التوزيع العكسي لأشعة جاما: 21 حقيقة مهمة


توزيع غاما المعكوس ووظيفة توليد اللحظة لتوزيع جاما

      استمرارًا لتوزيع جاما ، سنرى مفهوم توزيع غاما العكسي ووظيفة توليد اللحظة ، وقياس متوسط ​​الاتجاهات المركزية ، ووضع ومتوسط ​​توزيع جاما باتباع بعض الخصائص الأساسية لتوزيع جاما.

خصائص توزيع جاما

بعض الخصائص الهامة لتوزيع جاما مدرجة على النحو التالي

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما هي

or

حيث تكون وظيفة جاما

2- دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جاما هي

حيث f (x) هي دالة الكثافة الاحتمالية كما هو مذكور أعلاه على وجه الخصوص cdf هي

و

على التوالي أو

E [X] = α * β

و

  • دالة توليد اللحظة M (t) لتوزيع جاما هي

or

  • منحنى pdf و cdf هو
توزيع غاما العكسي
  • يمكن تعريف توزيع غاما العاكس بأخذ دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع جاما بالمثل
  • مجموع توزيع جاما المستقل هو مرة أخرى توزيع جاما مع مجموع المعلمات.

توزيع عكسي لأشعة غاما | توزيع غاما العكسي العادي

                إذا كان في توزيع غاما في دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

or

نأخذ المتغير المقلوب أو المقلوب ثم دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ alpha -1}} { \ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

وبالتالي فإن المتغير العشوائي مع دالة كثافة الاحتمال هذه معروف بأنه متغير غاما العشوائي العكسي أو توزيع غاما العكسي أو توزيع غاما المقلوب.

دالة كثافة الاحتمال المذكورة أعلاه في أي معلمة يمكن أن نأخذها إما في شكل لامدا أو ثيتا ، فإن دالة كثافة الاحتمال التي تكون معكوسة لتوزيع جاما هي دالة كثافة الاحتمال لتوزيع غاما العكسي.

دالة التوزيع التراكمي أو cdf لتوزيع غاما العكسي

                دالة التوزيع التراكمي لتوزيع غاما العكسي هي دالة التوزيع

حيث f (x) هي دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع جاما العكسي

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ alpha -1}} { \ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

يعني وتباين توزيع غاما العكسي

  سيكون متوسط ​​وتباين توزيع غاما العكسي باتباع التعريف المعتاد للتوقع والتباين

و

يعني وتباين إثبات توزيع غاما العكسي

        للحصول على متوسط ​​وتباين توزيع غاما العكسي باستخدام دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ alpha -1}} { \ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

وتعريف التوقعات ، نجد أولاً توقع أي قوة لـ x as

في التكامل أعلاه استخدمنا دالة الكثافة مثل

الآن لقيمة α أكبر من واحد و n كواحد

وبالمثل ، فإن قيمة n = 2 هي لـ alpha أكبر من 2

استخدام هذه التوقعات سيعطينا قيمة التباين مثل

يعكس مخطط توزيع جاما | رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

                توزيع غاما العكسي هو تبادلي لتوزيع جاما ، لذا أثناء مراقبة توزيع جاما ، من الجيد ملاحظة طبيعة منحنيات توزيع غاما العكسي التي لها دالة كثافة احتمالية

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ alpha -1}} { \ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

ودالة التوزيع التراكمي باتباعها

توزيع غاما العكسي
رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

الوصف: الرسوم البيانية لدالة الكثافة الاحتمالية ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة α كـ 1 وتغيير قيمة β.

توزيع غاما العكسي
رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تحديد قيمة α كـ 2 وتغيير قيمة β

توزيع غاما العكسي
رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تحديد قيمة α كـ 3 وتغيير قيمة β.

توزيع غاما العكسي
رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تحديد قيمة β كـ 1 وتغيير قيمة α.

توزيع غاما العكسي
رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تحديد قيمة β كـ 2 وتغيير قيمة α

توزيع غاما العكسي
رسم بياني لتوزيع غاما معكوس

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تحديد قيمة β كـ 3 وتغيير قيمة α.

وظيفة توليد اللحظة لتوزيع جاما

قبل فهم مفهوم وظيفة توليد اللحظة لتوزيع جاما ، دعونا نتذكر بعض مفهوم وظيفة توليد اللحظة

لحظات

    لحظة متغير عشوائي يتم تعريفه بمساعدة التوقع على أنه

تُعرف هذه باللحظة r-th للمتغير العشوائي X ، إنها لحظة الأصل والمعروفة باسم اللحظة الأولية.

     إذا أخذنا اللحظة r من المتغير العشوائي حول المتوسط ​​μ مثل

تُعرف هذه اللحظة حول المتوسط ​​باللحظة المركزية وسيكون التوقع وفقًا لطبيعة المتغير العشوائي

في اللحظة المركزية إذا وضعنا قيم r ، فسنحصل على بعض اللحظات الأولية مثل

إذا أخذنا التوسع ذي الحدين في اللحظات المركزية ، فيمكننا بسهولة الحصول على العلاقة بين اللحظات المركزية واللحظات الأولية

بعض العلاقات الأولية هي على النحو التالي

وظيفة توليد اللحظة

   اللحظات التي يمكننا إنشاؤها بمساعدة وظيفة تُعرف باسم وظيفة توليد اللحظة ويتم تعريفها على أنها

تولد هذه الوظيفة اللحظات بمساعدة توسيع الدالة الأسية في أي من النموذجين

باستخدام شكل تايلورز

التفريق بين هذه الدالة الموسعة فيما يتعلق بـ t يعطي لحظات مختلفة مثل

بطريقة أخرى إذا أخذنا المشتق مباشرة مثل

منذ ذلك الحين لكل من منفصلة

ومستمر لدينا

لذلك سوف نحصل على t = 0

بطريقة مماثلة

as

وبشكل عام

هناك علاقتان مهمتان في الوقت الحالي لتوليد الوظائف

وظيفة توليد اللحظة لتوزيع جاما | mgf لتوزيع جاما | وظيفة توليد اللحظة لتوزيع جاما

الآن من أجل جاما توزيع وظيفة توليد اللحظة م (ر) لقوات الدفاع الشعبي

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ alpha -1}} {\ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)}، & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

is

وقوات الدفاع الشعبي

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

وظيفة توليد اللحظة

إثبات دالة توزيع جاما لحظة توليد | mgf من إثبات توزيع جاما

    الآن تأخذ شكل دالة كثافة الاحتمال على النحو التالي

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

وباستخدام تعريف وظيفة توليد اللحظة M (t) لدينا

يمكننا إيجاد المتوسط ​​والتباين لتوزيع جاما بمساعدة وظيفة توليد اللحظة مثل التفريق فيما يتعلق بـ t مرتين هذه الوظيفة التي سنحصل عليها

إذا وضعنا t = 0 ، فستكون القيمة الأولى

و

الآن نضع قيمة هذه التوقعات في

بالتناوب لقوات الدفاع الشعبي من النموذج

ستكون وظيفة توليد اللحظة

والتفاضل ووضع t = 0 سيعطي المتوسط ​​والتباين على النحو التالي

اللحظة الثانية لتوزيع جاما

   اللحظة الثانية لتوزيع جاما عن طريق اشتقاق دالة توليد اللحظة مرتين ووضع قيمة t = 0 في المشتق الثاني لتلك الدالة التي سنحصل عليها

اللحظة الثالثة لتوزيع جاما

                يمكننا إيجاد اللحظة الثالثة لتوزيع جاما عن طريق اشتقاق دالة توليد اللحظة ثلاث مرات ووضع قيمة t = 0 في المشتق الثالث من mgf الذي سنحصل عليه

أو بشكل مباشر من خلال الدمج كـ

 سيجما لتوزيع جاما

   سيجما أو الانحراف المعياري لتوزيع جاما الذي يمكننا إيجاده بأخذ الجذر التربيعي لتباين توزيع جاما للنوع

or

لأي قيمة محددة لـ alpha و beta و lambda.

الوظيفة المميزة لتوزيع جاما | دالة توزيع جاما المميزة

      إذا كان المتغير t في دالة توليد اللحظة عبارة عن رقم وهمي بحت مثل t = iω ، فإن الوظيفة تُعرف باسم الوظيفة المميزة لتوزيع جاما المشار إليها ومعبر عنها كـ

كما هو الحال بالنسبة لأي متغير عشوائي ستكون الوظيفة المميزة

وبالتالي ، بالنسبة لتوزيع جاما ، فإن الوظيفة المميزة باتباع pdf لتوزيع جاما هي

متابعيك

هناك شكل آخر من هذه الخصائص تعمل أيضًا إذا

then

مجموع توزيعات جاما | مجموع جاما التوزيع الأسي

  لمعرفة نتيجة مجموع توزيع جاما ، يجب علينا أولاً وقبل كل شيء فهم مجموع المتغير العشوائي المستقل للمتغير العشوائي المستمر ، لذلك دعونا نمتلك وظائف كثافة الاحتمال للمتغيرات العشوائية المستمرة X و Y ثم دالة التوزيع التراكمي للمبلغ المتغيرات العشوائية ستكون

إن التفريق بين هذا الالتفاف المتكامل لوظائف الكثافة الاحتمالية لـ X و Y سيعطي دالة كثافة الاحتمال لمجموع المتغيرات العشوائية

الآن دعنا نثبت ما إذا كان X و Y هما متغيرا غاما العشوائيان مع وظائف الكثافة الخاصة بهما ، فسيكون هناك أيضًا توزيع جاما بمجموع نفس المعلمات

النظر في دالة الكثافة الاحتمالية للنموذج

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

بالنسبة للمتغير العشوائي X ، خذ alpha كـ s وللمتغير العشوائي Y خذ alpha كـ t ، لذلك باستخدام كثافة الاحتمال لمجموع المتغيرات العشوائية التي لدينا

هنا C مستقلة عن a ، الآن ستكون القيمة

التي تمثل دالة كثافة الاحتمال لمجموع X و Y والتي هي توزيع جاما ، وبالتالي فإن مجموع توزيع جاما يمثل أيضًا توزيع جاما بمجموع المعلمات ذات الصلة.

طريقة توزيع جاما

    للعثور على طريقة توزيع جاما ، دعونا ننظر في دالة كثافة الاحتمال على أنها

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ Gamma (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

الآن اشتق هذا pdf بالنسبة إلى x ، فسنحصل على الاشتقاق كـ

سيكون هذا صفرًا لـ x = 0 أو x = (α -1) / λ

لذلك هذه فقط نقاط حرجة عندما يكون مشتقنا الأول صفرًا إذا كانت alpha أكبر من أو تساوي الصفر ، فإن x = 0 لن يكون الوضع لأن هذا يجعل pdf صفرًا لذا سيكون الوضع (α -1) /

وبالنسبة لألفا أقل من واحد ، فإن المشتق يتناقص من اللانهاية إلى الصفر مع زيادة x من الصفر إلى اللانهاية ، لذا فإن هذا غير ممكن ومن ثم يكون وضع توزيع جاما

متوسط ​​توزيع جاما

يمكن العثور على متوسط ​​توزيع جاما بمساعدة توزيع غاما العكسي كـ

or

المقدمة

الذي يعطي

شكل توزيع جاما

     يأخذ توزيع جاما شكلاً مختلفًا اعتمادًا على معلمة الشكل عندما تكون معلمة الشكل هي توزيع جاما واحدًا يساوي التوزيع الأسي ولكن عندما نغير معلمة الشكل ، يقل انحراف منحنى توزيع جاما مع زيادة معامل الشكل ، وبكلمات أخرى يتغير شكل منحنى توزيع جاما حسب الانحراف المعياري.

انحراف توزيع جاما

    يمكن ملاحظة الانحراف في أي توزيع من خلال ملاحظة دالة الكثافة الاحتمالية لمعامل الانحراف والتوزيع

لتوزيع جاما لدينا

so

يوضح هذا أن الانحراف يعتمد على ألفا فقط إذا كانت زيادة ألفا إلى منحنى اللانهاية ستكون أكثر تناسقًا وحادة ، وعندما يذهب ألفا إلى الصفر ، يكون منحنى كثافة توزيع جاما منحرفًا بشكل إيجابي وهو ما يمكن ملاحظته في الرسوم البيانية للكثافة.

توزيع جاما المعمم | معلمة الشكل والمقياس في توزيع جاما | ثلاث معلمات توزيع غاما | توزيع غاما متعدد المتغيرات

حيث γ و μ و هي معلمات الشكل والموقع والمقياس على التوالي ، من خلال تعيين قيم محددة لهذه المعلمات ، يمكننا الحصول على توزيع غاما ثنائي المعامل على وجه التحديد إذا وضعنا μ = 0 ، β = 1 ثم سنحصل على توزيع غاما القياسي مثل

باستخدام دالة كثافة احتمالية توزيع جاما ذات المعلمات الثلاثة ، يمكننا العثور على التوقع والتباين باتباع التعريف الموجود على التوالي.

الخلاصة:

مفهوم المعاملة بالمثل لتوزيع جاما توزيع غاما العكسي بالمقارنة مع توزيع جاما وقياس الاتجاهات المركزية لتوزيع جاما بمساعدة وظيفة توليد اللحظة ، كان محور هذه المقالة ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فانتقل إلى الكتب والروابط المقترحة. لمزيد من المنشورات حول الرياضيات ، قم بزيارة موقعنا صفحة الرياضيات.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق. لقد أكملت رسالة الدكتوراه الخاصة بي. في الرياضيات والعمل أستاذا مساعدا في الرياضيات. لديه خبرة 12 عامًا في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات