كيف تجد التسارع الزاوي الثابت: مشاكل وأمثلة


في هذه المقالة ، سنرى كيفية إيجاد تسارع زاوي ثابت مع أمثلة وحل بعض المشكلات المتعلقة بالتسارع الزاوي الثابت.

إذا كان التسارع العرضي للكائن في حركة دائرية ثابتًا ، فهذا يعني أن التسارع الزاوي للكائن ثابت أيضًا.

السرعة الزاوية للكائن في حركة زاوية

اعتبر جسمًا يتسارع في حركة دائرية بسرعة عرضية vt بسبب الإزاحة الشعاعية 's' في الوقت 't' صنع زاوية ''.

الحركة الزاوية للجسم

ومن ثم ، فإن السرعة العرضية للجسم في حركة زاوية ستكون

[اللاتكس] v_t = \ frac {ds} {dt} \ - (1) [/ اللاتكس]

الإزاحة 's' هي طول قوس الدائرة وتساوي الزاوية المصنوعة بسبب الإزاحة ونصف قطر الدائرة المعطاة بواسطة المعادلة

[اللاتكس] s = r \ Theta \ - (2) [/ latex]

استبدال هذا في eqn (1) ، لدينا

[اللاتكس] v_t = \ frac {d} {dt} (r \ Theta) [/ اللاتكس]

[اللاتكس] v_t = r \ frac {d \ Theta} {dt} [/ اللاتكس]

التغيير في الزاوية بالنسبة للوقت يعطي السرعة الزاوية بسبب الحركة الدورانية للجسم. يتم تمثيل السرعة الزاوية كـ

[اللاتكس] \ omega = \ frac {d \ Theta} {dt} [/ اللاتكس]

ومن ثم ، تصبح المعادلة السابقة ،

[اللاتكس] v_t = r \ omega \ - (3) [/ latex]

السرعة العرضية مرتبطة مباشرة بالسرعة الزاوية بالعلاقة الموضحة أعلاه.

اقرأ المزيد عن كيف تجد التسارع الزاوي من السرعة الزاوية: مشكلة وأمثلة.

كيف تجد التسارع الزاوي؟

يوفر التسارع الزاوي هو التغير في السرعة الزاوية مع مرور الوقت على النحو التالي

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} = \ frac {\ omega _2- \ omega _1} {t_2-t_1} \ - (4) [/ latex]

حيث [اللاتكس] \ alpha [/ latex] هو التسارع الزاوي للجسم.

[اللاتكس] \ omega _2 [/ اللاتكس] هي السرعة الزاوية النهائية

[اللاتكس] \ omega _1 [/ اللاتكس] هي السرعة الزاوية الأولية

بحساب الفرق بين النهائي والأولي السرعات الزاوية للكائن يمكننا إيجاد العجلة الزاوية للجسم.

قراءة المزيد عن التسارع الزاوي.

العلاقة بين التسارع الزاوي والتسارع المماسي

التسارع المماسي هو التغير في السرعة الشعاعية بالنسبة للوقت ، معطى من خلال العلاقة

[اللاتكس] a_t = \ frac {dv_t} {dt} \ - (5) [/ اللاتكس]

باستخدام المعادلة رقم (3) نحصل عليها

[اللاتكس] a_t = r \ frac {d \ omega} {dt} [/ اللاتكس]

من eqn (4) ، لدينا

[اللاتكس] a_t = r \ alpha \ - (6) [/ latex]

سيكون التسارع الزاوي للجسم ثابتًا إذا كان التسارع العرضي للجسم ثابتًا.

توضح المعادلة (6) العلاقة بين التسارع المماسي والزاوي تسارع الكائن ومستقل عن الوقت.

قراءة المزيد عن كيف تجد التسارع المماسي: المشاكل والأمثلة.

المشكلة الأولى: النظر في بكرة قطرها 1 سم. التسارع الخطي للبكرة هو 15m / s2، ثم أوجد العجلة الزاوية للبكرة.

معطى: ص = 15 سم = 0.15 م

التسارع الخطي للبكرة أt= 2 م / ث2

باستخدام eqn (6) ،

[اللاتكس] a_t = r \ alpha [/ latex]

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {a_t} {r} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {2} {0.15} = 13.33 \ rad / s ^ 2 [/ latex]

ومن ثم ، فإن التسارع الزاوي للبكرة هو 13.33 راديان / ث2.

كيف تجد التسارع الزاوي الثابت؟

للحصول على يجب أن يكون التسارع الزاوي ثابتًا السرعة الزاوية يجب أن يتزايد أو يتناقص مع المعدل الثابت.

عن طريق قياس السرعة الزاوية التي اختلفت مع تغير اتجاه التسارع للكائن في مسار دائري ، يمكننا حساب التسارع الزاوي للجسم.

من eqn (4) ، يمكننا القول ،

إذا كان [latex] \ omega _2> \ omega _1 [/ latex] ، فإن لدينا تسارعًا زاويًا موجبًا. هذا يعني أن سرعة الجسم في الحركة الزاوية تتزايد باستمرار.

إذا كانت [latex] \ omega _2 <\ omega _1 [/ latex] ، فإن لدينا تسارعًا زاويًا سالبًا مما يعني أن الجسم يتباطأ وأن السرعة الزاوية للجسم تتناقص بمرور الوقت.

إذا كان [latex] \ omega _2 = \ omega _1 [/ latex] ، فلا يوجد تسارع للكائن في الحركة الزاوية. هذا الشرط غير ممكن لأن اتجاه حركة الجسم يتغير باستمرار مع تغير اتجاه السرعة الشعاعية بالنسبة للسرعة الزاوية.

إذا كان معدل التغيير تظل السرعة الزاوية للجسم غير متغيرة ، ثم يجب أن يكون التسارع الزاوي للجسم ثابتًا.

قراءة المزيد عن 17+ مثال على السرعة الثابتة: شرح مفصل وحقائق.

المشكلة 2: ضع في اعتبارك عجلة نصف قطرها 30 سم تدور بسرعة زاوية 2 راديان / ثانية والتي تزيد إلى 5 راديان / ثانية في 20 ثانية. ثم احسب التسارع الزاوي للعجلة.

معطى: [اللاتكس] \ omega _1 [/ اللاتكس] = 2 راديان / ثانية

[اللاتكس] \ omega _1 [/ اللاتكس] = 5 راديان / ثانية

[اللاتكس] \ Delta t = 20 ثانية [/ لاتكس]

بالتالي،

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {\ omega _2- \ omega _1} {t_2-t_1} [/ latex]

[latex]\alpha =\frac{5-2}{20}=\frac{3}{20}=0.15\ rad/s^2[/latex]

التسارع الزاوي للجسم هو 0.15 راديان / ثانية2.

المشكلة 3: ضع في اعتبارك أن قمة الغزل تتباطأ بمعدل 2rad / s2 في كل ثانيتين ، كانت السرعة الزاوية النهائية للجسم 2 راديان / ثانية ، ثم أوجد السرعة الزاوية الابتدائية لقمة الدوران.

معطى:[اللاتكس] \ alpha [/ latex] = 2rad / s2

[اللاتكس] \ omega _2 [/ اللاتكس] = 0.5 راديان / ثانية

[اللاتكس] \ Delta t = 2 ثانية [/ لاتكس]

نظرًا لأن الكائن يتباطأ ، فإن التسارع الزاوي سلبي.

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {\ omega _2- \ omega _1} {t_2-t_1} [/ latex]

[اللاتكس] -2 = \ frac {0.5- \ omega _1} {2} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] -4 = {0.5- \ omega _1} [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ omega _1 = 0.5 + 4 = 4.5rad / s [/ latex]

ومن ثم ، كانت السرعة الابتدائية لقمة الغزل 4.5 راديان / ث.

التسارع الزاوي للجسم في حركة الجاذبية المركزية

لنفترض أن جسمًا كتلته "م" يتحرك في مسار دائري نصف قطره "ص". تعمل قوة الجاذبية المسؤولة عن إبقاء الجسم في حركة دائرية نحو الداخل باتجاه مركز الدائرة.

[اللاتكس] F = F_c [/ اللاتكس]

[اللاتكس] ma = \ frac {mv ^ 2} {r} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] a = \ frac {v ^ 2} {r} [/ اللاتكس]

منذ ، [اللاتكس] v = r \ omega [/ latex]

نحن نحصل،

[اللاتكس] أ = r {\ omega} ^ 2 \ - (7) [/ اللاتكس]

هذا يعني أن التسارع الزاوي للجسم في حركة الجاذبية يتناسب طرديًا مع مربع السرعة الزاوية للجسم وسيكون ثابتًا إذا كان [اللاتكس] \ أوميغا [/ اللاتكس] ثابتًا أثناء العملية.

الرسم البياني للتسارع الزاوي الثابت

لكي يكون التسارع الزاوي ثابتًا ، يجب أن يكون معدل تغير السرعة الزاوية ثابتًا.

كيفية إيجاد تسارع زاوي ثابت
السرعة الزاوية مقابل الرسم البياني الزمني

يوضح الرسم البياني أعلاه أن السرعة الزاوية للكائن تزداد خطيًا بمرور الوقت ، ومن ثم يكون ميل الرسم البياني موجبًا وهو ما يساوي التسارع الزاوي.

إذا زادت السرعة الزاوية للجسم بمعدل ثابت بمرور الوقت ، فسيظل التسارع الزاوي للجسم ثابتًا طوال الفترات الزمنية.

قراءة المزيد عن كيف تجد التسارع في الرسم البياني الزمني للسرعة: المشاكل والأمثلة.

الأسئلة المتكررة

س 1. سيارة تقطع مسافة 100 متر في 30 ثانية. نصف قطر إطارات السيارة 20 سم ، ثم احسب زاوية الإطارات.

معطى: ص = 20 سم = 0.2 م ، د = 100 م ، ر = 30 ثانية

محيط الإطار = 2πr

[اللاتكس] = 2 \ مرات 3.14 \ مرات 0.2 = 1.256 م [/ لاتكس]

عدد دوران الإطار عند السفر 100 متر هو [اللاتكس] = \ frac {100} {1.256} = 79.68 \ rad [/ latex]

وبالتالي ، فإن السرعة الزاوية من الاطارات

[اللاتكس] \ omega = \ frac {No. \ of \ rotations} {Time} = \ frac {79.68 \ rad} {30sec} = 2.656 \ rad / s [/ latex]

السرعة الزاوية للإطارات 2.6 راديان / ثانية.

س 2. احسب التسارع الزاوي للجسم في الوقت t = 15 sec ، إذا كانت السرعة الزاوية للجسم تختلف من 0.5rad / s إلى 4 rad / s؟

معطى: السرعة الزاوية الأولية [اللاتكس] \ omega_i = 0.5 \ راد / ث [/ لاتكس]

السرعة الزاوية النهائية [اللاتكس] \ omega_f = 4 \ راد / ث [/ لاتكس]

الوقت ر = 15 ثانية

نملك،

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {d \ omega} {dt} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ alpha dt = {d \ omega} [/ اللاتكس]

دمج المعادلة أعلاه ،

[اللاتكس] \ int_ {0} ^ {t} \ alpha dt = \ int _ {\ omega _0} ^ {\ omega _f} {d \ omega} [/ latex]

[اللاتكس] \ alpha t = \ omega_f - \ omega _0 [/ latex]

[اللاتكس] \ omega _f = \ omega _i + \ alpha t [/ اللاتكس]

[اللاتكس] 4 = 0.5 + \ alpha \ times 15 [/ latex]

[اللاتكس] \ alpha \ times 15 = 3.5 [/ latex]

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {3.5} {15} = 0.23 \ rad / s ^ 2 [/ latex]

وبالتالي ، فإن التسارع الزاوي من الكائن 0.23 راد / ثانية 2.

أكشيتا ماباري

مرحبًا ، أنا أكشيتا ماباري. لقد حصلت على ماجستير. في الفيزياء. لقد عملت في مشاريع مثل النمذجة العددية للرياح والأمواج أثناء الإعصار ، وفيزياء اللعب وآلات التشويق الآلية في مدينة الملاهي على أساس الميكانيكا الكلاسيكية. لقد تابعت دورة تدريبية حول Arduino وأنجزت بعض المشاريع الصغيرة على Arduino UNO. أحب دائمًا استكشاف مناطق جديدة في مجال العلوم. أنا شخصياً أعتقد أن التعلم يكون أكثر حماساً عندما يتعلم بالإبداع. بصرف النظر عن هذا ، أحب القراءة ، والسفر ، والعزف على الجيتار ، وتحديد الصخور والطبقات ، والتصوير ، ولعب الشطرنج. اتصل بي على LinkedIn - LinkedIn.com/in/akshita-mapari-b38a68122

آخر المقالات