هندسة الإحداثيات ثنائية الأبعاد: 2 حقائق مهمة


مكان في الهندسة الإحداثية ثنائية الأبعاد

Locus هي كلمة لاتينية. مشتق من كلمة "المكان" أو "الموقع". صيغة الجمع الموضعية هي Loci.

تعريف الموقع:

في الهندسة ، "Locus" هي مجموعة من النقاط التي تلبي شرطًا محددًا أو أكثر للشكل أو الشكل. في الرياضيات الحديثة ، يُطلق على الموقع أو المسار الذي تتحرك فيه نقطة على المستوى تلبيةً لشروط هندسية معينة ، موضع النقطة.

يتم تحديد مكان التركيز للخط والقطع المستقيم والأشكال المنحنية العادية أو غير المنتظمة باستثناء الأشكال التي تحتوي على قمة أو زوايا بداخلها في الهندسة. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

أمثلة على الموقع:

الخطوط ، والدوائر ، والقطع الناقص ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد ، إلخ. يتم تحديد كل هذه الأشكال الهندسية من خلال موضع النقاط.

معادلة الموقع:

يُعرف الشكل الجبري للخصائص أو الشروط الهندسية التي تفي بإحداثيات جميع النقاط في Locus ، باسم معادلة موضع تلك النقاط.

طريقة الحصول على معادلة الموقع:

للعثور على معادلة موضع نقطة متحركة على مستوى ما ، اتبع العملية الموضحة أدناه

(ط) أولاً ، افترض أن إحداثيات نقطة متحركة على مستوى ما هي (ح ، ك).

(XNUMX) ثانيًا ، اشتق معادلة جبرية مع h و k من الظروف أو الخصائص الهندسية المحددة.

(XNUMX) ثالثًا ، استبدل h و k بـ x و y على التوالي في المعادلة المذكورة أعلاه. تسمى هذه المعادلة الآن معادلة موضع النقطة المتحركة على المستوى. (x، y) هي الإحداثيات الحالية للنقطة المتحركة ويجب دائمًا اشتقاق معادلة الموقع في شكل x و y أي الإحداثيات الحالية.

فيما يلي بعض الأمثلة لتوضيح المفهوم الخاص بالمكان.

4 + أنواع مختلفة من المشاكل المحلولة في موقع Locus:

1 المشكلة: If P تكون أي نقطة على المستوى XY والتي تكون على مسافة متساوية من نقطتين معينتين ا (3,2) و ب (2، -1) على نفس المستوى ، ثم أوجد موضع ومعادلة موضع النقطة P بالرسم البياني.

حل: 

مكان
تمثيل رسومي

افترض أن إحداثيات أي نقطة في موضع P على XY- الطائرة هي (ح ، ك).

بما أن P تقع على مسافة متساوية من A و B ، فيمكننا الكتابة

مسافة P من A = مسافة P من B

أو [اللاتكس] \ اليسار | PA \ right | [/ latex] = [اللاتكس] \ اليسار | PB \ right | [/ اللاتكس]

[لاتكس] {\ يسار | \ sqrt {(h-3) ^ {2} + (k-2) ^ {2}} \ right |} = {\ left | \ sqrt {(h-2) ^ {2} + (k + 1) ^ {2}} \ right | [/ اللاتكس]

[لاتكس] {\ يسار | \ sqrt {(h ^ {2} -6h + 9 + k ^ {2} -4k + 4)} \ right |} = {\ left | \ sqrt {(h ^ {2} -4h + 4 + k ^ {2} + 2k + 1} \ right |} [/ اللاتكس]

أو (ح2 -6 س + 9 + ك2 -4 ك + 4) = (ح2 -4 س + 4 + ك2 + 2k + 1) ——– أخذ مربع على كلا الجانبين.

أو ح2 -6 س + 13 + ك2 -4 ك-ح2+ 4 س -5-ك2 -2 كيلو = 0

أو ، -2h -6k + 8 = 0

أو h + 3k -4 = 0

أو ، h + 3k = 4 ——– (1)

هذه معادلة من الدرجة الأولى لـ h و k.

الآن إذا تم استبدال h و k بـ x و y ، فإن المعادلة (1) تصبح معادلة الدرجة الأولى لـ x و y في صورة x + 3y = 4 والتي تمثل خطًا مستقيمًا.

لذلك ، فإن موضع النقطة P (h ، k) على المستوى XY هو خط مستقيم ومعادلة الموضع هي x + 3y = 4. (الإجابة)


2 المشكلة: إذا كان نقطة R يتحرك على المستوى XY بهذه الطريقة RA: RB = 3: 2 حيث إحداثيات النقاط A و B . (-5,3) و 2,4 على التوالي على نفس المستوى ، ثم ابحث عن موضع النقطة R.

ما نوع المنحنى الذي تشير إليه معادلة موضع R؟

حل: لنفترض أن إحداثيات أي نقطة على موضع نقطة معينة R على الطائرة XY تكون (م ، ن).

Asper حالة معينة RA: RB = 3: 2,

نحن لدينا،

(مسافة R من A) / (مسافة R من B) = 3/2

[لاتكس] \ فارك {\ يسار | \ sqrt {(m + 5) ^ {2} + (n-3) ^ {2}} \ right |} {\ left | \ sqrt {(m-2) ^ {2} + (n-4) ^ {2}} \ right |} [/ اللاتكس] = 3/2

[لاتكس] \ فارك {\ يسار | \ sqrt {(m ^ {2} + 10m + 25 + n ^ {2} -6n + 9)} \ right |} {\ left | \ sqrt {(m ^ {2} -4m + 4 + n ^ {2} -8n + 16} \ right |} [/ latex] = 3/2

أو ، (م2 + 10 م + 34 + ن2 -6 ن) / (م2 -4 م + ن2 -8n + 20) = 9/4 ———– أخذ المربع على كلا الجانبين.

أو 4 (م2 + 10 م + 34 + ن2 -6 ن) = 9 (م2 -4 م + ن2 -8 ن + 20)

أو 4 م2 + 40 م + 136 + 4 ن2 -24 ن = 9 م2 -36 م + 9 ن2 -72 ن + 180)

أو 4 م2 + 40 م + 136 + 4 ن2 -24 ن - 9 م2 +36 م - 9 ن2 + 72n-180 = 0

أو ، -5 م2 +76 م - 5 ن2+ 48n-44 = 0

أو 5 (م2+n2) -76 م + 48 ن + 44 = 0 ———- (1)

هذه معادلة من الدرجة الثانية لكل من m و n.

الآن إذا تم استبدال m و n بـ x و y ، فإن المعادلة (1) تصبح معادلة الدرجة الثانية لـ x و y بالصيغة 5 (x2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 حيث معاملات x2 و y2 متماثلان ومعامل xy يساوي صفرًا. هذه المعادلة تمثل دائرة.

لذلك ، فإن موضع النقطة R (م ، ن) على المستوى س ص هو دائرة ومعادلة الموضع هي

5 (x2+y2) -76 س + 48 ص + 44 = 0 (الإجابة)


3 المشكلة: لجميع قيم [latex] \ theta [/ latex] ، (a Cos [latex] \ theta [/ latex] ، b Sin [latex] \ theta [/ latex]) هي إحداثيات النقطة P التي تتحرك على XY طائرة. أوجد معادلة موضع P.

حل: يتيح (h ، k) أن تكون إحداثيات أي نقطة تقع على موضع P على مستوى XY.

ثم نطرح السؤال ، يمكننا القول

h = a Cos [اللاتكس] \ theta [/ latex]

أو h / a = Cos [latex] \ theta [/ latex] ————— (1)

و k = b Sin [latex] \ theta [/ latex]

أو k / b = Sin [latex] \ theta [/ latex] ————— (2)

الآن بأخذ تربيع المعادلتين (1) و (2) ثم الجمع ، لدينا المعادلة

h2/a2 + ك2/b2 = كوس2[اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] + الخطيئة2[لاتكس] \ ثيتا [/ لاتكس]

أو ح2/a2 + ك2/b2 = 1 (منذ كوس2[اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] + الخطيئة2[اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] = 1 في حساب المثلثات)

لذلك فإن معادلة موضع النقطة P هي x2/a2 + ذ2/b2 = 1. (الإجابة)


مشكلة 4: أوجد معادلة موضع النقطة Q ، تتحرك على المستوى XY ، إذا كانت إحداثيات Q هي

([latex] \ frac {7u-2} {3u + 2} [/ latex] ، [latex] \ frac {4u + 5} {u-1} [/ latex]) حيث u هي المعلمة المتغيرة.

الحل: دع إحداثيات أي نقطة على موضع النقطة المعينة Q أثناء التحرك على المستوى XY تكون (ح ، ك).

ثم ، h = [اللاتكس] \ frac {7u-2} {3u + 2} [/ latex] و k = [اللاتكس] \ frac {4u + 5} {u-1} [/ اللاتكس]

أي h (3u + 2) = 7u-2 و k (u-1) = 4u + 5

أي (3h-7) u = -2h-2 و (k-4) u = 5 + k

على سبيل المثال u = [اللاتكس] \ frac {-2h-2} {3h-7} [/ اللاتكس] ————— (1)

و u = [اللاتكس] \ frac {5 + k} {k-4} [/ اللاتكس] ————— (2)

الآن معادلة المعادلتين (1) و (2) ، نحصل على [اللاتكس] \ frac {-2h-2} {3h-7} [/ latex] = [اللاتكس] \ frac {5 + k} {k-4 } [/ لاتكس]

أو ، (-2h-2) (k-4) = (3h-7) (5 + k)

أو -2hk + 8h-2k + 8 = 15h + 3hk-35-7k

أو -2hk + 8h-2k-15h-3hk + 7k = -35-8

أو ، -5hk-7h + 5k = -43

أو 5hk + 7h-5k = 43

لذلك ، فإن معادلة موضع Q هي 5xy + 7x-5y = 43.


مزيد من الأمثلة على الموقع مع إجابات للتدرب عليها بنفسك:

المشاكل 5: إذا كانت [latex] \ theta [/ latex] متغيرات وكانت u ثابتًا ، فابحث عن معادلة موضع نقطة تقاطع الخطين المستقيمين x Cos [latex] \ theta [/ latex] + y Sin [ اللاتكس] \ theta [/ latex] = u و x Sin [اللاتكس] \ theta [/ latex] - y Cos [اللاتكس] \ theta [/ latex] = u. (الجواب. x2+y2 = 2 ش2 )

المشاكل 6: أوجد معادلة موضع النقطة الوسطى للقطعة المستقيمة للخط المستقيم x Sin [latex] \ theta [/ latex] + y Cos [latex] \ theta [/ latex] = t بين المحاور. (الجواب. 1 / س2+ 1 /y2 = 4 / ر2 )

المشاكل 7: إذا كانت النقطة P تتحرك بهذه الطريقة على المستوى XY بحيث تكون مساحة المثلث بالنقطة ذات النقطتين (2 ، -1) و (3,4،XNUMX). (الجواب. 5x-y = 11)


أمثلة أساسية على الصيغ "Centroid of a Triangle"  في الهندسة الإحداثية ثنائية الأبعاد

سنترويد: دائمًا ما تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة تقع في المنطقة الداخلية للمثلث وتقسم الوسيط بنسبة 2: 1 من أي رأس إلى نقطة منتصف الضلع المقابل. هذه النقطة تسمى النقطه الوسطى للمثلث.   

المسائل 1: أوجد النقطه الوسطى من المثلث مع الرؤوس (-1,0،0,4) ، (5,0،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX).

حل:  ونحن نعلم بالفعل،

                                             If  فأس1,y1 ب (x2,y2) و ج (x3,y3) تكون رؤوس المثلث و ز (س ، ص) كن النقطه الوسطى في المثلث ، ثم إحداثيات G .

[اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {\ left (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ right)} {3} [/ اللاتكس]

و

[اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {\ left (y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} \ right)} {3} [/ اللاتكس]

باستخدام هذه الصيغة لدينا ، 

(x1,y1) ≌ (-1,0،XNUMX) أي x1=-1، y1=0.

(x2,y2) ≌ (0,4،XNUMX) أي   x2= 0، y2= 4 و

(x3,y3) ≌ (5,0،XNUMX) أي   x3= 5، y3=0

(انظر مخطط الصيغ)

التمثيل الرسومي

إذن ، الإحداثي السيني للنقطة الوسطى G ،   [اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {\ left (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ right)} {3} [/ اللاتكس]

مثال [اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {\ left (-1 + 0 + 5 \ right)} {3} [/ latex]

على سبيل المثال [اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {\ left 4 \ right} {3} [/ latex]

                  و 

تنسيق y للنقطة الوسطى G ،  [اللاتكس] \ textbf {} y = \ frac {\ left (y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} \ right)} {3} [/ اللاتكس]

مثال [اللاتكس] \ textbf {} y = \ frac {\ left (0 + 4 + 0 \ right)} {3} [/ latex]

على سبيل المثال [اللاتكس] \ textbf {} y = \ frac {\ left 4 \ right} {3} [/ latex]

لذلك ، فإن إحداثيات النقطه الوسطى للمثلث المحدد هي ([اللاتكس] \ frac {\ left 4 \ right} {3} [/ latex] ، [اللاتكس] \ frac {\ left 4 \ right} {3} [/ latex] ) . (الجواب)

يتم تقديم المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها أدناه لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح في المشكلة 1 أعلاه: -

المشاكل 2: أوجد إحداثيات النقطة الوسطى للمثلث الذي تكون رءوسه عند النقاط (-3 ، -1) ، (-1,3 ، 1,1)) ، (XNUMX،XNUMX).

الجواب. (-1,1)

المشاكل 3: ما هو الإحداثي x للنقطة الوسطى للمثلث ذي الرؤوس (5,2،10,4) ، (6،1) ، (XNUMX ، -XNUMX)؟

الجواب.

المشاكل 4: ثلاثة رؤوس للمثلث هي (5,9،2,15) ، (11,12،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، أوجد النقطه الوسطى من هذا المثلث.

الجواب. 6,12


تحول المنشأ / ترجمة المحاور - الهندسة الإحداثية ثنائية الأبعاد

يعني تغيير الأصل تحويل الأصل إلى نقطة جديدة مع الحفاظ على اتجاه المحاور دون تغيير ، أي أن المحاور الجديدة تظل موازية للمحاور الأصلية في نفس المستوى. من خلال ترجمة المحاور أو تحويل عملية الأصل ، يتم تبسيط العديد من المشكلات المتعلقة بالمعادلة الجبرية ذات الشكل الهندسي وحلها بسهولة.

تم وصف صيغة "Shifting of Origin" أو "ترجمة المحاور" أدناه مع تمثيل رسومي.

الصيغة:

إذا كان O هو الأصل ، فإن P (x ، y) تكون أي نقطة في المستوى XY ويتم إزاحة O إلى نقطة أخرى O ′ (أ ، ب) والتي مقابلها تصبح إحداثيات النقطة P (x)1,y1) في نفس المستوى مع محاور جديدة X1Y1  ، ثم الإحداثيات الجديدة لـ P هي

x1 = س- أ

y1 = ص- ب

تمثيل رسومي للتوضيح: اتبع الرسوم البيانية

قليل حلها مشاكل في صيغة "تغيير المنشأ":

مشكلة 1: إذا كانت هناك نقطتان (3,1،5,4) و (3,1،5,4) في نفس المستوى وتم إزاحة الأصل إلى النقطة (XNUMX،XNUMX) مع الحفاظ على المحاور الجديدة موازية للمحاور الأصلية ، فابحث عن إحداثيات النقطة (XNUMX،XNUMX) فيما يتعلق بالأصل الجديد والمحاور.

حل: بالمقارنة مع صيغة "Shifting of Origin" الموصوفة أعلاه ، لدينا أصل جديد ، O ′ (أ ، ب) ≌ (3,1،3) أي أ = 1 ، ب = 5,4 والنقطة المطلوبة P ، (س ، ص) ≌ (5،4) أي س = XNUMX ، ص = XNUMX

الآن إذا (x1,y1) تكون الإحداثيات الجديدة للنقطة P (5,4،XNUMX) ، ثم الصيغة asper x1 = xa و y1 = ص ،

نحصل على x1 = 5-3 وص1 = 4-1

أي س1 = 2 وص1 =3

إذن ، الإحداثيات الجديدة المطلوبة للنقطة (5,4،2,3) هي (XNUMX،XNUMX). (الإجابة)

مشكلة 2: بعد تحويل الأصل إلى نقطة في نفس المستوى ، مع بقاء المحاور موازية لبعضها البعض ، تصبح إحداثيات النقطة (5 ، -4) هي (4 ، -5). ابحث عن إحداثيات الأصل الجديد.

حل: هنا باستخدام صيغة 'Shifting the Origin' أو 'Translation of Axes' ، يمكننا أن نقول أن إحداثيات النقطة P فيما يتعلق بالأصل القديم والجديد والمحاور على التوالي هي (x، y) ≌ (5، -4) أي س = 5 ، ص = -4 و (س1,y1) ≌ (4، -5) أي  x1= 4 ص1= -5

الآن علينا إيجاد إحداثيات الأصل الجديد O ′ (أ ، ب) أي أ =؟ ، ب =؟

صيغة Asper

x1 = س- a

y1 = ص- b

أي a= xx1 و b= ص ص1

أو، a=5-4 و b= -4 - (- 5)

أو، a=و1 b= -4 + 5

أو، a=و1 b= 1

لذلك ، O '(1,1،1,1) يكون الأصل الجديد ، أي إحداثيات الأصل الجديد هي (XNUMX،XNUMX). (الإجابة)

أمثلة أساسية على الصيغ "العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط (ثلاث نقاط)" في الهندسة الإحداثية ثنائية الأبعاد

المشاكل 1:  تحقق مما إذا كانت النقاط (1,0،0,0) و (1,0،XNUMX) و (-XNUMX،XNUMX) متداخلة أم لا.

حل:  ونحن نعلم بالفعل،

                                            If  فأس1,y1 ب (x2,y2) و ج (x3,y3) تكون أي ثلاث نقاط خطية متداخلة ، فيجب أن تكون مساحة المثلث التي تم إنشاؤها بواسطتها صفر أي مساحة المثلث هي ½ [x1 (y2- ذ3) + x2 (y3- ذ1) + x3 (y1-y2)] =0

(انظر مخطط الصيغ)

باستخدام هذه الصيغة لدينا ،

(x1,y1) ≌ (-1,0،XNUMX) أي   x1=-1، y1= 0 ؛

(x2,y2) ≌ (0,0،XNUMX) أي   x2= 0، y2= 0؛

(x3,y3) ≌ (1,0،XNUMX) أي    x3= 1، y3= 0

التمثيل الرسومي

إذن ، مساحة المثلث هي = | ½ [x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)] | أي.

(LHS) = | [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |

= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |

= | ½ [0 + 0 + 0] |

= | ½ × 0 |

= 0 (RHS)

لذلك ، تصبح مساحة المثلث التي تشكلها تلك النقاط المعطاة صفرًا مما يعني أنها تقع على نفس الخط.

لذلك ، فإن النقاط المعطاة هي نقاط خطية متداخلة. (الجواب)

يتم توفير المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها أدناه لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح أعلاه المشكلة 1: -

المشاكل 2: تحقق مما إذا كانت النقاط (-1 ، -1) ، (0,0،1,1) و (XNUMX،XNUMX) متداخلة أم لا.

الجواب. نعم

المشاكل 3: هل من الممكن رسم خط واحد من خلال ثلاث نقاط (-3,2،5) ، (3 ، -2,2) و (XNUMX،XNUMX)؟

الجواب.لا

المشاكل 4: تحقق مما إذا كانت النقاط (1,2،3,2) و (5,2،XNUMX) و (-XNUMX،XNUMX) ، المتصلة بخطوط ، يمكن أن تشكل مثلثًا في مستوى الإحداثيات.

الجواب. لا

______________________________

أمثلة أساسية على صيغ "Incenter of a Triangle" في الهندسة الإحداثية ثنائية الأبعاد

إنزينتير:وهي مركز أكبر دائرة للمثلث تناسبه داخل المثلث ، وهي أيضًا نقطة تقاطع المنصفات الثلاثة للزوايا الداخلية للمثلث.

المشاكل 1: رؤوس مثلث أضلاعه هي (-2,0،0,5) و (6,0،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX) على التوالي. ابحث عن مركز المثلث.

حل: ونحن نعلم بالفعل،

If  فأس1,y1 ب (x2,y2) و ج (x3,y3) تكون الرؤوس ، BC = a ، CA = b و AB = c ، ز ′ (س ، ص) كن حافزا للمثلث ،

الاحداثيات ز ′ .

[اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3}} {a + b + c} [/ اللاتكس]

و         

[اللاتكس] \ textbf {} y = \ frac {ay_ {1} + by_ {2} + cy_ {3}} {a + b + c} [/ اللاتكس]

(انظر مخطط الصيغ)

حسب الصيغة التي لدينا ،

(x1,y1) ≌ (-4,0،XNUMX) أي  x1=-4، y1=0.

(x2,y2) ≌ (0,3،XNUMX) أي  x2= 0، y2= 3 ؛

(x3,y3) ≌ (0,0،XNUMX) أي   x3= 0، y3=0

لدينا الآن ،

أ = √ [(x2-x1)2+ (ذ2-y1)2 ]

أو أ = √ [(0 + 4)2+ (3-0)2 ]

أو أ = √ [(4)2+ (3)2 ]

أو أ = (16 + 9)

أو أ = 25

أو، أ = 5 ——————— (1)

ب = √ [(x1-x3)2+ (ذ1-y3)2 ]

أو ب = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

أو ب = √ [(-4)2+ (0)2 ]

أو ب = √ (16 + 0)

أو ب = -16

أو، ب = 4 ——————– (2)

ج = √ [(x3-x2)2+ (ذ3-y2)2 ]

أو ج = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

أو ج = √ [(0)2+ (- 3)2 ]

أو ج = √ (0 + 9)

أو ج = √9

أو، ج = 3 ——————– (3)

و أx1+ bx2 + cx3 = (5 × (-4)) + (4 × 0) + (3 × 6)

= -20 + 0 + 18

أو، ax1+ bx2 + cx3 = -2 ——————- (4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 × 0) + (4 × 3) + (3 × 0)

= 0 + 12 + 0

أو، ay1+ بواسطة2+ cy3 = 12 ——————– (5)

أ + ب + ج = 5 + 4 + 3

أو، أ + ب + ج = 12 ——————— (6)

باستخدام المعادلات أعلاه (1) ، (2) ، (3) ، (4) ، (5) و 6 يمكننا حساب قيمة x و y تبدأ من

[اللاتكس] \ textbf {} x = \ frac {ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3}} {a + b + c} [/ اللاتكس]

أو x = -2/12

أو x = -1/6

و

[اللاتكس] \ textbf {} y = \ frac {ay_ {1} + by_ {2} + cy_ {3}} {a + b + c} [/ اللاتكس]

أو ص = 12/12

أو ص = 1

لذلك فإن الإحداثيات المطلوبة لمركز المثلث المحدد هي (-1/6 ، 1). (الإجابة)

يتم تقديم المزيد من المشكلات التي تم الرد عليها أدناه لمزيد من الممارسة باستخدام الإجراء الموضح في المشكلة 1 أعلاه: -

المشاكل 2: أوجد إحداثيات وساق المثلث الذي تكون رءوسه عند النقاط (-3 ، -1) ، (-1,3 ، 1,1)) ، (XNUMX،XNUMX).

المشاكل 3: ما إحداثي x لساقط المثلث الذي له رءوسه (0,2،0,0) و (0،1) و (XNUMX، -XNUMX)؟

المشاكل 4: ثلاثة رؤوس للمثلث هي (1,1،2,2) و (3,3،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX). أوجد نقطة انطلاق هذا المثلث.


ناسرينا بارفين

أنا نسرينا بارفين ، لدي خبرة 10 سنوات في العمل في وزارة الاتصالات وتكنولوجيا المعلومات في الهند. لقد فعلت التخرج في الرياضيات. في أوقات فراغي أحب التدريس وحل مسائل الرياضيات. منذ طفولتي ، كانت الرياضيات هي الموضوع الوحيد الذي أدهشني كثيرًا.

آخر المقالات