نظرية الوظيفة: 9 حقائق سريعة كاملة


مقدمة

ما هي الرياضيات؟ هل هو حساب؟ هل هو منطق؟ هل هي رموز؟ بالصور؟ الرسوم البيانية؟ اتضح ، كل هذا وأكثر من ذلك بكثير. إنها لغة. اللغة العالمية ، برموزها وشخصياتها وتعبيراتها ومفرداتها وقواعدها وكل ما يصنع لغة ، كلها منطقية تمامًا وفريدة من نوعها ولا لبس فيها في معناها. إنها اللغة التي تكتب بها قوانين الكون. ومن ثم فهي اللغة التي يجب أن نتعلمها ونستكشفها لكشف ألغاز الطبيعة. يجب أن نبدأ مناقشتنا حول واحدة من أجمل وأساسيات مواضيع الرياضيات ، نظرية الوظيفة ، بهذه الفلسفة.

ما هي التعبيرات والمعادلات والهويات؟

مثل كل اللغات المحددة جيدًا ، تأتي الرياضيات مع مجموعتها الخاصة من الرموز والأحرف الرقمية والأبجدية. التعبير في الرياضيات هو مزيج من هذه الرموز والشخصيات. كل هذا سيتم شرحه في هذا نظرية الوظيفة نقاش.

5 + 2 / (9-3)

7 أ + 2 ب -3 ج

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α - β)

هذه كلها تعبيرات رياضية. بغض النظر عما إذا كان من الممكن تقييمها أم لا ، إذا كانت ذات مغزى وإذا كانت تتبع البنية الصحيحة ، فهي تعبيرات.

الآن ، عندما نقارن تعبيرين بعلامة '=' ، يكون لدينا شيء مثل ...

(1 + x)2 = 1 + 2 س + س2

وهو تعبير عن المساواة بين تعبيرين مكتوبين على جانبي علامة =. لاحظ أن هذه المساواة صحيحة لجميع قيم x. تسمى هذه الأنواع من المساواة الهويات.

(1 + x)2 = 2 + 3 س + 2 س2………… .. (1)

أو ما شابه

(1 + x)2 = 7-3x + 2x2…………… (2)

عندئذٍ لن تكون صحيحة بالنسبة لجميع قيم x ، بل ستكون صحيحة بالنسبة لبعض قيم x مثل (2) أو ستكون صحيحة مع قيم NO لـ x ، مثل (1). هذه تسمى المعادلات.

للتلخيص ، المساواة التي تحتوي على جميع قيم المتغيرات ، هي الهويات. والمساواة التي تحمل بعض أو عدم وجود قيم للمتغيرات هي معادلات.

لماذا نحتاج إلى مفهوم الوظيفة؟

أليس من المدهش أن الكون متوازن تمامًا؟ نظام بهذا الحجم الهائل مصنوع من العديد من الأنظمة الأصغر ، لكل منها العديد من المتغيرات التي تتفاعل مع بعضها البعض ، ومع ذلك فهي حسنة التصرف. ألا يبدو أن كل شيء تحكمه مجموعة من القواعد ، غير مرئية ولكنها موجودة في كل مكان؟ خذ على سبيل المثال قوة الجاذبية. إنها تتناسب عكسياً مع المسافة بين الأجسام ، وهذه القاعدة تتبعها جميع الأمور ، في كل مكان في الكون. لذلك ، يجب أن يكون لدينا طريقة للتعبير عن مثل هذه القواعد ، مثل الروابط بين المتغيرات.

نحن محاطون بمثل هذه المتغيرات التي تعتمد على متغيرات أخرى. يعتمد طول ظل المبنى على ارتفاعه ووقت النهار. تعتمد المسافة التي تقطعها السيارة على عزم الدوران الناتج عن محركها. إن مفهوم نظرية الوظيفة هو الذي يمكننا من التعبير عن هذه العلاقات رياضيًا.

إذن ما هي وظيفة في الرياضيات؟

قاعدة الوظيفة أو الوظيفة كقاعدة

ببساطة ، الوظيفة هي قاعدة تربط متغيرين أو أكثر. إذا تم السماح للمتغيرات بأخذ القيم الحقيقية فقط ، فهذا ببساطة تعبير يحدد قاعدة أو مجموعة من القواعد التي تحدد رقمًا حقيقيًا لكل من الأرقام الحقيقية.

الآن هذا التعريف يتطلب بالتأكيد بعض التوضيح الذي يتم تقديمه من خلال أمثلة مثل

1. القاعدة التي تحدد مكعب هذا الرقم لكل رقم.

و (س) = س3

2. القاعدة التي تعين (x2-x-1) / x3 لكل س

و (س) = (س2-x-1) / x3

3. القاعدة التي تحدد (x2-x-1) /(x2+ x + 1) لكل x التي لا تساوي 1 والعدد من 0 إلى 1

f (x) = (x2-x-1) / (x2 + x + 1) لـ x ≠ 1

                                                 = 0 لـ x = 1

  • و (س) = س2   لـ -1 <x </ 3
  • القاعدة التي تسند

  2 إلى رقم 5

  3 إلى رقم 8/3

  π / 2 للرقم 1

  و  لبقية

  • القاعدة التي تعين لعدد x ، عدد 1s في التوسع العشري إذا كان العد محدودًا و 0 إذا كان هناك عدد لا نهائي من الآحاد في التوسع.

يجب أن توضح هذه الأمثلة شيئًا واحدًا وهو أن الوظيفة هي أي قاعدة تحدد أرقامًا لأرقام أخرى محددة. قد لا يتم التعبير عن هذه القواعد دائمًا بالصياغة الجبرية. قد لا تشير هذه حتى إلى شرط فريد واحد ينطبق على جميع الأرقام. وليس من الضروري أن تكون قاعدة يمكن للمرء أن يجدها في الممارسة أو في العالم الحقيقي ، مثل تلك الموجودة في القاعدة 6. لا أحد يستطيع معرفة الرقم الذي تخصصه هذه القاعدة للرقم π أو 2. قد لا تنطبق القاعدة أيضًا على بعض الأرقام. على سبيل المثال ، لا تنطبق القاعدة 2 على x = 0. تسمى مجموعة الأرقام التي تنطبق عليها القاعدة بمجال الوظيفة.

إذن ماذا تعني y = f (x)؟

لاحظ أننا نستخدم التعبير y = f (x) لكتابة دالة. عندما نبدأ تعبيرًا بـ "f (x) = y" ، فإننا نعني أننا على وشك تحديد دالة تربط مجموعة من الأرقام بمجموعة من قيم المتغير x.

FUNCTION كعلاقة

إذن ، بعبارة أخرى ، وربما بمعنى أكثر عمومية ، الوظيفة هي علاقة بين مجموعتين A و B ، حيث كل العناصر في المجموعة A لها عنصر مخصص لها من المجموعة B. العناصر من المجموعة B تسمى الصور وعناصر المجموعة أ تسمى الصور المسبقة.

تسمى عملية ربط العناصر MAPPING. بالطبع يمكن أن يكون هناك العديد من الطرق التي يمكن من خلالها إجراء هذه التعيينات ، لكننا لن نسميها جميعًا كوظائف. فقط تلك التعيينات التي تربط العناصر بطريقة تجعل كل عنصر في المجموعة أ يحتوي على صورة واحدة بالضبط في المجموعة ب ، يجب أن يطلق عليها وظائف. يُكتب أحيانًا على النحو التالي: f: A–> B. يجب قراءة هذا كـ "f دالة من A إلى B".

المجموعة أ تسمى المجال من الوظيفة والمجموعة ب تسمى المجال المشترك الوظيفة. إذا كانت f تجعل صورة عنصر واحد a من المجموعة A هي العنصر b من المجموعة B ، فإننا نكتب f (a) = b ، ونقرأها كـ 'f لـ a يساوي b' ، أو 'b هي القيمة من f في a '، أو' b هي صورة a under f '.

أنواع الوظائف

يمكن تصنيف الوظائف حسب الطريقة التي ترتبط بها المجموعتين.

واحد - واحد أو وظيفة الحقن

نظرية الوظيفة: واحد لواحد أو وظيفة الحقن

الرقم يقول كل شيء. عندما تربط دالة كل عنصر من عناصر مجموعة بعنصر فريد من مجموعة أخرى ، تكون وظيفة واحد إلى واحد أو وظيفة حقنة.

كثير - وظيفة واحدة

نظرية الوظيفة
نظرية الوظيفة: دالة متعددة لواحد

مرة أخرى ، هذا الرقم لا يحتاج إلى شرح. من الواضح أن هناك أكثر من صورة مسبقة واحدة لصورة معينة. ومن ثم فإن رسم الخرائط هو من عدة إلى واحد. لاحظ أنه لا ينتهك تعريف الوظيفة حيث لا يوجد عنصر من المجموعة أ يحتوي على أكثر من صورة واحدة في المجموعة ب.

ONTO وظيفة أو وظيفة SURJECTIVE

نظرية الوظيفة: وظيفة ONTO أو وظيفة قاطعة

عندما تحتوي جميع عناصر المجموعة B على صورة مسبقة واحدة على الأقل ، فإن الوظيفة تسمى Onto أو surjective. يمكن أن يكون رسم الخرائط واحدًا لواحد أو أكثر لواحد. من الواضح أن الشخص الموضح أعلاه هو العديد من الأشخاص على رسم الخرائط. لاحظ أن الصورة المستخدمة سابقًا لتصوير تعيين واحد لواحد هي أيضًا على رسم الخرائط. هذا النوع من واحد لواحد على رسم الخرائط يُعرف أيضًا باسم موضوعي رسم الخرائط.

في الوظيفة

نظرية الوظيفة: وظيفة INTO

عندما تكون هناك صورة واحدة على الأقل بدون أي صورة مسبقة ، فهي وظيفة INTO. يمكن أن يكون Into function من واحد إلى واحد أو أكثر إلى واحد. من الواضح أن الشخص الموضح أعلاه هو واحد لواحد.

رسم بياني لوظيفة

كما قيل سابقًا أن الوظيفة تعين أرقامًا حقيقية لأرقام حقيقية معينة ، فمن الممكن والملائم تمامًا رسم زوج الأرقام على المستوى الديكارتي XY. التتبع الذي تم الحصول عليه عن طريق ربط النقاط ، هو الرسم البياني للوظيفة.

دعونا نفكر في الدالة f (x) = x + 3. ثم يمكننا إيجاد قيمة f (x) عند x = 1,2,3،1,4،3,6 للحصول على ثلاثة أزواج من x و f (x) كـ (5,8،XNUMX) ، ( XNUMX،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX). يوضح رسم هذه النقاط وربطها أن الوظيفة تتبع خطًا مستقيمًا في المستوى xy. هذا الخط هو الرسم البياني للدالة.

نظرية الوظيفة: رسم بياني لوظيفة_1

من الواضح أن طبيعة التتبع ستختلف وفقًا لتعبير الوظيفة. وهكذا نحصل على مجموعة من الرسوم البيانية لأنواع مختلفة من التعبيرات. يتم إعطاء القليل.

الرسوم البيانية لـ f (x) = sin x، f (x) = x2 و f (x) = ex من اليسار الى اليمين

نظرية الوظيفة: رسم بياني لوظيفة_2

في هذه المرحلة ، يمكن للمرء أن يرى أن تعبير الدالة يشبه في الواقع تعبير المعادلة. وهذا صحيح ، على سبيل المثال y = x + 3 هي بالفعل معادلة وكذلك تعريف دالة. هذا يقودنا إلى السؤال ، هل كل وظائف المعادلة؟ إذا لم يكن ثم

كيف تتحقق مما إذا كانت المعادلة دالة؟

جميع المعادلات الموضحة في الرسوم البيانية السابقة هي في الواقع وظائف ، حيث توجد قيمة واحدة بالضبط لـ f (x) أو y لبعض قيمة x. هذا يعني أن التعبير عن f (x) يجب أن يعطي قيمة واحدة فقط عند تقييم أي قيمة لـ x. هذا صحيح بالنسبة لأي معادلة خطية. ولكن إذا أخذنا في الاعتبار المعادلة y2 = 1 س2، نجد أن هناك دائمًا حلين لكل x ضمن 0 إلى 1 ، بمعنى آخر ، يتم تخصيص صورتين لكل قيمة x ضمن نطاقها. هذا ينتهك تعريف الوظيفة وبالتالي لا يمكن تسمية وظيفة.

يجب أن يبدو هذا أكثر وضوحًا من الرسم البياني حيث توجد صورتان بالضبط لكل x حيث أن الخط العمودي المرسوم في أي نقطة على المحور x سيقطع الرسم البياني عند نقطتين بالضبط.

نظرية الوظيفة: رسم بياني لوظيفة_3

لذلك ، هذا يقودنا إلى استنتاج واحد مهم وهو ليست كل المعادلات دوال. وما إذا كانت المعادلة دالة ، يمكن التحقق منها بواسطة اختبار الخط العمودي، وهو ببساطة تخيل خط رأسي متغير عند كل نقطة على المحور x ومعرفة ما إذا كان يلتقي بالرسم البياني عند نقطة واحدة.

يجيب هذا أيضًا على سؤال مهم آخر ، وهو كيف تتحقق مما إذا كانت الوظيفة هي واحد لواحد؟ بالتأكيد ، هذه الإجابة موجودة أيضًا في الرسم البياني ويمكن التحقق منها عن طريق اختبار الخط العمودي.

الآن ، يمكن للمرء أن يسأل عما إذا كانت هناك طريقة لقول الشيء نفسه دون الحصول على الرسم البياني أو إذا كان من الممكن إخباره جبريًا لأنه ليس من السهل دائمًا رسم الرسوم البيانية للوظائف. حسنًا ، الإجابة هي نعم ، يمكن إجراؤها ببساطة عن طريق اختبار f (a) = f (b) يعني أ = ب. هذا يعني أنه حتى لو كانت f (x) تأخذ نفس القيمة لقيمتين من x ، فلا يمكن أن تختلف قيمتا x. دعونا نأخذ مثالا على الوظيفة

ص = (س -1) / (س -2)

كما يلاحظ المرء أنه من الصعب رسم الرسم البياني لهذه الوظيفة لأنها غير خطية بطبيعتها ولا تتناسب مع وصف أي منحنى مألوف وعلاوة على ذلك لم يتم تعريفها عند x = 2. لذلك ، تتطلب هذه المشكلة بالتأكيد نهجًا مختلفًا عن اختبار الخط العمودي.

لذلك ، نبدأ بالسماح 

و (أ) = و (ب)

=> (أ -1) / (أ -2) = (ب -1) / (ب -2)

=> (أ -1) (ب 2) = (ب -1) (أ -2)

=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2

=> 2 أ + ب = 2 ب + أ

=> 2 (أب) = (أب)             

هذا ممكن فقط لـ ab = 0 أو a = b

إذن ، الدالة هي حقًا واحد لواحد ، وقد أثبتناها بدون تمثيل بياني.

الآن ، نريد أن نرى عندما تفشل بعض الوظائف في هذا الاختبار. قد نرغب في اختبار معادلة الدائرة التي اختبرناها من قبل. نبدأ بالكتابة

و (أ) = و (ب)

و (س) = س2

=> أ2=b2

a2 =b2

=> أ = ب أو أ = -ب

وهو ما يعني ببساطة أن هناك حلولًا أخرى غير a = b ، وبالتالي فإن f (x) ليست وظيفة.

من الصعب جدا التخطيط ص = (س -1) / (س -2)؟

سنناقش الرسم البياني لوظيفة ما بتفصيل أكبر بكثير في المقالات القادمة ولكن من الضروري هنا التعرف على أساسيات الرسوم البيانية لأنها تساعد بشكل كبير في حل المشكلات. غالبًا ما يجعل التفسير المرئي لمشكلة حساب التفاضل والتكامل المشكلة سهلة للغاية ومعرفة كيفية رسم وظيفة ما هي مفتاح التفسير المرئي الجيد.

لذلك ، لرسم الرسم البياني لـ (x-1) / (x-2), نبدأ بتقديم بعض الملاحظات الهامة مثل

1. تصبح الوظيفة 0 عند x = 1.

2. تصبح الوظيفة غير معرفة عند x = 2.

3. الوظيفة موجبة في كل مكان باستثناء 1

لأن في هذه الفترة (x-1) موجبة و (x-2) سالبة ، فإن هذا يجعل النسبة سالبة.

4. عندما تنتقل x إلى-، تقترب الدالة من الوحدة من الجانب السفلي ، مما يعني أنها تقترب من 1 ولكنها دائمًا أقل من 1.

لأن بالنسبة إلى x <0 ، (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 as | x | +2> | x | +1

5. عندما تنتقل x إلى + ، تقترب الدالة من الوحدة من الجانب العلوي ، مما يعني أنها تقترب من 1 ولكنها دائمًا أكبر من 1.

6. عندما تنتقل x إلى 2 من الجانب الأيسر ، تنتقل الدالة إلى -∞.

7. عندما تنتقل x إلى 2 من الجانب الأيمن ، تنتقل الدالة إلى + ∞.

8. تتناقص الدالة دائمًا بالنسبة إلى x> 2.

دليل - إثبات:

نأخذ قيمتين قريبتين من x مثل (أ ، ب) مثل (أ ، ب)> 2 و ب> أ

الآن ، و (ب) - و (أ)

= (ب -1) / (ب -2) - (أ -1) / (أ -2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

= (أب) / {(أ -2) (ب -2)}

<0 كـ (ab) <0 for b> a

و (أ -2) (ب -2)> 0 مثل (أ ، ب)> 2

هذا يعني و (ب) 2 ، بمعنى آخر ، تتناقص f (x) بشكل صارم لـ x> 2

  • 9. تتناقص الوظيفة دائمًا لـ x <2
  • إثبات: كما كان من قبل. نتركها لك لتجربتها.

الجمع بين هذه الملاحظات يجعل الرسوم البيانية سهلة للغاية. بدمج 4,9،6 و 2 يمكننا القول أنه عندما تنتقل x من-إلى 0 ، يبدأ التتبع من الوحدة وينخفض ​​تدريجيًا ليلامس 1 عند x = 2 وينخفض ​​أكثر إلى -∞ عند x = 7,5. من خلال الجمع مرة أخرى بين 8،2 و XNUMX ، من السهل ملاحظة أنه نظرًا لأن x ينتقل من XNUMX إلى + ، يبدأ التتبع في الانخفاض من + ويستمر في الاقتراب من الوحدة التي لا تلامسها أبدًا.

هذا يجعل الرسم البياني الكامل يبدو

نظرية الوظيفة: رسم بياني لوظيفة_4

أصبح من الواضح الآن أن الوظيفة هي بالفعل واحد لواحد.

الخلاصة

حتى الآن ناقشنا أساسيات نظرية الوظيفة. يجب أن نكون واضحين الآن بشأن تعريفات وأنواع الوظائف. كان لدينا أيضًا فكرة صغيرة عن التفسير الرسومي للوظائف. ستغطي المقالة التالية الكثير من التفاصيل حول مفاهيم مثل النطاق والمجال والوظائف العكسية والوظائف المختلفة والرسوم البيانية الخاصة بهم والكثير من المشكلات التي تم حلها. للتعمق في الدراسة ، نشجعك على القراءة

حساب التفاضل والتكامل بواسطة مايكل سبيفاك.

الجبر مايكل أرتين.

لمزيد من مقالات الرياضيات ، من فضلك اضغط هنا.

آخر المقالات