كيف تجد التسارع المستمر مع المسافة والوقت: مشاكل وأمثلة


يمكن وصف تسارع الجسيم المتحرك بمشتق المسافة من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالوقت. تقودنا هذه العلاقة بين المسافة والزمن إلى التفكير في كيفية العثور عليها تسارع مستمر مع المسافة والوقت.

يشير التسارع الثابت إلى التغيير المطرد في حركة الجسيم. منذ أن ناقشنا تسارع ثابت على الرسم البياني للموضع والوقت، نعلم أن المسار المكافئ الذي يتتبعه الجسيم مع مرور الوقت يعطي تسارعًا ثابتًا. في هذا المنشور ، سوف نتعلم كيفية إيجاد تسارع ثابت مع المسافة والوقت.

موضع الجسيم حيث يقع قبل أن يبدأ في تتبع المسار وبعد فترة زمنية معينة ، يعطي موضع الجسم نفسه المسافة التي يقطعها الجسيم. هذه المسافة التي يتتبعها الجسيم بمرور الوقت تعطي السرعة. ومن ثم علينا اختيار طريقة دقيقة لإيجاد العجلة الثابتة. إذا أخذنا المسافة الخطية ، نحصل على السرعة الثابتة ؛ وبالتالي ، فإن التسارع سيكون صفراً.

اعتمادات الصورة: صورة بواسطة ميشال جارمولوك تبدأ من Pixabay 

كيف تجد تسارعًا ثابتًا مع المسافة والزمن؟

اشتقاق العجلة الثابتة مع المسافة والوقت ينطوي على المعادلات الحركية. حيث أن المشتق من الدرجة الثانية للمسافة بالنسبة للوقت يعطي تسارع، يجب أن تكون المسافة دالة في شكل تربيعي.

تُنشئ المسافة التي يتتبعها الجسيم معادلة لكل من التسارع الثابت والمتغير في المعادلة الحركية للحركة. ومن ثم ، عند إيجاد العجلة الثابتة ، علينا أن نفترض أن المسافة التي يقطعها الجسيم هي منحنى مكافئ.

لإيجاد التسارع الثابت ، دعونا ننظر في المعادلة الأولى للحركة ،

ت = ت0+ في

حيث v هي السرعة النهائية ، و v0 هي السرعة الابتدائية.

أضف الآن v0 على جانبي المعادلة وقسم كلا المعادلتين على 2 ؛ ومن هنا نحصل

v + v0/ 2 = (v + v0 + في)

v + v0/ 2 = ت0 +1/2 في

من التعبير العام للسرعة ،

ت = ∆x / ∆t

∆x هو التغيير في الموقف ؛ يمكن كتابتها كـ ∆x = xx0

∆t هو التغيير في الوقت t.

التغيير في الموضع يعطي معادلة السرعة المتوسطة ، وبالتالي يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي

va = س- س0/ ر

وهكذا نحصل على معادلة المسافة

س = س0+vat

لكن v + v0 / 2 = va ؛ متوسط ​​السرعة

va =v0 + 1 / 2

استبدال قيمة va في معادلة المسافة ،

س = س0 + v0 + 1/2 في2

التعبير أعلاه في الصورة التربيعية ، يمكننا اشتقاق المعادلة أعلاه فيما يتعلق بـ t as

dv / dt = dvx0/ دت + دي في0/ دت +1/2 أ 2 ت

مرة أخرى التفريق بين المعادلة أعلاه ،

d2س / د2=d2x0/ د2+d2v0/ د2+ ثابت

من المعادلة أعلاه ، للحصول على تسارع ثابت

d2س / د2= ثابت

d2x0/ د2= ثابت

d2v0/ د2=0

كيف يمكن إيجاد تسارع ثابت مع السرعة والمسافة؟

يمكن أن تساعدنا العلاقة بين المسافة التي يقطعها الجسم والسرعة في إيجاد العجلة الثابتة. ال حركة منحنية من الجسم في مستوى ثنائي الأبعاد يعطي تغيرًا ثابتًا في السرعة ، مما يعطي تسارعًا ثابتًا.

من أجل تسارع ثابت ، يجب أن يكون التغيير في السرعة منتظمًا. يمكن أن تعطي المعادلة الحركية التغيير المنتظم في السرعة مع المسافة. تُعطى سرعة الجسم في مسار منحني الخطوط على النحو التالي.

كيفية إيجاد التسارع الثابت مع المسافة والزمن مع السرعة

من أول معادلة حركية للحركة ، يمكننا حل المعادلة المستقلة عن الزمن للسرعة والمسافة.

يتم إعطاء المعادلة بواسطة v = v0+ في

ر = ت - الخامس0/ أ

يمكن التعبير عن متوسط ​​سرعة الجسم الذي تبلغ سرعته الابتدائية v0 وسرعته النهائية v بالمعادلة على النحو التالي

va = v + v0 /2

المسافة معطاة

س = س0+vat

بالتعويض عن قيمة الوقت والسرعة المتوسطة في المعادلة أعلاه ، نحصل عليها

س = x0 + (v + v0 / 2) / (v - v0/ أ)

يمكن إيجاد معادلة المسافة بحل المصطلحات وإعادة ترتيبها. وبالتالي سيتم إعطاء المعادلة المطلوبة على النحو التالي

س = س0 +v2 - الخامس02 / 2 أ

2ax = 2ax0 + v2-v02

v2 = الخامس02 + 2 أ (xx0)

الآن التفريق فيما يتعلق t

dv / dt = dv0 / dt + 2a dx / dt -dx0/ د

بما أن dv / dt ليس سوى التسارع ،

العامل dx / dt -dx0يجب أن يكون / dt دالة غير صفرية.

dv / dt و dv0 يجب أن يكون / dt دالة خطية للوقت للحصول على تسارع ثابت.

فيما يلي طريقة أخرى لإيجاد العجلة الثابتة مع السرعة والمسافة.

من المعادلة الحركية للحركة ، يمكن كتابة تسارع الجسيم كـ

أ = ت - الخامس0/t

من معادلة الموضع والوقت للسرعة ، لدينا

ر = س - س0/t

علينا أن نأخذ في الاعتبار متوسط ​​السرعة حيث أن هناك تغيرًا ثابتًا في سرعة الجسيم مع الوقت اللازم لقطع المسافة x ، ومن ثم يمكن كتابة متوسط ​​السرعة بالصيغة

va = v + v0/ 2

إذن ، الوقت المستغرق لقطع المسافة نحسبه

ر = س س0/ (v + v0/ 2)

نعوض بقيمة t في معادلة التسارع نحصل عليها

أ = v- v0 / [2x-x0/ (v + v0)]

إعادة ترتيب الشروط التي نحصل عليها

أ = ت + ت0/ v- v0(2x-x0)

نحصل على حل المعادلة أعلاه

أ = ت2 - الخامس02/ 2 (س / س0)

هذا يعطي المعادلة ل تسارع ثابت مع السرعة والمسافة.

أمثلة على مسائل كيفية إيجاد تسارع ثابت مع المسافة والوقت.

يمكن بسهولة فهم المفاهيم التي تمت مناقشتها في الأقسام أعلاه عن طريق حل المشكلات الموضحة في هذا القسم.

المشكلة 1) تتحرك السيارة بسرعة معينة ، والتي يتم الحصول عليها من خلال المسافة كدالة للوقت. تحقق مما إذا كانت العجلة ثابتة أم لا ، وأوجد سرعة السيارة عند t = 9 ثوانٍ. يتم إعطاء الوظيفة كـ X (t) = 4t2-7 طن + 12.

حل:

المسافة التي يقطعها الجسم معطاة بدالة الوقت

X (ر) = 4 طن2-7 طن + 12

نفرق مع احترام الوقت ، نحصل عليه

dx / dt = 4 (2t) -7 + 0

ونحصل على التفريق مرة أخرى فيما يتعلق بـ t

d2س / د2= 8-0

نظرًا لأن مشتق المسافة مع الوقت من الدرجة الثانية هو التسارع ، والقيمة التي تم الحصول عليها هي رقم ثابت ، فإن التسارع ثابت على المسار الذي تتبعه السيارة. وتسارعه 8 م / ث2.

لإيجاد السرعة ، نعرف ذلك

dx / dt = v

الخامس = 8 طن -7

عند الزمن t = 9 ثوانٍ ، تُعطى سرعة السيارة بمقدار

الخامس = 8 (9) -7

الخامس = 65 م / ث.

المشكلة 2) تتحرك الكرة في البداية بسرعة 4 م / ث عند قياسها على موضع 6 أمتار من نقطة البداية. نفس الشيء يتحرك الآن بسرعة 7 م / ث ، وموقعه 15 مترًا. كيفية إيجاد العجلة الثابتة مع المسافة والزمن مع سرعة الكرة.

حل:

البيانات المقدمة للحساب - السرعة الابتدائية للكرة v0 = 4 م / ث.

السرعة النهائية للكرة v = 7m / s.

موضع الكرة عند قياس سرعتها الابتدائية x0 = 6 م.

موضع الكرة عند قياس سرعتها النهائية x = 15m.

يتم إعطاء التسارع المستمر للكرة بواسطة

أ = ت2 - الخامس02/ 2 (xx0)

أ = 33/18

أ = 1.83 م / ث2.

المشكلة 3) متسابق يقود السيارة بسرعة ابتدائية 33 م / ث ويقطع مسافة 99 متراً خلال 22 ثانية. احسب العجلة الثابتة للسيارة.

حل:

البيانات المطلوبة لحساب السرعة الأولية للسيارة v0 = 33 م / ث.

المسافة المقطوعة بالسيارة x = 99 م.

الوقت الذي تستغرقه السيارة لقطع المسافة المحددة t = 22s.

المعادلة الحركية للبيانات المعطاة هي

س = س0 + v0 + 1/2 في2

في هذه المشكلة ، لم يتم تزويدنا بالموضع الأولي للسيارة ، وبالتالي نفترض أن الموضع الأولي للسيارة هو صفر. ومن ثم يمكن تعديل المعادلة كـ

س = ت0 + 1/2 في2

استبدال القيم المعطاة ، نحصل عليها

99=33+1/2 a(222)

99-33 = 242 (أ)

أ = 0.27 م / ث2.

المسألة 4) السرعة المقاسة لجسيم ما هي 7 م / ث عند موضع 12 مترًا. تُقاس سرعة الجسيم نفسه على مسافة 39 مترًا بـ 11 مترًا / ثانية. أوجد العجلة.

حل:

سرعة الجسيم v1 = 7 م / ث.

سرعة نفس الجسيم v2 = 11 م / ث.

موضع الجسيم في السرعة v1 هو x1 = 12 م.

موضع الجسيم في السرعة v2 هو x2 = 39 م.

يتم إعطاء تسارع الجسيم بواسطة

أ = ت2 - الخامس0/ (2 (xx0))

و= 112-72/ 2 (39-12)

أ = 1.333 م / ث2.

المشكلة 5) كيفية إيجاد تسارع ثابت مع المسافة والوقت ، إذا كانت الدالة المعطاة على شكل x (t) = 8t2+ 12t + 4 ، ومن ثم أوجد المسافة الأولية t = 0 والمسافة النهائية عند t = 4 ثوانٍ ، ومن ثم أوجد السرعة.

حل:

المعادلة المعطاة هي دالة تعتمد على الوقت ، لإيجاد اشتقاق تسارع ثابت بالنسبة إلى الزمن t

dx / dt = 8 (2t) + 12 + 0

dx / dt = 16 طن + 12

عند التفريق مرة أخرى فيما يتعلق ب

d2س / د2 = 16 + 0 = 16

من المعادلة أعلاه ، العجلة ثابتة والعجلة 16 م / ث2.

المسافة عند t = 0 هي x (t) = 8t2+ 12 طن + 4

X(0)=8(0)+12(0)+4

س (0) = 4

الموضع الأولي 4 أمتار.

المسافة t = 4 هي

X(4)= 8(4)+12(4)+4

س (4) = 84

السرعة معطاة

الخامس = س - س0/ ر- ر0

الخامس = 84-4 / 4-0

الخامس = 20 م / ث.

المشكلة 6) أوجد العجلة الثابتة للدالة x (t) = 3t3+ 9 طن2+ 3 طن + 6.

حل:

يتم إعطاء الوظيفة كـ

س (ر) = 3 أ3+ 9 طن2+ 3 طن + 6

التفريق بين wrt إلى t

dx / dt = 8 (3t2) +9 (2 طن) + 3 + 0

dx / dt t = 24t2+ 18 طن + 3

التفريق مرة أخرى

d2س / د2 ر = 48 طن + 18

أ = 48 طن + 18 م / ث2.

التسارع ليس ثابتًا في المعادلة المحددة. المسار الذي تتبعه الوظيفة المعينة ليس منحنيًا ، وهناك تذبذب في السرعة. وبالتالي ، فإن التسارع متغير في الوظيفة المحددة.

كيرثي مورثي

أنا Keerthi K Murthy ، لقد أكملت التخرج في الفيزياء ، مع التخصص في مجال فيزياء الجوامد. لطالما اعتبرت الفيزياء كموضوع أساسي مرتبط بحياتنا اليومية. كوني طالب علوم أستمتع باستكشاف أشياء جديدة في الفيزياء. ككاتب ، هدفي هو الوصول إلى القراء بالطريقة المبسطة من خلال مقالاتي. تصلني - keerthikmurthy24@gmail.com

آخر المقالات

رابط إلى هل بجانب اقتران؟ 5 حقائق (متى ولماذا وأمثلة)

هل بجانب اقتران؟ 5 حقائق (متى ولماذا وأمثلة)

تلعب "أدوات الاقتران" و "الظروف المترابطة" نفس الدور من خلال ربط العبارات أو الجمل أو الجمل. دعونا نتحقق من الدور الذي يلعبه "إلى جانب" أثناء ربط الجمل. كلمة "بجانب" هي ...