كيف تجد السرعة مع التسارع والمسافة: مناهج مختلفة ، مشاكل ، أمثلة


في النظرية الحركية ، المسافة ، السرعة ، التسارع ، الإزاحة ، والوقت هي المفاهيم الأساسية لاشتقاق معادلة الحركة في الفضاء ثنائي الأبعاد.

بشكل عام ، تعطي المسافة التي يقطعها الجسم لكل وحدة زمنية سرعة. إذا تغيرت السرعة بمرور الوقت أثناء الحركة ، فإن الجسم يمتلك مصطلح التسارع. في هذا المنشور ، كيف السرعة ، تسارعو مسافة ذات الصلة تمت مناقشتها بالتفصيل ، ونتعرف على كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة.

كيف نحسب السرعة مع التسارع والمسافة؟

افترض أن الجسم بدأ في التحرك بسرعة ابتدائية صفر. يتحرك الجسم بعجلة "أ" ويقطع مسافة "د" أمتار ؛ بعد ذلك ، نحتاج إلى إيجاد سرعة حيث يتحرك الجسم. يطرح الآن سؤال حول كيفية إيجاد السرعة مع العجلة والمسافة؟

تعطي السرعة مدى السرعة التي يمكن أن يتحرك بها الجسم مسافة خلال فترة زمنية معينة.

يتم إعطاء التعبير بواسطة

ت = س / ر

ولكن من اعتبار المعادلة

ت = أ * ر

ر = ت / أ

نحصل على استبدال قيمة t وإعادة الترتيب

ت = س / (ت / أ)

v2 = أ * س

ت = √ax

المعادلة التي تم الحصول عليها أعلاه قابلة للتطبيق إذا بدأ الجسم في التحرك السرعة صفر ثم يتسارع. يتحرك الجسم بعجلة ثابتة للوصول إلى مسافة د.

باستخدام التعبير العام ، يمكننا إيجاد سرعة الجسم باستخدام التسارع والمسافة مع الوقت أو بدونه.

كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة
صورة توضح كيفية السرعة مع التسارع والمسافة

كيف نحسب السرعة من التسارع والمسافة بدون وقت؟

تقاس سرعة الجسم دائمًا بـ الوقت التي يتخذها الجسم لقطع مسافة معينة. إذا لم يتم تحديد الوقت بحلول ذلك الوقت ، فكيف نحسب السرعة مع التسارع والمسافة؟

نتبع طريقتين لإيجاد السرعة بعجلة ومسافة معطاة. بشكل عام ، نعتبر الوقت في المعادلة الأولى ؛ بحذف عامل الوقت ، نحصل على معادلة السرعة بدون الوقت .

بالطريقة الجبرية:

لحساب السرعة بدون وقت ، دعونا نفكر في معادلة السرعة مع التسارع والوقت ،

ت = أ * ر

تعطي نسبة المسافة المقطوعة والوقت سرعة الجسم. تعطى بالمعادلة ،

ت = س / ر

حيث x هي المسافة المقطوعة و t هي الوقت المستغرق لقطع المسافة d ،

س / ر = في

استبدال قيمة v في المعادلة الأولى ؛ نحن نحصل،

س = في2

من النظرية الحركية ، إذا كانت سرعة الجسم تتغير بمرور الوقت ، فإننا نأخذ متوسط ​​السرعة ، لذلك ؛

س = في2/2

لكن يمكننا أن نقول أن ، t = v / a ، بالتعويض في المعادلة أعلاه ،

حل وإعادة ترتيب الشروط التي نحصل عليها ،

س = ت2/ 2 أ

v2 = 2ax

ت = √2ax

الأجوبة المعادلة أعلاه كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة.

بطريقة حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ:

يمكن كتابة التسارع كـ ،

أ = dv / dt

السرعة ليست سوى المشتق الزمني للمسافة التي يقطعها الجسم ؛ أعطيت من قبل ،

dt = dx / v

بالتعويض عن قيمة dt في معادلة التسارع ، نحصل على

أ = vdv / dx

a dx = v dv نظرًا لأننا اعتبرنا أن الجسم الأولي يمتلك السرعة صفر، نقوم بدمج المعادلة أعلاه مع الحد صفر إلى أقصى قيمة للسرعة والمسافة.

الفأس = الخامس2/2

v2 = 2 فأس

ت = √2ax

كيفية إيجاد السرعة من الرسم البياني للعجلة والمسافة؟

يعطي مخطط التسارع مقابل المسافة المعادلة الحركة في فترة زمنية محددة.

المنطقة الواقعة تحت التسارع - المسافة يعطي الرسم البياني مربع سرعة الجسم المتحرك. من تعريف التسارع ، فهو مشتق المسافة من الدرجة الثانية ، بحيث تكون السرعة ضعف المساحة.

رسم بياني يوضح كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة

على سبيل المثال ، الرسم البياني للإزاحة العجلة لجسم يتحرك بعجلة ثابتة ، بعد فترة زمنية معينة ، يتباطأ الجسم ويقطع مسافة معينة أدناه ، ويمكن حساب سرعة الجسم باستخدام الرسم البياني.

كيفية إيجاد السرعة مع الرسم البياني للعجلة والمسافة

المنطقة التي يغطيها الرسم البياني للإعلان عبارة عن مثلث ؛ لذلك ، مساحة المثلث معطاة من قبل

أ = 1/2 هب

أ = 1/2 5 * 7

أ = 17. 5 وحدات

يمكن كتابة السرعة كـ

أ = √2 * منطقة

أ = √35

لأن 2A = 35 وحدة.

الخامس = 5.91 م / ث.

كيف نحسب السرعة الابتدائية من التسارع والمسافة؟

السرعة الأولية هي السرعة التي يبدأ بها الجسم حركته.

من أجل حساب السرعة الابتدائية ، علينا النظر في المعادلة الأساسية للسرعة ؛ أعطيت من قبل ؛

ت = س / ر

لذلك يتم إعطاء المسافة على النحو التالي ؛ س = ت * ت

هنا ، السرعة ليست ثابتة. ومن ثم يمكننا أن نأخذ متوسط ​​قيمة السرعة على النحو التالي

ت = تi+vf/2

إذن ستكون المعادلة

س = تi+vf/ 2 ت

لكن معادلة الحركة vf = الخامسi + at ، استبدال قيمة vf، نحن نحصل

س = تi+ (vi+ في) / 2 ت

س = 2 فولتi+ في / 2 طن

س = 2 فولتi+at/2

2 س = 2 فولتit + at2

عند إعادة ترتيب المعادلة أعلاه ،

vi = x / t - 1/2at

تعطي المعادلة أعلاه السرعة الابتدائية مع التسارع والمسافة.

كيف نحسب السرعة النهائية من التسارع والمسافة؟

السرعة النهائية هي السرعة التي حققها الجسم قبل توقف الحركة بسبب أي عائق.

عندما يبدأ الجسم المتحرك في التسارع ، فهذا يعني أن السرعة قد تغيرت. يتم الحصول على هذا التغيير في السرعة من خلال السرعة الابتدائية والنهائية للجسم. لنفترض أننا قدمنا ​​السرعة الابتدائية فقط ، فإن الإجابة أدناه هي كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة عند النقطة النهائية للحركة.

لاشتقاق المعادلة ل السرعة النهائيةدعونا نفكر في حركة السيارة. تتحرك السيارة بسرعة ابتدائية vi ، وبعد مرور بعض الوقت t ، تبدأ السيارة في التسارع. تبلغ السيارة التسارع "أ" وتغطي المسافة x.

يمكن عمل الاشتقاق بثلاث طرق

دعونا ندرس الطرق الثلاثة المذكورة أعلاه بالتفصيل.

بالطريقة الجبرية:

يتم إعطاء المسافة التي يقطعها الجسم

س = تi+vf/ 2 ت

السرعة ليست ثابتة. يتغير مع الفترة الزمنية ، لذلك اختر أن تأخذ متوسط ​​السرعات.

من المعادلة الحركية للحركة ، لدينا

vf = vi + at

دعونا نعيد ترتيب المعادلة أعلاه للحصول على الوقت كما

ر = تf-vi/ 2 أ

استبدال القيمة في المعادلة الأولى ،

س = تf-vi/ 2 قf+vi/a

المعادلة أعلاه تشبه (أ + ب) (أب) = أ2-b2، ثم سيكون الحل المطلوب

س = تf-vi/ 2 أ

vf2- الخامسi2 = 2ax

vf2= الخامسi2 - 2 ماكس

المعادلة التي تم الحصول عليها أعلاه هي المعادلة المطلوبة للسرعة النهائية. يمكننا تبسيطه عن طريق أخذ الجذر التربيعي في كلا الطرفين ؛ نحن نحصل

vf2= √ (vi2-2ax)

عن طريق طريقة حساب التفاضل والتكامل:

نعلم أن العجلة ناتجة عن مشتق السرعة من الدرجة الأولى بالنسبة إلى الزمن t.

أ = dv / dt

والسرعة

v = dx / dt

عبر ضرب المعادلتين ثم التكامل باختيار النهاية x = 0 إلى x = x و v = vi إلى v = vf نحن نحصل؛

vf2- الخامسi2 = 2ax

إعادة ترتيب الشروط ؛

vf2= الخامسi2 - 2 ماكس

بطريقة رسومية:

مؤامرة السرعة مقابل. الوقت يمكن أن يساعد في إيجاد السرعة النهائية للجسم.

بشكل عام ، يمكن إيجاد المسافة التي يقطعها الجسم لإيجاد المساحة التي يقطعها الجسم. باستخدام هذه البيانات المتاحة ، يمكننا حساب المسافة المقطوعة بحيث يمكن حساب معادلة السرعة النهائية.

من الرسم البياني أعلاه ، تعطي مساحة شبه المنحرف OABD المسافة التي يقطعها الجسم ،

س = OA + BD / 2 * OD

OA هي السرعة الابتدائية vi ، و BD هي السرعة النهائية vf ، و OD هو الوقت ، لذلك يمكن تعديل المعادلة على النحو التالي ،

س = تf+vi/ 2 * ر

لكننا نعلم أن] t = vf-vi/a

س = تi+vf/ 2 * الخامسf-vi/a

س = تf2-vi2/ 2 أ

vf2- الخامسi2 = 2ax

vf2= الخامسi2 - 2 ماكس

يتم الحصول على المعادلة المطلوبة للسرعة النهائية بالطريقة الرسومية.

يمكن إعادة ترتيب معادلة السرعة النهائية من التسارع والمسافة لحساب السرعة الابتدائية للجسم ؛ هو مبين أدناه:

vi2= الخامسf2 - 2 ماكس

كيف نحسب السرعة المتوسطة مع التسارع والمسافة؟

إذا استمرت السرعة في التغير ، فسنحتاج إلى إيجاد السرعة المتوسطة لوصف الحركة.

لإنشاء معادلة السرعة المتوسطة ، يجب أن نعرف السرعة الابتدائية والنهائية. لكن يمكننا إيجاد السرعة المتوسطة حتى لو كانت السرعة الابتدائية والنهائية غير معروفة بمعرفة التسارع والمسافة. دعنا نعرف كيفية إيجاد السرعة المتوسطة.

لنفترض أن السيارة تتحرك بسرعة ابتدائية vi وعندما يبدأ في التسارع بعد قطع مسافة xi ويقطع مسافة سf التي يكون عندها السرعة النهائية vf.

المسافة التي يقطعها الجسم من xi إلى xf، أي على مسافة xi، فإن سرعة الجسم هي vi، وعند النقطة سf، فإن سرعة الجسم هي vf، من ثم.

يتم إعطاء تعبير عام عن متوسط ​​السرعة على النحو التالي ،

va=vi+vf/2

معادلة الحركة للسرعة النهائية هي vf = الخامسi+ في

بالتعويض في المعادلة العامة ، لدينا

va=vi+vi+ في / 2

va= 2 فولتi+ في / 2

va=vi+1/2 في

من خلال النظر في تعبير السرعة الابتدائي ، نحصل على

vi = x / t-1/2 في

va= x / t-1 / 2at + 1/2 at

 لكن t = √2x / a

بوضع التعبير أعلاه ، نحصل عليه

va= س / √2x / أ

تربيع على كلا الجانبين ، نحصل

va2=x2/ 2 س / أ

va2= الفأس2/ 2x

va2= الفأس / 2

va= √ax / 2

تعطي المعادلة أعلاه السرعة المتوسطة للجسم المتحرك.

حل مسائل حول كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة

يتم إعطاء كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة ، إذا كانت السيارة تتحرك بسرعة ثابتة 12 م / ث2 ويغطي مسافة 87 مترًا ، وبالتالي أوجد الوقت الذي تستغرقه المركبة لقطع نفس المسافة.

حل:

معطى البيانات - المسافة التي تقطعها المركبة س = 87 م.

تسارع السيارة أ = 12 م / ث2.

لمعرفة سرعة السيارة ،

ت = √ax

الخامس = -12 * 87

ت = -1044

الخامس = 32.31 م / ث.

من العلاقة بين السرعة والتسارع والمسافة والوقت ، لدينا معادلة السرعة.

ت = س / ر

ر = س / الخامس

ر = 87 / 32.31

ر = 2.69 ثانية.

في السباق ، يركب المتسابق الدراجة بسرعة ابتدائية 9 م / ث. بعد الزمن t ، تتغير السرعة ، والعجلة 3 م / ث2. يغطي المتسابق مسافة 10 أمتار. احسب السرعة النهائية للدراجة للوصول إلى المسافة المحددة ومن ثم أوجد متوسط ​​سرعة الدراجة.

حل:

يتم إعطاء معادلة إيجاد السرعة النهائية للدراجة بواسطة ؛

vf2= الخامسi2 - 2 ماكس

vf2= (9) 2 - 2 (3 * 10)

vf2= 81 - 60

vf2= 21

vf = 4.58 م / ث.

يعطى متوسط ​​السرعة بواسطة

va=vi+vf/2

va= 9 + 4.58 / 2

va= 13.58 / 2

الخامس = 6.79 م / ث.

يجري الرياضي بسرعة ابتدائية 10 م / ث. إنه يغطي 10 م مع تسارع ثابت 4 م / ث2. أوجد السرعة الابتدائية.

حل:

البيانات المعطاة للحساب - السرعة الابتدائية vi = 10 م / ث.

التسارع أ = 4 م / ث2.

المسافة x = 10 م

vf2= الخامسi2 - 2 ماكس

vf2= (10،XNUMX)2 - 2 (4 * 10)

vf2= 100 - 80

vf2= 100 - 80

vf2= 20

vf = 4.47 م / ث.

احسب السرعة المتوسطة للجسيم المتحرك بعجلة ١٢ م / ث2 والمسافة التي يقطعها الجسيم 26 مترًا.

حل:

يوفر الصيغة تعطي السرعة المتوسطة لتسارع ومسافة معينة.

va= √ax / 2

البيانات معطاة - تسارع الجسيم أ = 12 م / ث2.

المسافة التي يقطعها الجسيم س = 26 م.

استبدال القيم المعطاة في المعادلة

√12 * 26/2

va= √156

va = 12.48 م / ث.

سيارة تقطع مسافة ٥٦ مترًا في ٤ ثوانٍ. تسارع السيارة مع الوقت المحدد هو 56 م / ث2. احسب السرعة الابتدائية للسيارة.

حل:

معطى - المسافة التي قطعتها السيارة س = 56 م.

تستغرق السيارة وقتًا لقطع المسافة xt = 4 s.

التسارع الذي حققته السيارة a = 2 m / s2.

السرعة الابتدائية للسيارة معطاة بالصيغة

vi = x / t-1/2 في

استبدال القيم المعطاة في المعادلة أعلاه ،

vi = 56/4-1/2*2*4

vi = 14 - 4

vi = 10 م / ث.

رسم بياني للعجلة والمسافة ، ثم يوضح الرسم كيفية إيجاد السرعة مع التسارع والمسافة.

المسافة المقطوعة مع التسارع المعطى في الرسم البياني تشكل شبه منحرف ، مساحة شبه المنحرف تعطى بواسطة

أ = أ + ب / 2 * ح

حيث a و b هما الضلع المجاور من شبه المنحرف و h هو الارتفاع.

من الرسم البياني أعلاه

أ = 4.5 وحدة

ب = 9 وحدات

ح = 4 وحدات

الاستعاضة في المعادلة المعطاة ،

أ = (4.5 + 9/2) 4

أ = 27 وحدة.

السرعة معطاة

ت = √2 * منطقة

الخامس = -2 * 27

ت = -56

الخامس = 7.34 م / ث.

كيرثي مورثي

أنا Keerthi K Murthy ، لقد أكملت التخرج في الفيزياء ، مع التخصص في مجال فيزياء الجوامد. لطالما اعتبرت الفيزياء كموضوع أساسي مرتبط بحياتنا اليومية. كوني طالب علوم أستمتع باستكشاف أشياء جديدة في الفيزياء. ككاتب ، هدفي هو الوصول إلى القراء بالطريقة المبسطة من خلال مقالاتي. تصلني - keerthikmurthy24@gmail.com

آخر المقالات