المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك: 11 حقائق مهمة


وصف المنتج

المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك

     المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك هي المتغير العشوائي أكثر من واحد مع الاحتمال الموزع بشكل مشترك لهذه المتغيرات العشوائية ، بمعنى آخر في التجارب حيث تُعرف النتيجة المختلفة باحتمالية مشتركة بالتوزيع العشوائي المشترك أو التوزيع المشترك ، يحدث مثل هذا النوع من المواقف في كثير من الأحيان أثناء التعامل مع مشاكل الفرص.

وظيفة التوزيع المشترك | دالة التوزيع الاحتمالي التراكمي المشتركة | وظيفة الكتلة الاحتمالية المشتركة | دالة كثافة الاحتمال المشترك

    بالنسبة للمتغيرين العشوائيين X و Y ، تكون دالة التوزيع أو دالة التوزيع التراكمي المشتركة

[اللاتكس] F (a، b) = P \ left \ {X \ leq a، Y \ leq b \ right \} \ \، \ \ \ - \ infty <a، b <\ infty [/ latex]

حيث تعتمد طبيعة الاحتمال المشترك على طبيعة المتغيرات العشوائية X و Y إما منفصلة أو مستمرة ، ويمكن الحصول على وظائف التوزيع الفردية لـ X و Y باستخدام دالة التوزيع التراكمي المشتركة هذه

[اللاتكس] F_ {X} (a) = P \ left \ {{X \ leq a} \ right \} \\ = P \ left \ {X \ leq a، Y <\ infty \ right \} \\ = P \ left (\ lim_ {b \ to \ infty} X \ leq a، Y <b \ right) \\ = \ lim_ {b \ to \ infty} P \ left \ {X \ leq a، Y \ leq b \ right \} \\ = \ lim_ {b \ to \ infty} F (a، b) \\ \ equiv F (a، \ infty) [/ latex]

وبالمثل بالنسبة لـ Y as

[اللاتكس] F_ {Y} (b) = P \ left \ {Y \ leq b \ right \} \\ = \ lim_ {a \ to \ infty} F (a، b) \\ \ equiv F (\ infty ، ب) [/ لاتكس]

تُعرف وظائف التوزيع الفردية هذه لـ X و Y بوظائف التوزيع الهامشي عندما يكون التوزيع المشترك قيد النظر. هذه التوزيعات مفيدة جدًا للحصول على الاحتمالات مثل

[اللاتكس] P \ left {X> a، Y> b \ right} = 1-P (\ left {X> a، Y> b \ right} ^ {c}) \\ = 1-P (\ left { X> a \ right} ^ {c} \ cup \ left {Y> b \ right} ^ {c}) \\ = 1- P (\ left {X \ leq a \ right} \ cup \ left {Y \ leq b \ right}) \\ = 1- \ left [P \ left {X \ leq a \ right} + P \ left {Y \ leq b \ right} -P \ left {X \ leq a، Y \ leq b \ right} \ right] \\ = 1- F_ {X} (a) -F_ {Y} (b) + F (a، b) [/ latex]

و

[اللاتكس] P \ left {a_ {1} \ leq X \ leq a_ {2}، b_ {1} \ leq Y \ leq b_ {2} \ right} \\ = F (a_ {2}، b_ {2 }) + F (a_ {1}، b_ {1}) - F (a_ {1}، b_ {2}) - F (a_ {2}، b_ {1}) [/ لاتكس]

بالإضافة إلى ذلك ، يتم تعريف دالة كتلة الاحتمال المشتركة للمتغيرين العشوائيين X و Y على أنها

[اللاتكس] p (x، y) = P \ left {X = x، Y = y \ right} [/ اللاتكس]

يمكن الحصول على دالة كثافة أو كتلة الاحتمال الفردي لـ X و Y بمساعدة كتلة الاحتمال المشترك أو دالة الكثافة مثل من حيث المتغيرات العشوائية المنفصلة as

[لاتكس] p_ {X} (x) = P \ left {X = x \ right} \\ = \ sum_ {y: p (x، y)> 0} ^ {} p (x، y) \\ p_ {Y} (y) = \ sum_ {y: p (x، y)> 0} ^ {} p (x، y) [/ اللاتكس]

ومن حيث المتغير العشوائي المستمر ، ستكون دالة كثافة الاحتمال المشترك

[اللاتكس] P \ left {(X، Y) \ in C \ right} = \ int _ {(x، y) \ in C} ^ {} \ int f (x، y) dxdy [/ latex]

حيث C هي أي مستوى ثنائي الأبعاد ، وستكون وظيفة التوزيع المشترك للمتغير العشوائي المستمر

[اللاتكس] F (a، b) = P \ left {X \ in (- \ infty، a]، Y \ in (- \ infty، b] \ right} \\ = \ int _ {- \ infty} ^ { b} \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x، y) dxdy [/ latex]

يمكن الحصول على دالة كثافة الاحتمال من دالة التوزيع هذه عن طريق التفاضل

[لاتكس] و (أ، ب) = \ frac {\ جزئي ^ 2} {\ جزئي أ \ جزئي ب} و (أ ، ب) [/ لاتكس]

والاحتمال الهامشي من دالة كثافة الاحتمال المشتركة

[اللاتكس] P \ left {X \ in A \ right} = P \ left {X \ in A، Y \ in (- \ infty، \ infty) \ right} \ = \ int_ {A} ^ {} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x، y) dydx \ = \ int_ {A} ^ {} f_ {X} (x) dx [/ latex]

as

[اللاتكس] f_ {X} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x، y) dy [/ latex]

و

[اللاتكس] f_ {Y} (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x، y) dx [/ latex]

فيما يتعلق بالمتغيرات العشوائية X و Y على التوالي

أمثلة على التوزيع المشترك

  1. الاحتمالات المشتركة للمتغيرين العشوائيين X و Y تمثل عدد كتب الرياضيات والإحصاء من مجموعة كتب تحتوي على 3 كتب رياضيات و 4 كتب إحصاء و 5 كتب فيزياء إذا تم أخذ 3 كتب بشكل عشوائي

[اللاتكس] p (0,0،5) = \ binom {3} {12} / \ binom {3} {10} = \ frac {220} {0,1} \\ p (4،1) = \ binom {5} {2} \ binom {12} {3} / \ binom {40} {220} = \ frac {0,2} {4} \\ p (2،5) = \ binom {1} {12} \ binom {3 } {30} / \ binom {220} {0,3} = \ frac {4} {3} \\ p (12،3) = \ binom {4} {220} / \ binom {1,0} {3} = \ frac {1} {5} \\ p (2،12) = \ binom {3} {30} \ binom {220} {1,1} / \ binom {3} {1} = \ frac {4} {1} \\ p (5،1) = \ binom {12} {3} \ binom {60} {220} \ binom {1,2} {3} / \ binom {1} {4} = \ frac {2} {12 } \\ p (3،18) = \ binom {220} {2,0} \ binom {3} {2} / \ binom {5} {1} = \ frac {12} {3} \\ p (15، 220) = \ binom {2,1} {3} \ binom {2} {4} / \ binom {1} {12} = \ frac {3} {12} \\ p (220،3,0) = \ binom {3 } {3} \ binom {12} {3} / \ binom {1} {220} = \ frac {XNUMX} {XNUMX} \\ p (XNUMX،XNUMX) = \ binom {XNUMX} {XNUMX} / \ binom {XNUMX} {XNUMX} = \ frac {XNUMX} {XNUMX} \ [/ اللاتكس]

  • ابحث عن المفصل دالة الكتلة الاحتمالية لعينة الأسر التي ليس لديها 15٪ طفل ، و 20٪ طفل واحد ، و 1٪ 35 طفل ، و 2٪ 30 أطفال إذا اخترنا الأسرة عشوائيًا من هذه العينة ليكون الطفل فتى أو بنت؟

الاحتمال المشترك الذي سنجده باستخدام التعريف كـ

المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك
المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك: مثال

وهذا يمكننا توضيحه بالشكل الجدولي على النحو التالي

المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك
المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك: مثال على التوزيع المشترك
  • احسب الاحتمالات

[اللاتكس] (أ) P \ left {X> 1 ، Y> 1 \ right} ، \ \ (b) P \ left {X <Y \ right} ، و \ \ (c) P \ left {X <a \ right} [/ لاتكس]

إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y تعطى دالة كثافة الاحتمال المشتركة بواسطة

[اللاتكس] f (x، y) = \ begin {cases} 2e ^ {- x} y ^ {- 2y} \ \ 0 <x <\ infty، \ \ 0 <y <\ infty \\ 0 & \ text {وإلا} \ نهاية {الحالات} [/ لاتكس]

بمساعدة تعريف الاحتمال المشترك للمتغير العشوائي المستمر

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {b} \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x، y) dxdy [/ latex]

ودالة كثافة المفصل المحددة سيكون الاحتمال الأول للمدى المحدد

[لاتكس] P \ left {X> 1، Y <1 \ right} = \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {1} ^ {\ infty} 2e ^ {- x} e ^ {- 2y} dxdy [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ int_ {0} ^ {1} 2e ^ {- 2y} \ left (-e ^ {- x} \ lvert_ {1} ^ {\ infty} \ right) dy [/ latex]

[latex]=e^{-1}\int_{0}^{1}2e^{-2y}dy[/latex]

[اللاتكس] = e ^ {- 1} (1-e ^ {- 2}) [/ لاتكس]

بنفس الطريقة الاحتمال

[اللاتكس] P \ left {X <Y \ right} = \ int _ {(x، y):} ^ {} \ int_ {x <y} ^ {} 2e ^ {- 2x} e ^ {- 2y} dxdy [/ اللاتكس]

[latex]=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y}2e^{-2x}e^{-2y}dxdy[/latex]

[اللاتكس] = \ int_ {0} ^ {\ infty} 2e ^ {- 2y} (1-e ^ {- y}) dy [/ latex]

[latex]=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}dy – \int_{0}^{\infty}2e^{-3y}dy =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/latex]

و اخيرا

P \ left \ {X <a \ right \} = \ int_ {0} ^ {a} \ int_ {0} ^ {\ infty} 2e ^ {- 2y} e ^ {- x} dydx

[اللاتكس] = \ int_ {0} ^ {a} e ^ {- x} dx [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = 1-e ^ {- a} [/ لاتكس]

  • أوجد دالة كثافة المفصل للحاصل X / Y للمتغيرين العشوائيين X و Y إذا كانت دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة بينهما

[اللاتكس] f (x، y) = \ begin {cases} e ^ {- (x + y)} \ \ 0 <x <\ infty، \ \ 0 <y <\ infty \\ \ 0 & \ text { خلاف ذلك} \ إنهاء {الحالات} [/ لاتكس]

للعثور على دالة الكثافة الاحتمالية للدالة X / Y ، نجد أولاً دالة التوزيع المشتركة ، ثم نفرق بين النتيجة التي تم الحصول عليها ،

لذلك من خلال تعريف وظيفة التوزيع المشترك وإعطاء دالة كثافة الاحتمال لدينا

[اللاتكس] F_ {X} / _ {Y} (a) = P \ left {\ frac {X} {Y} \ leq a \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ int _ {\ frac {X} {Y} \ leq a} ^ {} \ int e ^ {- (x + y)} dxdy [/ latex]

[اللاتكس] = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {ay} e ^ {- (x + y)} dxdy [/ latex]

[اللاتكس] = \ left {\ int_ {0} ^ {\ infty} -e ^ {- y} dxdy + \ frac {e ^ {- (a + 1) y}} {a + 1} \ right} \ lvert_ {0} ^ {\ infty} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = 1- \ frac {1} {a + 1} [/ اللاتكس]

وبالتالي من خلال التفريق بين دالة التوزيع هذه فيما يتعلق بـ a ، سنحصل على دالة الكثافة كـ

[اللاتكس] f _ {\ frac {X} {Y}} (a) = \ frac {1} {(a + 1) ^ {2}} [/ اللاتكس]

حيث a يقع ضمن صفر إلى ما لا نهاية.

المتغيرات العشوائية المستقلة والتوزيع المشترك

     في مجلة توزيع المشترك يقال أن احتمال اثنين من المتغيرات العشوائية X و Y مستقل إذا

[اللاتكس] P \ left {X \ in A، Y \ in B \ right} = P \ left {X \ in A \ right} P \ left {Y \ in B \ right} [/ اللاتكس]

حيث A و B هما المجموعتان الحقيقيتان. كما هو الحال بالفعل فيما يتعلق بالأحداث ، نعلم أن المتغيرات العشوائية المستقلة هي المتغيرات العشوائية التي تكون أحداثها مستقلة.

وبالتالي لأية قيم من a و b

[اللاتكس] P \ left {X \ leq a، Y \ leq b \ right} = P \ left {X \ leq a \ right} P \ left {Y \ leq b \ right} [/ latex]

وسيكون التوزيع المشترك أو دالة التوزيع التراكمي للمتغيرين العشوائيين المستقلين X و Y

[اللاتكس] F (a، b) = F_ {X} (a) F_ {Y} (b) \ \ for \ \ all \ a، b [/ latex]

إذا أخذنا في الاعتبار المتغيرات العشوائية المنفصلة X و Y ثم

[اللاتكس] p (x، y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y) \ \ for \ \ all \ x، y [/ latex]

منذ

[اللاتكس] P \ left {X \ in A، Y \ in B \ right} = \ sum_ {y \ in B} ^ {} \ sum_ {x \ in A} ^ {} p (x، y) [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {y \ in B} ^ {} \ sum_ {x \ in A} ^ {} p_ {X} (x) p_ {Y} (y) [/ latex]

[اللاتكس] = \ sum_ {y \ in B} p_ {Y} (y) \ sum_ {x \ in A} p_ {X} (x) [/ latex]

[اللاتكس] = P \ left {Y \ in B \ right} P \ left {X \ in A \ right} [/ اللاتكس]

وبالمثل بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر أيضًا

[اللاتكس] f (x، y) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y) \ \ for \ \ all \ x، y [/ latex]

مثال على التوزيع المشترك المستقل

  1. إذا كان المرضى الذين تم إدخالهم ليوم معين في المستشفى موزعين بواسون مع المعلمة λ واحتمال المريض الذكر على أنه p واحتمال المريض الإناث كـ (1-p) ، فقم بإظهار أن عدد المرضى الذكور والإناث الذين دخلوا المستشفى هل متغيرات Poisson عشوائية مستقلة مع المعلمتين λp و (1-p)؟

ضع في اعتبارك عدد المرضى الذكور والإناث بواسطة المتغير العشوائي X و Y ثم

[اللاتكس] P \ left {X = i، Y ​​= j \ right} = P \ left {X = i، Y ​​= j | X + Y = i + j \ right} P \ left {X + Y = i + j \ right} + P \ left {X = i، Y ​​= j | X + Y \ neq i + j \ right} P \ left {X + Y \ neq i + j \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] P \ left {X = i، Y ​​= j \ right} = P \ left {X = i، Y ​​= j | X + Y = i + j \ right} P \ left {X + Y = i + j \ right} [/ اللاتكس]

حيث أن X + Y هي إجمالي عدد المرضى الذين تم إدخالهم إلى المستشفى والتي يتم توزيعها من خلال السموم

[اللاتكس] P \ left {X + Y = i + j \ right} = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ {i + j}} {(i + j)!} [/ اللاتكس]

حيث أن احتمال المريض الذكر هو p والمريضة الأنثى (1-p) لذا بالضبط من إجمالي عدد الإصلاح يظهر ذكر أو أنثى احتمالية ذات الحدين

[اللاتكس] P \ left {X = i، Y ​​= j | X + Y = i + j \ right} = \ binom {i + j} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {j} [/ اللاتكس]

باستخدام هاتين القيمتين ، سنحصل على الاحتمال المشترك أعلاه

[اللاتكس] P \ left {X = i، Y ​​= j \ right} = \ binom {i + j} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {j} e ^ {- \ lambda} \ فارك {\ lambda ^ {i + j}} {(i + j)!} [/ لاتكس]

[لاتكس] = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda p ^ i} {i! j!} \ left [\ lambda (1-p) \ right] ^ {j} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = e ^ {- \ lambda p} \ frac {(\ lambda p) ^ i} {i!} e ^ {- \ lambda (1-p)} \ frac {\ left [\ lambda (1- p) \ right] ^ {j}} {j!} [/ لاتكس]

وبالتالي سيكون احتمال المرضى من الذكور والإناث

[اللاتكس] P \ left {X = i \ right} = e ^ {- \ lambda p} \ frac {(\ lambda p) ^ i} {i!} \ sum_ {j} e ^ {- \ lambda (1 -p)} \ frac {\ left [\ lambda (1-p) \ right] ^ {j}} {j!} = e ^ {- \ lambda p} \ frac {(\ lambda p) ^ i} { i!} [/ لاتكس]

و

[اللاتكس] P \ left {Y = j \ right} = e ^ {- \ lambda (1-p)} \ frac {\ left [\ lambda (1-p) \ right] ^ {j}} {j! } [/ لاتكس]

مما يدل على أن كلاهما عبارة عن متغيرات عشوائية بويسون مع المعلمات λp و (1-p).

2. أوجد احتمالية أن ينتظر الشخص أكثر من عشر دقائق في الاجتماع للعميل كما لو أن كل عميل وهذا الشخص سيصل بين الساعة 12 إلى 1 بعد الظهر بعد توزيع الزي الموحد.

ضع في اعتبارك المتغيرات العشوائية X و Y للدلالة على الوقت لهذا الشخص والعميل بين 12 إلى 1 ، لذا فإن الاحتمال المشترك لـ X و Y سيكون

[لاتكس] 2P \ يسار {X + 10 <Y \ right} = 2 \ int_ {X + 10 <Y} \ int f (x، y) dxdy [/ latex]

[اللاتكس] = 2 \ int_ {X + 10 <Y} \ int f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dxdy [/ latex]

[اللاتكس] = 2 \ int_ {10} ^ {60} \ int_ {0} ^ {y-10} \ left (\ frac {1} {60} \ right) ^ {2} dxdy [/ latex]

[latex]=\frac{2}{(60)^{2}}\int_{10}^{60} (y-10)dy[/latex]

[اللاتكس] = \ فارك {25} {36} [/ اللاتكس]

حساب

[اللاتكس] P \ left {X \ geq YZ \ right} [/ اللاتكس]

حيث X و Y و Z متغير عشوائي منتظم خلال الفترة (0,1،XNUMX).

هنا سيكون الاحتمال

[اللاتكس] P \ left {X \ geq YZ \ right} = \ int \ int_ {x \ geq yz} \ int f_ {X، Y، Z} (x، y، z) dxdydz [/ latex]

للتوزيع المنتظم دالة الكثافة

[اللاتكس] f_ {X، Y، Z} (x، y، z) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y) f_ {Z} (z) = 1، \ \ 0 \ leq x \ leq 1، \ \ 0 \ leq y \ leq 1، \ \ 0 \ leq z \ leq 1 [/ latex]

للنطاق المحدد لذلك

[latex]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{yz}^{1} dxdydz[/latex]

[latex]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (1-yz) dydz[/latex]

[اللاتكس] = \ int_ {0} ^ {1} \ left (1- \ frac {z} {2} \ right) dydz [/ latex]

[اللاتكس] = \ فارك {3} {4} [/ اللاتكس]

نماذج من المتغيرات العشوائية المستقلة حسب التوزيع المشترك

  مجموع المتغيرات المستقلة X و Y مع دالات كثافة الاحتمال كمتغيرات عشوائية مستمرة ، ستكون دالة التوزيع التراكمي

[اللاتكس] F_ {X + Y} (a) = P \ left \ {X + Y \ leq a \ left. \ right \} \ صحيح. [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ int_ {x + y \ leq a} \ int f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dxdy [/ latex]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {ay} f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dxdy [/ latex]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {ay} f_ {X} (x) dx f_ {Y} (y) dy [/ latex]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy [/ latex]

عن طريق التفريق بين دالة التوزيع التراكمي لدالة الكثافة الاحتمالية لهذه المجاميع المستقلة

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy [/ latex]

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy [/ latex]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy [/ latex]

باتباع هاتين النتيجتين ، سنرى بعض المتغيرات العشوائية المستمرة ومجموعها كمتغيرات مستقلة

مجموع المتغيرات العشوائية الموحدة المستقلة

   ل المتغيرات العشوائية X و Y موزعتان بشكل موحد على الفاصل الزمني (0,1،XNUMX) دالة كثافة الاحتمال لكلا هذين المتغيرين المستقلين هي

[اللاتكس] f_ {X} (a) = f_ {Y} (a) = \ begin {cases} 1 & \ 0 <a <1 \\ \ \ 0 & \ text {خلاف ذلك} \ end {cases} [/ اللاتكس]

لذلك بالنسبة لمجموع X + Y لدينا

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ int_ {0} ^ {1} f_ {X} (ay) dy [/ latex]

لأية قيمة تقع a بين صفر وواحد

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ int_ {0} ^ {a} dy = a [/ latex]

إذا حددنا a بين واحد واثنين فسيكون كذلك

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ int_ {a-1} ^ {a} dy = 2-a [/ latex]

هذا يعطي دالة كثافة الشكل الثلاثي

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ begin {cases} \ a & 0 \ leq a \ leq 1 \\ \ 2-a & \ 1 <a <2 \\ \ 0 & \ text {خلاف ذلك } \ end {cases} [/ اللاتكس]

إذا قمنا بتعميم المتغيرات العشوائية الموحدة المستقلة n من 1 إلى n فإن دالة التوزيع الخاصة بها

[لاتكس] F_ {n} (x) = P \ يسار (X_ {1} + …… + X_ {n} \ leq x \ right) [/ لاتكس]

عن طريق الاستقراء الرياضي سيكون

[اللاتكس] F_ {n} (x) = \ frac {x ^ {n}} {n!}، 0 \ leq x \ leq 1 [/ latex]

مجموع متغيرات جاما العشوائية المستقلة

    إذا كان لدينا متغيرين مستقلين من متغيرات جاما العشوائية مع دالة الكثافة المعتادة

[لاتكس] f (y) = \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda y} (\ lambda y) ^ {t-1}} {\ Gamma (t)} \ \، 0 <y <\ infty [ / اللاتكس]

ثم تتبع الكثافة لمجموع متغيرات جاما العشوائية المستقلة

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ frac {1} {\ Gamma (s) \ Gamma (t)} \ int_ {0} ^ {a} \ lambda e ^ {- \ lambda (ay) } \ left [\ lambda (ay) \ right] ^ {s-1} \ lambda e ^ {- \ lambda y} (\ lambda y) ^ {t-1} dy [/ latex]

[اللاتكس] = K e ^ {- \ lambda a} \ int_ {0} ^ {a} \ left [(ay) \ right] ^ {s-1} (y) ^ {t-1} dy [/ latex ]

[اللاتكس] = K e ^ {- \ lambda a} a ^ {s + t-1} \ int_ {0} ^ {1} (1-x) ^ {s-1} x ^ {t-1} dx \ \ by \ \ letting \ \ x = \ frac {y} {a} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = C e ^ {- \ lambda a} a ^ {s + t-1} [/ لاتكس]

[لاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda a} (\ lambda a) ^ {s + t-1}} {\ Gamma (s + t)} [ / اللاتكس]

يوضح هذا دالة الكثافة لمجموع متغيرات جاما العشوائية المستقلة

مجموع المتغيرات المستقلة الأسية العشوائية

    بطريقة مماثلة لمتغير جاما العشوائي ، يمكننا الحصول على دالة الكثافة ووظيفة التوزيع من خلال تعيين قيم متغيرات جاما العشوائية على وجه التحديد.

مجموع المتغير العشوائي العادي المستقل | مجموع التوزيع الطبيعي المستقل

                إذا كان لدينا عدد n من المتغيرات العشوائية المستقلة Xi ، i = 1,2,3,4،XNUMX،XNUMX،XNUMX ... n مع الوسائل الخاصة بها μi و الفروق σ2i ثم مجموعها هو أيضًا متغير عشوائي عادي بمتوسط ​​μi والفروق Σσ2i

    نعرض أولاً المبلغ المستقل الموزع بشكل طبيعي لمتغيرين عشوائيين عاديين X مع المعلمات 0 و2 و Y مع المعلمات 0 و 1 ، دعونا نجد دالة كثافة الاحتمال لمجموع X + Y بها

[اللاتكس] c = \ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}} + \ frac {1} {2} = \ frac {1+ \ sigma ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}} [/ اللاتكس]

في دالة كثافة التوزيع المشترك

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy [/ latex]

بمساعدة تعريف دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي

[اللاتكس] f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} exp \ left {- \ frac {(ay) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}} \ right} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} exp \ left {- \ frac {y ^ {2}} {2} \ right} [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma} exp \ left {- \ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}} \ right} exp \ left {-c \ left (y ^ {2} -2y \ frac {a} {1+ \ sigma ^ {2}} \ right) \ right} [/ latex]

وبالتالي ستكون دالة الكثافة

[اللاتكس] f_ {X + Y} (a) = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma} exp \ left {- \ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}} \ right } exp \ left {\ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} (1+ \ sigma ^ {2})} \ right} X \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} exp \ left {-c \ left (y- \ frac {a} {1+ \ sigma ^ {2}} \ right) ^ {2} \ right} dy [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma} exp \ left {- \ frac {a ^ {2}} {2 (1+ \ sigma ^ {2})} \ right} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} exp \ left {-cx ^ {2} \ right} dx [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = C exp \ left {- \ frac {a ^ {2}} {2 (1+ \ sigma ^ {2})} \ right} [/ اللاتكس]

وهي ليست سوى دالة كثافة a التوزيع الطبيعي مع متوسط ​​0 والتباين (1 + σ2) باتباع نفس الوسيطة يمكننا القول

[اللاتكس] X_ {1} + X_ {2} = \ سيغما {2} \ left (\ frac {X{1} - \ mu {1}} {\ سيغما {2}} + \ frac {X_ {2} - \ mu {2}} {\ سيغما {2}} \ right) + \ mu {1} + \ mu {2} [/ اللاتكس]

مع المتوسطات والاختلافات المعتادة. إذا أخذنا التوسع ولاحظنا أن المبلغ يتم توزيعه عادة بالمتوسط ​​كمجموع للوسائل المعنية والتباين كمجموع الفروق المعنية ،

وهكذا بنفس الطريقة سيكون المجموع n هو المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي بمتوسط ​​Σμi  والفروق Σσ2i

مجاميع متغيرات بواسون العشوائية المستقلة

إذا كان لدينا متغيرين مستقلين من Poisson العشوائيين X و Y مع المعلمات λ1 و λ2 ثم يكون مجموعها X + Y هو أيضًا متغير Poisson العشوائي أو Poisson موزعًا

منذ توزيع X و Y على Poisson ويمكننا كتابة مجموعهما على أنه اتحاد الأحداث المنفصلة

[اللاتكس] P \ left {X + Y = n \ right} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} P \ left {X = k، Y = nk \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} P \ left {X = k \ right}، P \ left {Y = nk \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} e ^ {- \ lambda {1}} \ فارك {\ لامدا {1} ^ {k}} {k!} e ^ {- \ lambda {2}} \ فارك {\ لامدا {2} ^ {nk}} {(nk)!} [/ لاتكس]

باستخدام احتمال المتغيرات العشوائية المستقلة

[اللاتكس] = e ^ {- (\ lambda {1} + \ لامدا {2})} \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {\ lambda {1} ^ {k} \ lambda {2} ^ {nk}} {k! (nk)!} [/ لاتكس]

[لاتكس] = \ فارك {e ^ {- (\ lambda {1} + \ لامدا {2})}} {n!} \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n!} {k! (nk)!} \ lambda {1} ^ {k} \ lambda {2} ^ {nk} [/ لاتكس]

[لاتكس] = \ فارك {e ^ {- (\ lambda {1} + \ لامدا {2})}} {n!} (\ lambda {1} + \ لامدا {2}) ^ {n} [/ لاتكس]

لذلك نحصل على المجموع X + Y يتم أيضًا توزيع بواسون بمتوسط ​​λ1 + λ2

مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الحدين

                إذا كان لدينا متغيرين عشوائيين مستقلين ذي الحدين X و Y مع المعلمات (n ، p) و (m ، p) ، فإن مجموعهما X + Y هو أيضًا متغير عشوائي ذي الحدين أو ثنائي الحدين موزع مع المعلمة (n + m ، p)

دعنا نستخدم احتمال المجموع مع تعريف ذات الحدين كـ

[اللاتكس] P \ left {X + Y = k \ right} = \ sum_ {i = 0} ^ {n} P \ left {X = i، Y ​​= ki \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {i = 0} ^ {n} P \ left {X = i \ right} P \ left {Y = ki \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ binom {n} {i} p ^ {i} q ^ {ni} \ binom {m} {ki} p ^ {ki} q ^ {m -k + i} [/ لاتكس]

[اللاتكس] حيث \ \ q = 1-p \ \ و \ \ أين \ \ \ binom {r} {j} = 0 \ \ عندما \ \ j <0 [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ binom {m + n} {k} = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ binom {n} {i} \ binom {m} {ki} [/ اللاتكس]

الذي يعطي

[اللاتكس] P \ left {X + Y = k \ right} = p ^ {k} q ^ {n + mk} \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ binom {n} {i} \ binom { م} {ki} [/ لاتكس]

لذلك يتم أيضًا توزيع المجموع X + Y بشكل ثنائي مع المعلمة (n + m ، p).

الخلاصة:

تمت مناقشة مفهوم المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك والتي تعطي التوزيع نسبيًا لأكثر من متغير واحد في الحالة بالإضافة إلى المفهوم الأساسي للمتغير العشوائي المستقل بمساعدة التوزيع المشترك ومجموع المتغيرات المستقلة مع بعض أمثلة التوزيع. معلماتها ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فراجع الكتب المذكورة. لمزيد من المنشورات في الرياضيات ، من فضلك انقر هنا.

https://en.wikipedia.org

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات