

[اللاتكس] Y = \ begin {cases} 1 \ \ if \ X \ geq 1 \ \ \\ 0 \ \ \ خلاف ذلك \ end {cases} [/ latex]

بوضوح

X> = ص

E [X]> = E [Y]

[اللاتكس] X \ geq Y [/ اللاتكس]

[اللاتكس] E [X] \ geq E [Y] [/ اللاتكس]

وذلك هو

الآن إذا أخذنا قيمة المتغير العشوائي X و Y فستكون هذه التوقعات

[اللاتكس] E [X] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} E \ left [X_ {i} \ right] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) [ / اللاتكس]

و

[اللاتكس] E [Y] = P \ left (\ \ at \ على الأقل \ واحد \ \ من \ the \ \ A_ {i} \ \ يحدث \ يمين) = P \ left (\ bigcup_ {i = 1 } ^ {n} A_ {i} \ right) [/ لاتكس]

باستبدال هذه التوقعات في عدم المساواة المذكورة أعلاه ، سنحصل على عدم مساواة بولي على النحو التالي

[اللاتكس] P \ left (\ bigcup_ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum_ {i = 1} ^ {n} P \ left (A_ {i} \ right) [ / اللاتكس]

توقع المتغير العشوائي ذي الحدين | متوسط ​​المتغير العشوائي ذي الحدين

  ونحن نعلم أن متغير عشوائي ذي الحدين هو المتغير العشوائي الذي يظهر عدد النجاحات في n تجارب مستقلة مع احتمال النجاح مثل p والفشل كـ q = 1-p ، لذلك إذا

س = س1 + X2+ ...... + Xn

أين

[لاتكس] X_ {i} = \ start {cases} 1 \ \ if \ the \ ith \ \ trail \ \ is \ a \ Success \\ 0 \ \ if \ \ the \ ith \ trail \ \ هو \ \ أ \ \ فشل \ إنهاء {الحالات} [/ لاتكس]

هنا هؤلاء Xi هي ال برنولي وسيكون التوقع

[اللاتكس] E (X_ {i}) = 1 (p) +0 (1-p) = p [/ اللاتكس]

لذا فإن توقع X سيكون

[اللاتكس] E [X] = E [X_ {1}] + E [X_ {2}] + \ cdot \ cdot \ cdot + E [X_ {n}] [/ اللاتكس]

توقع المتغير العشوائي السالب ذي الحدين | متوسط ​​المتغير العشوائي السالب ذي الحدين

  دع المتغير العشوائي X الذي يمثل عدد التجارب اللازمة لجمع نجاحات r ، ثم يُعرف هذا المتغير العشوائي بالمتغير العشوائي السالب ذي الحدين ويمكن التعبير عنه كـ

[اللاتكس] X = X_ {1} + X_ {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + X_ {r} [/ اللاتكس]

هنا كل Xi تشير إلى عدد التجارب المطلوبة بعد نجاح (i-1) للحصول على إجمالي i حالات النجاح.

منذ كل من هؤلاء Xi تمثل المتغير العشوائي الهندسي ونعرف أن توقع المتغير العشوائي الهندسي هو

[اللاتكس] E [X_ {i}] = \ frac {1} {p} [/ اللاتكس]

so

[اللاتكس] E [X] = E [X_ {1}] + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + E [X_ {r}] = \ frac {r} {p} [/ اللاتكس]

وهو توقع من المتغير العشوائي السالب ذي الحدين.

توقع متغير عشوائي فوق هندسي | متوسط ​​المتغير العشوائي فوق الهندسي

توقع أو متوسط ​​المتغير العشوائي فوق الهندسي الذي سنحصل عليه بمساعدة مثال بسيط من الحياة الواقعية ، إذا تم اختيار عدد n من الكتب عشوائيًا من رف يحتوي على N كتب منها m للرياضيات ، ثم للعثور على العدد المتوقع من تسمح كتب الرياضيات لـ X بالإشارة إلى عدد كتب الرياضيات المختارة ، ثم يمكننا كتابة X كـ

[اللاتكس] X = X_ {1} + X_ {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + X_ {m} [/ اللاتكس]

أين

[اللاتكس] X_ {i} = \ start {cases} 1 ، \ \ if \ \ ith \ \ mathematics \ \ book \ \ is \ selected \\ 0، \ \ \ \ othewise \ end {cases} [/ latex ]

so

[اللاتكس] E [X_ {i}] = P \ left \ {X_ {i} = 1 \ right. \ left. \ right \} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {\ binom {1} {1} \ binom {N-1} {n-1}} {\ binom {N} {n}} [/ اللاتكس]

= ن / ن

[اللاتكس] = \ فارك {n} {N} [/ اللاتكس]

الذي يعطي

[اللاتكس] E [X] = E [X_ {1}] + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + E [X_ {m}] = \ frac {mn} {N} [/ اللاتكس]

وهو متوسط ​​متغير عشوائي فوقي هندسي.

العدد المتوقع من المباريات

   هذه مشكلة شائعة جدًا تتعلق بالتوقعات ، لنفترض أنه يوجد في الغرفة عدد N من الأشخاص الذين يرمون قبعاتهم في منتصف الغرفة ويتم خلط جميع القبعات بعد ذلك يختار كل شخص بشكل عشوائي قبعة واحدة ثم العدد المتوقع من الأشخاص الذين يختارون قبعتهم الخاصة يمكننا الحصول عليها بالسماح لـ X أن يكون عدد المطابقات كذلك

[اللاتكس] X = X_ {1} + X_ {2} + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + X_ {N} [/ اللاتكس]

أين

[اللاتكس] X_ {i} = \ start {cases} 1 ، \ \ \ \ \ the \ ith \ \ person \ \ selects \ \ his \ own \ \ hat \\ 0، \ \ \ \ othewise \ end {حالات} [/ لاتكس]

نظرًا لأن كل شخص لديه فرصة متساوية لاختيار أي من القبعات من N القبعات بعد ذلك

[اللاتكس] E [X_ {i}] = P \ left {X_ {i} = 1 \ right. \ left. \ right} = \ فارك {1} {N} [/ لاتكس]

so

[اللاتكس] E [X] = E [X_ {1}] + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + E [X_ {n}] = \ left (\ frac {1} {N} \ right) N = 1 [/ لاتكس]

مما يعني أن شخصًا واحدًا في المتوسط ​​يختار قبعته الخاصة.

احتمالية اتحاد الأحداث

     دعونا نحصل على احتمال اتحاد الأحداث بمساعدة التوقع كذلك بالنسبة للأحداث أi

[اللاتكس] X_ {i} = \ begin {cases} 1، \ \ if \ \ A_ {i} \ \ يحدث \\ 0، \ \ othewise \ end {cases} [/ latex]

مع هذا نأخذ

[لاتكس] 1- \ prod_ {i = 1} ^ {n} (1-X_ {i}) = \ begin {cases} 1، \ \ if \ \ A_ {i} \ \ يحدث \\ 0، \ \ بخلاف \ إنهاء {الحالات} [/ لاتكس]

لذا فإن توقع هذا سيكون

[لاتكس] E \ left [1- \ prod_ {i = 1} ^ {n} (1-X_ {i}) \ right] = P \ left (\ bigcup_ {i = 1} ^ {n} A_ {i } حق) [/ لاتكس]

والتوسع باستخدام خاصية التوقع

[اللاتكس] P \ left (\ bigcup_ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) = E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} - \ sum \ sum_ {i <j} X_ {i} X_ {j} + \ sum \ sum_ {i <j <k} \ sum X_ {i} X_ {j} X_ {k} - \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + (-) ^ {n + 1} X_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot X_ {n} \ right] [/ latex]

لأن لدينا

توقع رياضي
التوقع الرياضي: احتمال اتحاد الأحداث

و

[اللاتكس] X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot X_ {i_ {k}} = \ begin {cases} 1، \ \ if \ \ A_ {i_ {1 }} A_ {i_ {2}} \ cdot \ cdot \ cdot A_ {i_ {k}} \ \ يحدث \\ 0، \ \ othewise \ end {cases} [/ latex]

so

[اللاتكس] E \ left [X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot X_ {i_ {k}} \ right] = P \ left (A_ {i_ {1} } A_ {i_ {2}} \ cdot \ cdot \ cdot A_ {i_ {k}} \ right) [/ اللاتكس]

هذا يعني احتمال الاتحاد كما

[اللاتكس] P \ left (\ cup A_ {i} \ right) = \ sum_ {i} P (A_ {i}) - \ sum \ sum_ {i <j} P \ left (A_ {i} A_ {j } \ right) + \ sum \ sum_ {i <j <k} \ sum P \ left (A_ {i} A_ {j} A_ {k} \ right) - \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} ف \ يسار (A_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot A_ {n} \ right) [/ لاتكس]

حدود من التوقعات باستخدام الطريقة الاحتمالية

    لنفترض أن S مجموعة محدودة وأن f هي الوظيفة على عناصر S و

[اللاتكس] m = \ underet {s \ in \ mathfrak {s}} {max} f (s) [/ latex]

هنا يمكننا الحصول على الحد الأدنى لهذا m من خلال توقع f (s) حيث "s" هو أي عنصر عشوائي من S يمكننا حساب توقعه

[اللاتكس] m \ geq f (S) [/ latex]

[اللاتكس] m \ geq E \ left [f (S) \ right] [/ latex]

هنا نحصل على التوقع باعتباره الحد الأدنى للحد الأقصى للقيمة

الحد الأدنى للهوية

 الحد الأقصى للهوية هو الحد الأقصى لمجموعة الأرقام إلى الحد الأدنى لمجموعات فرعية من هذه الأرقام لأية أرقام xi

[لاتكس] \ مجموعة سفلية {i} {max} \ \ x_ {i} = \ sum_ {i} x_ {i} - \ sum_ {i <j} min (x_ {i}، x_ {j}) + \ sum_ {i <j <k} min (x_ {i}، x_ {j}، x_ {k}) + \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} دقيقة \ يسار (x_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot ، x_ {n} \ right) [/ لاتكس]

لإظهار هذا ، دعونا نقيد xi ضمن الفترة [0,1،0,1] ، افترض متغير عشوائي منتظم U على الفترة (XNUMX،XNUMX) والأحداث Ai حيث أن المتغير المنتظم U أقل من xi هذا هو

[اللاتكس] A_ {i} = \ left {U <x_ {i} \ right. \ left. \ right} [/ لاتكس]

نظرًا لأن حدثًا واحدًا على الأقل من الأحداث المذكورة أعلاه يحدث لأن U أقل من واحد من قيمة xi

[اللاتكس] U_ {i} A_ {i} = \ left {U <\ underet {i} {max} \ \ x_ {i} \ right. \ left. \ right} [/ لاتكس]

و

[اللاتكس] P \ left (U_ {i} A_ {i} \ right) = P \ left (U <\ underet {i} {max} x_ {i} \ right) = \ underet {i} {max} x_ {i} [/ اللاتكس]

من الواضح أننا نعلم

<a href=”https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P\left&space;(&space;U_{i}A_{i}&space;\right&space;)=&space;P\left&space;\{&space;U<a href=”https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P\left&space;(&space;U_{i}A_{i}&space;\right&space;)=&space;P\left&space;\{&space;U

[اللاتكس] P (A_ {i}) = P \ يسار (U <x_ {i} \ right) = x_ {i} [/ اللاتكس]

وستحدث جميع الأحداث إذا كانت U أقل من جميع المتغيرات و

[لاتكس] A_ {i_ {1}} \ cdot \ cdot \ cdot A_ {i_ {r}} = \ left (U <\ underet {j = 1 \ cdot \ cdot \ cdot r} {min} x_ {i_ { j}} \ right) [/ اللاتكس]

يعطي الاحتمال

[اللاتكس] P \ left (A_ {i_ {1}} \ cdot \ cdot \ cdot A_ {i_ {r}} \ right) = P \ left (U <\ underet {j = 1 \ cdot \ cdot \ cdot r } {min} x_ {i_ {j}} \ right) = \ underet {j = 1 \ cdot \ cdot \ cdot r} {min} x_ {i_ {j}} [/ latex]

لدينا نتيجة احتمال الاتحاد مثل

[اللاتكس] P \ left (U_ {i} A_ {i} \ right) \ sum_ {i} P \ left (A_ {i} \ right) - \ sum_ {i <j} P (A_ {i} A_ { j}) + \ sum_ {i <j <k} P (A_ {i} A_ {j} A_ {k}) + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} ف ( A_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot A_ {n}) [/ لاتكس]

باتباع صيغة استبعاد التضمين هذه للاحتمال

[لاتكس] \ مجموعة سفلية {i} {max} (x_ {i} + b) = \ sum_ {i} (x_ {i} + b) - \ sum_ {i <j} min (x_ {i} + b، x_ {j} + b) + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} دقيقة (x_ {1} + b ، \ cdot \ cdot \ cdot ، x_ {n} + b) [/ اللاتكس]

نظر

[اللاتكس] M = \ sum_ {i} x_ {i} - \ sum_ {i <j} min (x_ {i}، x_ {j}) + \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ { n + 1} دقيقة (x_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot x_ {n}) [/ لاتكس]

هذا يعطي

[لاتكس] \ مجموعة سفلية {i} {max} \ \ x_ {i} + b = M + b \ left (n- \ binom {n} {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n +1} \ binom {n} {n} \ right) [/ لاتكس]

منذ

[لاتكس] 0 = (1-n) ^ {n} = 1-n + \ binom {n} {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} \ binom {n} {n} [/ اللاتكس]

وهو ما يعني

[لاتكس] \ غطاء سفلي {i} {max} \ \ x_ {i} = M [/ لاتكس]

  • ومن ثم يمكننا كتابتها على أنها

[لاتكس] \ مجموعة سفلية {i} {max} \ \ x_ {i} = \ sum_ {i} x_ {i} - \ sum_ {i <j} min (x_ {i}، x_ {j}) \ sum_ { i <j <k} min (x_ {i}، x_ {j}، x_ {k}) + \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} min (x_ {1}، \ cdot \ cdot \ cdot، x_ {n}) [/ لاتكس]

مع الأخذ في الاعتبار يمكننا العثور على القيم المتوقعة للحدود الدنيا القصوى والجزئية

[لاتكس] E \ left [\ underet {i} {max} \ \ X_ {i} \ right] = \ sum_ {i} E \ left [X_ {i} \ right] - \ sum_ {i <j} E \ left [min (X_ {i}، X_ {j}) \ right] + \ cdot \ cdot \ cdot + (-1) ^ {n + 1} E \ left [min \ left (X_ {1}، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot ، X_ {n} \ right) \ right]) [/ اللاتكس]

الخلاصة:

التوقع من حيث التوزيعات المختلفة وارتباط التوقع مع بعض نظرية الاحتمالات كانت المفاهيم هي محور هذه المقالة التي توضح استخدام التوقع كأداة للحصول على القيم المتوقعة لنوع مختلف من المتغيرات العشوائية ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فانتقل إلى الكتب أدناه.

لمزيد من المقالات حول الرياضيات ، يرجى الاطلاع على موقعنا صفحة الرياضيات.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات