متعدد الحدود هيرمايت: 9 حقائق سريعة كاملة


وصف المنتج

  كثير الحدود هيرمايت يحدث على نطاق واسع في التطبيقات كوظيفة متعامدة. كثير الحدود هيرمايت هو الحل المتسلسل لمعادلة هيرمايت التفاضلية.

معادلة هيرمايت

    المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية مع معاملات محددة مثل

d2ص / DX2 - 2x dy / dx + 2xy = 0

[اللاتكس] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} - 2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0 [/ latex]

تُعرف بمعادلة هيرمايت ، من خلال حل هذه المعادلة التفاضلية ، سنحصل على كثير الحدود وهو متعدد الحدود هيرمايت.

دعونا نجد حل المعادلة

d2ص / DX2 - 2x dy / dx + 2ny = 0

[اللاتكس] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} - 2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0 [/ latex]

بمساعدة الحل المتسلسل للمعادلة التفاضلية

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
y = a_ {0} x ^ {m} + a_ {1} x ^ {m + 1} + a_ {2} x ^ {m + 2} + a_ {3} x ^ {m + 3} + \ ldots \ ldots. + a_ {k} x ^ {m + k} \\
y = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {m + k} \\
\ frac {dy} {dx} = \ sum a_ {k} (m + k) x ^ {m + k-1} \\
\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + ك -2}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

نستبدل الآن كل هذه القيم في معادلة Hermite التي لدينا

[اللاتكس] $ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + k-2} -2 x \ sum a_ {k} (m + k) x ^ {m + k-1} +2 n \ sum a_ {k} x ^ {m + k} = 0 $
$ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + k-2} -2 \ sum a_ {k} (m + k) x ^ {m + ك} +2 n \ sum a_ {k} x ^ {m + k} = 0 $
$ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + k-2} -2 \ sum a_ {k} [(m + k) -n] x ^ {m + k} = 0 $ [/ لاتكس]

تفي هذه المعادلة بقيمة k = 0 وكما افترضنا أن قيمة k لن تكون سالبة ، الآن بالنسبة لمصطلح الدرجة الأدنى xم-2 خذ k = 0 في المعادلة الأولى حيث أن الثانية تعطي قيمة سالبة ، وبالتالي فإن المعامل xم-2 is

a0م (م -1) = 0 ⇒ م = 0 ، م = 1

ك0 N 0

[اللاتكس] أ_ {0} م (م -1) = 0 \ Rightarrow م = 0 ، م = 1 [/ اللاتكس]

[اللاتكس] كـ \ quad a_ {0} \ neq 0 [/ latex]

الآن بنفس الطريقة معادلة معامل xم-1 من المحصلة الثانية

[لاتكس] أ_ {1} م (م + 1) = 0 \ Rightarrow \ يسار [\ تبدأ {مجموعة} {l}
{a _ {1} \ text {قد تكون أو لا تكون صفرًا عندما} m = 0} \\
{a _ {1} = 0 ، \ text {when} m = 1}
\ نهاية {مجموعة} \ كواد \ يسار (\ تبدأ {مجموعة} {l}
m + 1 \ neq 0 \ text {as} \ mathrm {m} \ text {is} \\
\ نص {يساوي الصفر بالفعل}
\ end {array} \ right) \ right. [/ latex]

ومعادلة معاملات xم + ك إلى الصفر،

aك +2(م + ك + 2) (م + ك + 1) -2 أk(م + كن) = 0

[latex]a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0[/latex]

يمكننا كتابتها كـ

aك +2 = 2 (م + كن) / (م + ك + 2) (م + ك + 1) أk

[اللاتكس] a_ {k + 2} = \ frac {2 (m + kn)} {(m + k + 2) (m + k + 1)} a_ {k} [/ اللاتكس]

إذا م = 0

aك +2 = 2 (كن) / (ك + 2) (ك + 1) أk

[اللاتكس] \ quad a_ {k + 2} = \ frac {2 (kn)} {(k + 2) (k + 1)} a_ {k} \ quad [/ latex]

إذا م = 1

aك +2 = 2 (ك + 1-ن) / (ك + 3) (ك + 2) أk

[latex]a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}[/latex]

بالنسبة لهاتين الحالتين ، نناقش الآن حالات k

عندما $ م = 0 ، أك +2= 2 (كن) / (ك + 2) (ك + 1)} أk$

إذا كان $ k = 0 a2 = -2 ن / 2 أ0= -na0$

$ k = 1 ، أ3= 2 (1-ن) / 6 أ1 = -2 (ن -1) / 3! أ1$

إذا كان $ k = 2 ، أ4 = 2 (2-ن) / 12 أ2 = 2 (2-ن) / 12 (-na0) = 22 ن (ن -2) / 4! أ0$

[اللاتكس] عندما \ quad $ m = 0، a_ {k + 2} = \ frac {2 (kn)} {(k + 2) (k + 1)} a_ {k} $ [/ latex]

[اللاتكس] If \ quad $ k = 0، a_ {2} = \ frac {-2 n} {2} a_ {0} = - n a_ {0} $ [/ latex]

[اللاتكس] If \ quad $ k = 1، a_ {3} = \ frac {2 (1-n)} {6} a_ {1} = - 2 \ frac {(n-1)} {3!} a_ {1} $ [/ لاتكس]

[اللاتكس] If \ quad $ k = 2، a_ {4} = \ frac {2 (2-n)} {12} a_ {2} = 2 \ frac {(2-n)} {12} \ left ( -n a_ {0} \ right) = (2) ^ {2} \ frac {n (n-2)} {4!} a_ {0} $ [/ latex]

[latex]If \quad $k=3, a_{5}=\frac{2(3-n)}{20} a_{3}=\frac{2(3-n)}{20}\left(-\frac{2(n-1)}{3 !} a_{1}\right)=(2)^{2} \frac{(n-1)(n-3)}{5 !} a_{1}$\\
$ a_ {2 r} = \ frac {(- 2) ^ {r} n (n-2) (n-4) \ ldots \ ldots (n-2 r + 2)} {(2 r)!} a_ {0} $ \\
$ a_ {2 r + 1} = \ frac {(- 2) ^ {r} (n-1) (n-3) \ ldots \ ldots (n-2 r + 1)} {(2 r + 1) !} a_ {1} = 0 $ [/ لاتكس]

حتى الآن م = 0 لدينا شرطان عندما أ1= 0 ، ثم أ3=a5=a7=…. = أ2r + 1= 0 وعندما أ1 إذن ليس صفرًا

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {ج}
y = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k} \\
y = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {5} x ^ { 5} + \ ldots \ ldots \ ldots \\
= a_ {0} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x ^ {4} + \ ldots. . + a_ {1} x + a_ {3} x ^ {3} + a_ {5} x ^ {5}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

باتباع هذا وضع قيم0,a1,a2,a3,a4 و5 لدينا

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
= a_ {0} \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} n (n-2)} {4!} x ^ {4} - \ ldots + (- 1) ^ {r} \ frac {2} {(2 r)!} n (n-2) \ ldots (n-2 r + 2) x ^ {2 r} + \ ldots \ right ] \\
+ a_ {1} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} (n-1) (n-3)} {5!} - \ ldots. \ صحيح. \\
\ يسار. + (- 1) ^ {r} \ frac {2 ^ {r}} {(2 r + 1)!} (n-1) (x-3) \ ldots (n-2 r + 1) x ^ {2 r} + \ ldots \ right] \\
= a_ {0} \ left [1+ \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {r} 2 ^ {r}} {(2 r)!} n (n- 2) \ ldots (n-2 r + 2) x ^ {2 r} \ right] \\
\ يسار. + a_ {0} \ يسار [x + \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {r} 2 ^ {r}} {(2 r + 1)} ( n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r + 2) x ^ {2 r + 1} \ right] \ quad \ text {(If} a_ {1} = a_ {0} \ right)
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

و م = 1 أ1= 0 بوضع k = 0,1,2,3،XNUMX،XNUMX،XNUMX ... .. نحصل عليها

aك +2 = 2 (ك + 1-ن) / (ك + 3) (ك + 2) أk

[latex]a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}[/latex]

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
a_ {2} = - \ frac {2 (n-1)} {3!} a_ {0} \\
a_{4}=\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} a_{0} \\
\ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \\
a_ {2 r} = (- 1) ^ {r} \ frac {2 ^ {r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r + 1)} {(2 r + 1) !} أ_ {0}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

لذلك سيكون الحل

[اللاتكس] = a_ {0} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} (n-1) (n- 3)} {5!} x ^ {4} \ cdots + \ frac {(- 1) ^ {r} 2 ^ {r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r + 1) } {(2 r + 1)!} x ^ {2 r} + \ ldots \ right] [/ latex]

لذا فإن الحل الكامل هو

[اللاتكس] y = A \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} n (n-2)} {4!} x ^ {4 } - \ ldots \ right] + B \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} (n-1) (n- 3)} {5!} × ^ {4} \ ldots \ right] [/ اللاتكس]

حيث A و B هما الثوابت التعسفية

متعدد الحدود هيرمايت

   حل معادلة Hermite على شكل y (x) = Ay1(x) + بقلم2(x) حيث y1(خ) وص2(خ) هي شروط السلسلة كما تمت مناقشتها أعلاه ،

[لاتكس] y_ {1} (x) = 1- \ frac {2 n} {2!} x ^ {2} + 2 ^ {2} n \ frac {(n-2)} {4!} x ^ {4} - \ frac {2 ^ {3} n (n-2) (n-4)} {6!} x ^ {6} + \ cdots [/ latex]

[latex]y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots[/latex]

تنتهي إحدى هذه السلاسل إذا كان n عددًا صحيحًا غير سالب إذا كان n يساوي y1 ينتهي خلاف ذلك y2 إذا كان n غريبًا ، ويمكننا بسهولة التحقق من أن n = 0,1,2,3,4،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX …… .. هذه كثيرات الحدود هي

1 ، س ، 1-2x2، x-2/3 x3، 1-4x2+ 4 / 3x4، x-4 / 3x3+ 4/15 *5

[لاتكس] 1، x، 1-2 x ^ {2}، x- \ frac {2} {3} x ^ {3}، 1-4 x ^ {2} + \ frac {4} {3} x ^ {4}، x- \ frac {4} {3} x ^ {3} + \ frac {4} {15} x ^ {5} [/ lac

لذلك يمكننا القول هنا أن حل معادلة Hermite هو مضاعف ثابت لهذه كثيرات الحدود والمصطلحات التي تحتوي على أعلى قوة لـ x تكون على الصورة 2nxn يرمز له H.n(x) تُعرف باسم كثير الحدود هيرمايت

توليد دالة هيرمايت كثيرة الحدود

عادة ما يتم تعريف كثير الحدود هيرمايت بمساعدة العلاقة باستخدام وظيفة التوليد

[اللاتكس] \ mathrm {e} ^ {\ left (2 x tt ^ {2} \ right)} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbf {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathbf {x}) \ frac {\ mathrm {t} ^ {\ mathrm {a}}} {\ mathrm {n}!}، \ quad [/ latex]

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ mathrm {e} ^ {\ left (2 x tt ^ {2} \ right)} = \ mathrm {e} ^ {2 ut} \ mathrm {e} ^ {- t ^ {2}} & = \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} \ frac {(2 \ mathrm {xt}) ^ {\ mathrm {m}}} {\ mathrm {m}!} \ right] \ left [\ sum_ { \ mathrm {k} = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ left (- \ mathrm {t} ^ {2} \ right) ^ {\ mathrm {k}}} {\ mathrm {k}!} \ حقا] \\
& = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {\ mathrm {k} = 0} ^ {[\ mathrm {n} / 2]} \ frac {(- 1) ^ { \ mathrm {k}} (2 \ mathrm {x}) ^ {\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k}}} {\ mathrm {k}! (\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k} )!} \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

[n / 2] هو أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي n / 2 لذا فهو يتبع قيمة Hn(خ) as

[اللاتكس] \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = \ sum _ {\ mathrm {k} = 0} ^ {[\ mathrm {n} / 2]} \ frac { (-1) ^ {\ mathrm {k}} \ mathrm {n}!} {\ mathrm {k}! (\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k})!} (2 \ mathrm {x}) ^ {\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k}} [/ لاتكس]

[اللاتكس] حيث \ quad $ \ left [\ frac {\ mathrm {n}} {2} \ right] = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ frac {\ mathrm {n}} {2} ، & \ text {if} \ mathrm {n} \ text {even} \\ \ frac {\ mathrm {n} -1} {2} ، & \ text {if} \ mathrm {n} \ text {is odd} \ end {array} \ right. $ [/ latex]

وهذا يبين أن Hn(خ) هي كثيرة الحدود من الدرجة n في x و

Hn(س) = 2nxn + πN-2 (خ)

[اللاتكس] \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = 2 ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {x} ^ {\ mathrm {n}} + \ pi_ { \ mathrm {n} -2} (\ mathrm {x}) [/ لاتكس]

أين πN-2 (x) هي كثير الحدود من الدرجة n-2 في x ، وستكون دالة x الزوجية للقيمة الزوجية لـ n والدالة الفردية لـ x للقيمة الفردية لـ n ، لذلك

Hn(-x) = (-1)n Hn(خ)

[اللاتكس] \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (- \ mathrm {x}) = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) [/ لاتكس]

بعض من كثيرات حدود البداية Hermite هي

H0(س) = 1

H1(س) = 2 س

H2(س) = 4 س2 - 2

H3(س) = 8 س3-12

H4(س) = 16 س4 - 48x212+

H5(س) = 32 س2 - 160x3+ 120x

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
\ mathrm {H} _ {0} (\ mathrm {x}) = 1 \\
\ mathrm {H} _ {1} (\ mathrm {x}) = 2 \ mathrm {x} \\
\ mathrm {H} _ {2} (\ mathrm {x}) = 4 \ mathrm {x} ^ {2} -2 \\
\ mathrm {H} _ {3} (\ mathrm {x}) = 8 \ mathrm {x} ^ {3} -12 \\
\ mathrm {H} _ {4} (\ mathrm {x}) = 16 \ mathrm {x} ^ {4} -48 \ mathrm {x} ^ {2} +12 \\
\ mathrm {H} _ {5} (\ mathrm {x}) = 32 \ mathrm {x} ^ {5} -160 \ mathrm {x} ^ {3} +120 \ mathrm {x}
\ نهاية {مجموعة}
[/ اللاتكس]

صيغة رودريج لكثيرات حدود هيرمايت | توليد دالة هيرمايت كثيرة الحدود بواسطة صيغة رودريغ

يمكن أيضًا تعريف Hermite Polynomial بمساعدة صيغة Rodrigue باستخدام وظيفة التوليد

[اللاتكس] \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ { 2}} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}}} {\ mathrm {dx} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x } ^ {2}} \ right) [/ لاتكس]

منذ علاقة التوليد

[اللاتكس] \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {tx} - \ mathrm {t} ^ {2}} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2} - (\ mathrm {t } - \ mathrm {x}) ^ {2}} = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm { x})} {\ mathrm {n}!} \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}} [/ لاتكس]

  باستخدام نظرية Maclaurin ، لدينا

[لاتكس] \ يسار. \ frac {\ جزئي ^ {\ mathrm {n}}} {\ جزئي \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {tx} - \ mathrm {t} ^ {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ left. \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2} } \ frac {\ جزئي ^ {\ mathrm {n}}} {\ جزئي \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- (t- \ mathrm {x }) ^ {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) [/ اللاتكس]

or

[لاتكس] \ يسار. \ frac {\ جزئي ^ {\ mathrm {n}}} {\ جزئي \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}} \ يسار [\ mathrm {e} ^ {- (\ mathrm {t} - \ mathrm {x}) ^ {2}} \ right] \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2} } \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) [/ لاتكس]

بوضع z = xt و

[لاتكس] \ frac {\ جزئي} {\ جزئي \ mathrm {t}} = - \ frac {\ جزئي} {\ جزئي \ mathrm {z}} [/ لاتكس]

بالنسبة إلى t = 0 ، إذن z = x يعطي

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
\ اليسار. (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {z} ^ {\ mathrm {n} }} \ left (\ mathrm {e} ^ {- z ^ {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {z} = \ mathrm {x}} = (- 1) ^ {\ mathrm {n }} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ right)} {\ mathrm {dx} ^ {\ mathrm {n}}} = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) \\
\ so \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2 }} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {x} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ right)
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

هذا يمكننا إظهاره بطريقة أخرى مثل

[لاتكس] e ^ {x ^ {2}} \ frac {\ جزئي ^ {n}} {\ جزئي t ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \} } = H_ {n} (x) + H_ {n + 1} (x) t + H_ {n + 2} (x). t ^ {2} + \ ldots \ ldots [/ لاتكس]

التفريق

[لاتكس] e ^ {\ left .- (tx) ^ {2} \ right \} [/ اللاتكس]

فيما يتعلق t يعطي

[لاتكس] \ frac {\ جزئي} {\ جزئي t} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = - 2 (tx) e ^ {\ left \ {- (tx ) ^ {2} \ right \}} [/ لاتكس]

حد أخذ يميل إلى الصفر

[لاتكس] \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي} {\ جزئي t} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = 2 xe ^ {- x ^ {2}} [/ لاتكس]

الآن الاشتقاق بالنسبة إلى x

[لاتكس] \ frac {\ جزئي} {\ جزئي x} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = (- 1) ^ {2} (tx) e ^ {\ يسار \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} [/ اللاتكس]

حد أخذ يميل إلى الصفر

[لاتكس] \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي} {\ جزئي x} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = - 2 xe ^ {- x ^ {2}} [/ لاتكس]

من هذين التعبيرين يمكننا الكتابة

[لاتكس] \ يسار. \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي} {\ جزئي t} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = (- 1 ) ^ {1} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي} {\ جزئي x} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right.} \ right \} [/ اللاتكس]

بنفس الطريقة يمكننا الكتابة

[لاتكس] \ يسار. \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي ^ {2}} {\ جزئي t ^ {2}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ يمين \}} = (- 1) ^ {2} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي ^ {2}} {\ جزئي x ^ {2}} e ^ {\ left \ {- ( tx) ^ {2} \ right.} \ right \} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي ^ {n}} {\ جزئي t ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \} } = (- 1) ^ {n} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ جزئي ^ {n}} {\ جزئي x ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = (- 1) ^ {n} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} e ^ {- x ^ {2}} [/ لاتكس]

 اشتقاق n مرات وضع t = 0 ، نحصل على

[لاتكس] \ lim _ {t \ rightarrow 0} e ^ {x ^ {2}} \ frac {\ جزئي ^ {n}} {\ جزئي t ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx ) ^ {2} \ right \}} = H_ {n} (x) [/ اللاتكس]

من هذه القيم يمكننا أن نكتب

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
(-1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} e ^ {- x ^ {2}} = H_ {n} (x ) \\
H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} e ^ {- x ^ {2} } \\
n=0
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

من هذه يمكننا الحصول على القيم

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
ن = 0 \\
H_ {0} (x) = (- 1) ^ {0} e ^ {x ^ {2}} e ^ {- x ^ {2}} = 1 \\
H_ {0} (x) = 1
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
ن = 1 \\
H_ {1} (x) = (- 1) ^ {1} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} e ^ {- x ^ {2}} = - e ^ {x ^ {2}} (- 2 x) e ^ {- x ^ {2}} = 2 x \\
H_ {1} (x) = 2 x \\
n=2
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
H_ {2} (x) & = (- 1) ^ {2} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}} e ^ {- x ^ {2 }} = e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 xe ^ {- x ^ {2}} \ right) \\
& = e ^ {x ^ {2}} \ left [-2 e ^ {x ^ {2}} - 2 x (-2 x) e ^ {- x ^ {2}} \ right. \\
& = - 2 + 4 × ^ {2} \\
& H_ {2} (x) = 4 x ^ {2} -2 \\
n=3
\ end {align} [/ اللاتكس]

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
H_ {3} (x) & = (- 1) ^ {3} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}} \ left (e ^ {- x ^ {2}} \ right) = - e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}} \ left (-2 xe ^ {- x ^ {2}} \حقا) \\
& = - e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 e ^ {- x ^ {2}} + (- 2 x) (- 2 x) e ^ {- x ^ {2}} \ right) \\
& = - e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 + 4 x ^ {2} \ right) e ^ {- x ^ {2}} = - e ^ { x ^ {2}} \ left [8 xe ^ {- x ^ {2}} + \ left (4 x ^ {2} -2 \ right) (- 2 x) e ^ {- x ^ {2}} \حقا]
\ end {align} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
= - \ left [8 x + \ left (4 x ^ {2} -2 \ right) (- 2 x) \ right] = - 8 x + 8 x ^ {3} -4 x = 8 x ^ {3} -12 × \\
H_ {3} (x) = 8 x ^ {3} -12 x \\
H_{4}(x)=16 x^{4}-48 x^{2}+12
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
H_ {5} (x) = 32 x ^ {5} -160 x ^ {3} +120 x \\
H_ {6} (x) = 64 x ^ {6} -480 x ^ {4} +720 x ^ {2} -120 \\
H_ {7} (x) = 128 x ^ {7} -1344 x ^ {5} +3360 x ^ {3} -1680 x
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

مثال على متعدد الحدود هيرمايت           

  1. أوجد كثير الحدود العادي لـ

[latex]2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}[/latex]

الحل: استخدام تعريف متعدد الحدود Hermite والعلاقات التي لدينا

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
2 H_ {4} (x) +3 H_ {3} (x) -H_ {2} (x) +5 H_ {1} (x) +6 H_ {0} \\
\quad=2\left[16 x^{4}-48 x^{2}+12\right]+3\left\{8 x^{3}-12 x\right\}-\left(4 x^{2}-2\right)+5(2 x)+6(1) \\
\quad=32 x^{4}-96 x^{2}+24+24 x^{3}-36 x-4 x^{2}+2+10 x+6\\
= 32 × ^ {4} +24 × ^ {3} -100 × ^ {2} -26 × + 32
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

2. أوجد كثير الحدود الهرمي من كثير الحدود العادي

[لاتكس] 64 × ^ {4} +8 × ^ {3} -32 × ^ {2} +40 × + 10 [/ لاتكس]

الحل: المعادلة المعطاة يمكننا تحويلها إلى Hermite كـ

[اللاتكس] \ start {align} 64 x ^ {4} +8 x ^ {3} & -32 x ^ {2} +40 x + 10 = \ mathrm {AH} _ {4} (x) + \ mathrm {BH} _ {3} (x) + \ mathrm {CH} _ {2} (x) + \ mathrm {DH} _ {1} (x) + \ mathrm {EH} _ {0} (x) \ \ & = \ mathrm {A} \ left (16 x ^ {4} -48 x ^ {2} +12 \ right) + \ mathrm {B} \ left (8 x ^ {3} -12 x \ right) + \ mathrm {C} \ left (4 x ^ {2} -2 \ right) + \ mathrm {D} (2 x) + \ mathrm {E} (1) \\ & = 16 \ mathrm {~ A} x ^ {4} +8 \ mathrm {~ B} x ^ {3} (- 48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C}) x ^ {2} + (- 12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D}) x + 12 \ mathrm {~ A} -2 \ mathrm {C} + \ mathrm {E} \ end {align} [/ اللاتكس]

ومن هذه المعادلة التي تساوي نفس معامل القوى

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
16 \ mathrm {~ A} = 64 & \ Rightarrow \ mathrm {A} = 4 \\
8 \ mathrm {~ B} = 8 & \ Rightarrow \ mathrm {B} = 1 \\
-48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C} = - 32 & \ Rightarrow 4 \ mathrm {C} = - 32 + 192 \ Rightarrow \ mathrm {C} = 40 \\
-12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D} = 40 & \ Rightarrow-12 + 2 \ mathrm {D} = 40 \ Rightarrow 2 \ mathrm {D} = 52 \ Rightarrow \ mathrm {D} = 26 \\
12 \ mathrm {~ A} -2 \ mathrm {C} + \ mathrm {E} = 10 & \ Rightarrow 12 \ times 4-2 (40) + \ mathrm {E} = 10 \ Rightarrow \ mathrm {E} = 42
\ end {align} [/ اللاتكس]

ومن هنا ستكون كثيرة الحدود هيرمايت

[latex]4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)[/latex]

تعامد هيرمايت متعدد الحدود | خاصية متعامدة لهرميت متعدد الحدود

السمة المهمة لكثرة حدود Hermite هي التعامد الذي ينص على ذلك

[اللاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ begin {array} {جميع}
0 ، & م \ neq n \\
2 ^ {n} ن! \ sqrt {\ pi} ، & m = n
\ end {array} \ right. [/ latex]

لإثبات هذا التعامد ، دعونا نتذكر ذلك

[لاتكس] e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right) ^ {2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {n} (x) } {n!} t_ {1} ^ {n} [/ لاتكس]

وهي دالة توليد لكثيرات الحدود هيرمايت ونحن نعلم

[لاتكس] e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {2} -x \ right) ^ {2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {m} (x) } {m!} t_ {2} ^ {m} [/ لاتكس]

لذلك سنحصل على ضرب هاتين المعادلتين

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right) ^ {2} \ right \}} \ cdot e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ يسار (t_ {2} -x \ right) ^ {2} \ right \}} & = \ left [\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x)} {n !} t_ {1} ^ {n} \ right] \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {m} (x)} {m!} t_ {2} ^ {m }\حقا] \\
& = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [H_ {n} (x) \ left | H_ {m} (x) \ right | \ right] \ frac {t_ {1} ^ {n } \ cdot t_ {2} ^ {m}} {n! م!}
\ end {align} [/ اللاتكس]

الضرب والتكامل ضمن حدود لا نهائية

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
\ يسار. \ يسار. \ sum_ {nm} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {m}} {n! m!} = e ^ {- x ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right ) ^ {2} \ right.} \ right \} _ {.} e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {2} -x \ right) ^ {2} \ right.} \ حق \} _ {dx} \\
= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right) ^ {2} \ right \} - \ left ( t_ {2} -x \ right) ^ {2}} dx \\
= e ^ {\ left (- \ left (t_ {1} ^ {2} + t_ {2} ^ {2} \ right) \ right \}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- x ^ {2} +2 x \ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) \ right \}} dx
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

ومنذ ذلك الحين

[لاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- ax ^ {2} +2 bx \ right \}} dx = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2} e ^ {\ frac {b ^ {2}} {a}}} \ quad [/ latex]

so

[لاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- x ^ {2} +2 x \ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) \ right \} } dx = \ sqrt {\ pi} e ^ {\ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) ^ {2}} [/ لاتكس]

باستخدام هذه القيمة في التعبير أعلاه لدينا

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
e ^ {\ left \ {- \ left (i + 1 + r_ {2} \ right) ^ {2} \ right \}} \ cdot \ sqrt {\ pi} e ^ {\ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) ^ {2}} & = \ sqrt {\ pi} e ^ {- t ^ {2} -t_ {2} ^ {2} + t_ {1} ^ {2} + t_ { 2} ^ {2} +2 \ uparrow r_ {2}} = \ sqrt {\ pi} e ^ {2 l_ {1} l_ {2}} \\
& = \ sqrt {\ pi} \ left [1 + 2 t_ {1} t_ {2} + \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right) ^ {2}} {2!} + \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right) ^ {3}} {3!} + \ ldots \ ldots. \ right] = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {\ يسار (2 t_ {1} t_ {2} \ right) ^ {n}} {n!} \\
& = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {2 ^ {n} t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {n}} {n!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {m = 0 \ atop n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {m} \ delta_ {m، n} \ quad \ left [t_ {2} ^ {n} = t_ {2} ^ {m} \ delta_ {n، m} \ right]
\ end {align} [/ اللاتكس]

الذي يعطي

[لاتكس] \ sum_ {nm} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right ] \ frac {t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {m}} {n! m!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {nm} \ frac {2 ^ {n}} {n!} e ^ {n} t_ {2} ^ {m} \ delta_ {n، m} [/ اللاتكس]

الآن يساوي المعاملات على كلا الجانبين

[اللاتكس] \ تبدأ {مجموعة} {ll}
& \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ frac {H_ {n} (x) H_ {m} (x)} {n! m!} dx = \ frac {\ sqrt {\ pi} 2 ^ {n}} {n!} \ delta_ {n، m} \\
\ Rightarrow & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {\ pi} 2 ^ { n} م \ منتصف \ دلتا_ {n ، م} \\
\ Rightarrow & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ begin {array} {جميع}
0 & m \ neq n \ left [\ delta_ {n، m} = 0 ، \ text {if} m \ neq n \ right. \\
2 ^ {n} ن! \ sqrt {\ pi} ، & m = n
\ نهاية {مجموعة} \ يسار [\ تبدأ {مجموعة} {l}
= 1 ، \ نص {إذا} م = ن
\ end {array} \ right] \ right.
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

مما يدل على الخاصية المتعامدة لكثيرات الحدود هيرمايت.

  يمكن أن تظهر نتيجة الخاصية المتعامدة لكثير الحدود Hermite بطريقة أخرى من خلال النظر في علاقة التكرار

مثال على تعامد Hermite متعدد الحدود

1- قيم التكامل

[اللاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) dx [/ latex]

الحل: باستخدام خاصية التعامد في كثير الحدود المحكم

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) = 0 \ text {if} m \ neq n
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

لأن القيم هنا م = 3 و ن = 2 لذلك

[اللاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) = 0 [/ latex]

2. أوجد التكامل

[لاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [H_ {2} (x) \ right] ^ {2} dx [/ latex]

الحل: باستخدام خاصية التعامد لكثيرات الحدود Hermite يمكننا الكتابة

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [H_ {n} (x) \ right] ^ {2} dx = 2 ^ {n} (n)! \ sqrt {\ pi} \\
\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [H_ {2} (x) \ right] ^ {2} dx = 2 ^ {2} (2!) \ sqrt {\ pi} = 8 \ sqrt {\ pi}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

علاقات التكرار لكثيرات الحدود هيرمايت

يمكن معرفة قيمة كثير الحدود Hermite بسهولة من خلال علاقات التكرار

كثير الحدود هيرمايت
علاقات التكرار متعدد الحدود هيرمايت

يمكن الحصول على هذه العلاقات بسهولة بمساعدة التعريف والخصائص.

البراهين: 1. نحن نعرف معادلة هيرمايت

y ”-2xy '+ 2ny = 0

[لاتكس] y ^ {\ prime \ prime} -2 xy ^ {\ prime} +2 ny = 0 [/ latex]

والعلاقة

[لاتكس] e ^ {2 tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!} [/ اللاتكس]

بأخذ الاشتقاق بالنسبة إلى x جزئيًا ، يمكننا كتابته على هذا النحو

[لاتكس] 2 te ^ {2t xt ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} ^ {'} (x) \ frac {r ^ {m}} {n! } [/ لاتكس]

من هاتين المعادلتين

[لاتكس] \ quad 2 t \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} ^ {'} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ quad 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n + 1}} {n!} = \ sum_ {n = 0} ^ { \ infty} H_ {n} ^ {\ prime} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} [/ لاتكس]

الآن استبدل n بـ n-1

[اللاتكس] 2 \ frac {H _ {\ mathrm {m} -1} (\ mathrm {x}) t ^ {n}} {(n-1)!} = H_ {n} ^ {'} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ quad \ frac {2 n H_ {n-1} (x) t ^ {n}} {n!} = H_ {n} ^ {\ prime} (x) \ frac {t ^ {n} } {ن!} [/ لاتكس]

من خلال معادلة معامل tn

[اللاتكس] 2 \ frac {n!} {(n-1)!} H_ {n-1} (x) = H ^ {\ prime} {} _ {n} (x) [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ quad 2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n} ^ {\ prime} (x) [/ اللاتكس]

لذا فإن النتيجة المطلوبة هي

[اللاتكس] \ mathbf {2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n} ^ {\ prime} (x)} [/ اللاتكس]

2. بنفس الطريقة تفاضل جزئيًا بالنسبة إلى t المعادلة

[لاتكس] e ^ {2 tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!} [/ اللاتكس]

نحصل على

[لاتكس] 2 (xt) e ^ {2 tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {nt ^ {n-1}} {(n-1)!} [/ لاتكس]

[لاتكس] 2 (xt) e ^ {2tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n-1}} { (س -1)!} [/ لاتكس]

n = 0 سوف تختفي عن طريق وضع هذه القيمة لـ e

[لاتكس] 2 (xt) \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n-1}} {(n-1)!} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ quad 2 x \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} - 2 \ sum_ {n = 0} ^ { \ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n + 1}} {n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {r ^ {n-1}} {(n-1)!} [/ اللاتكس]

تساوي الآن معاملات tn

[اللاتكس] 2 x \ frac {H_ {n} (x)} {n!} - 2 \ frac {H_ {n-1} (x)} {(n-1)!} = \ frac {H_ {n +1} (س)} {n!} \ رباعي [/ لاتكس]

هكذا

[اللاتكس] \ quad \ mathbf {2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) + H_ {n + 1} (x)} [/ اللاتكس]

3. لإثبات هذه النتيجة سنزيل HN-1 تبدأ من

[اللاتكس] 2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) + H_ {n + 1} (x) [/ اللاتكس]

و

[اللاتكس] 2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n} ^ {\ prime} (x) [/ اللاتكس]

لذلك نحصل عليه

[اللاتكس] \ start {align} 2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) + H_ {m + 1} (x) & (x) \\ 2 x H_ {n } (x) = H_ {n} ^ {r} (x) + H_ {n + 1} (x) \\\ ldots \ ldots \ end {align} [/ latex]

وبالتالي يمكننا كتابة النتيجة

[اللاتكس] \ mathbf {H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n + 1} (x)} [/ اللاتكس]

4. لإثبات هذه النتيجة نفرق

[اللاتكس] H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n + 1} (x) [/ latex]

نحصل على العلاقة

[لاتكس] H_ {n} ^ {\ prime \ prime} (x) = 2 x H_ {n} ^ {'} (x) +2 H_ {n} (x) -H_ {n + 1} ^ {\ رئيس} (x) [/ لاتكس]

استبدال القيمة

[اللاتكس] H_ {n + 1} ^ {'} (x) = 2 (n + 1) H_ {n} (x) [/ اللاتكس]

واستبدال n بـ n + 1

[لاتكس] H_ {n} ^ {'} (x) = 2 \ mathrm {x} H_ {n} ^ {\ prime} (x) +2 H_ {n} (x) -2 (n + 1) H_ {n} (x) [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ quad H_ {n} ^ {'} (x) -2 x H_ {n} ^ {\ prime} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0 [/ latex]

الذي يعطي

[اللاتكس] \ mathbf {H_ {n} ^ {\ prime \ prime} (x) -2 x H_ {n} ^ {1} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0]} [/ اللاتكس]

أمثلة على علاقات التكرار لكثيرات الحدود هيرمايت

1. أظهر ذلك

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

[لاتكس] H_ {2 n} (0) = (- 1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {n} [/ latex]

حل:

لإظهار النتيجة لدينا

H2n (x) =

[latex]H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}[/latex]

أخذ س = 0 هنا نحصل

[اللاتكس] \ start {align} H_ {2 n} (0) & = \ frac {(- 1) ^ {n} (2 n)!} {(n)!} = (- 1) ^ {n} \ frac {(2 n) (2 n-1) (2 n-2) \ cdot \ ldots} {n (n-1) (n-2) \ ldots \ ldots 1} \\ & = (- 1) ^ {n} \ frac {2 (2 n-1) 2 (2 n-3) 2 (2 n-5) 2 \ cdot \ ldots 2.1} {n!} n! \\ & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {n} \ cdot 2 ^ {n} \ frac {(2 n-1)} {2} \ frac {(2 n-3)} {2} \ frac {(2 n-5)} {2} \\ & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left (\ frac {3} {2} \ right) \ left (\ frac {5} {2} \ right) \ left (\ frac {7} {2} \ right) \ ldots \ ldots \ left (\ frac {2 n- 3} {2} \ right) \ left (\ frac {2 n-1} {2} \ right) \\ & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1 } {2} \ right) ^ {m} \ end {align} [/ اللاتكس]

2. تبين ذلك

ح2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

[latex]H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}[/latex]

حل:

منذ من علاقة التكرار

حn(x) = 2nHN-1(X)

[اللاتكس] H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) [/ اللاتكس]

هنا استبدل n بـ 2n + 1 لذلك

ح2n-1(س) = 2 (2 ن + 1) ح2n(خ)

[اللاتكس] H_ {2 n + 1} ^ {\ prime} (x) = 2 (2 n + 1) H_ {2 n} (x) [/ اللاتكس]

مع الأخذ س = 0

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
H_ {2 n + 1} ^ {\ prime} (0) & = 2 (2 n + 1) H_ {2 n} (0) \\
& = 2 (2 n + 1) (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {n} \\
& = (2 n + 1) (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n + 1} \ left [\ frac {(2 n-1) (2 n-3) \ ldots \ ldots 3.1} {2 ^ {n}} \ يمين] \\
&=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right) \ldots \ldots\left(\frac{3}{2}+n-1\right)\right] \\
& = (- 1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2 n + 1} \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ {n}
\ end {align} [/ اللاتكس]

3. أوجد قيمة

H2n + 10

[اللاتكس] H_ {2 n + 1} (0) [/ اللاتكس]

حل

منذ أن عرفنا

[لاتكس] H_ {2 n + 1} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {2 n + 1/2} \ frac {(- 1) ^ {k} (2 n + 1)! (2 x) ^ {2 n + 1-2 k}} {k! (2 n + 1-2 k)}
[/ اللاتكس]

استخدم x = 0 هنا

H2n-1(0) = 0

[اللاتكس] \ لذلك H_ {2 n + 1} (0) = 0 [/ اللاتكس]

4. أوجد قيمة H '2n(0).

حل :

لدينا علاقة التكرار

حn(x) = 2nHN-1(خ)

[اللاتكس] H ^ {\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) [/ latex]

هنا استبدل n بـ 2n

ح2n(س) = = 2 (2 ن) ح2n-1(خ)

[اللاتكس] H ^ {\ prime} _ {2 n} (x) = 2 (2 n) H_ {2 n-1} (x) [/ latex]

ضع س = 0

ح2n(0) = (4 ن) ح2n-1(0) = 4 ن * 0 = 0

[latex]H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0[/latex]

5. إظهار النتيجة التالية

[اللاتكس] \ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} = \ frac {2 ^ {n} (n)!} {( nm)!} H_ {nm} \ quad m <n
[/ اللاتكس]

حل :

باستخدام علاقة التكرار

حn(x) = 2nHN-1 (خ)

[اللاتكس] H ^ {\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) [/ latex]

so

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ quad \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 m H_ {n-1} (x) \\
\ quad \ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 n \ frac {d} {dx} \ left [H_ { n-1} (x) \ right] \\
& = 2 n H ^ {\ prime} n-1 \ atop (x) \\
& = 2 n \ يسار [2 (n-1) H_ {n-2} (x) \ right] \\
& = 2 ^ {2} n (n-1) H_ {n-2} (x)
\ end {align} [/ اللاتكس]

و

d3/ dx3 {Hn(س)} = 23ن (ن -1) (ن -2) حN-3(خ)

[latex]\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)[/latex]

التفريق بين هذه المرات

[اللاتكس] \ frac {d ^ {m}} {d ^ {m}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} = 2 ^ {m} n (n-1) \ ldots \ ldots (n-m + 1) H_ {nm} (x) \\ = \ frac {2 ^ {\ prime m}} {(nm)!} H_ {nw} (x) ، m

الذي يعطي

[اللاتكس] \ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} \ left {H_ {n} (x) \ right} = \ frac {2 ^ {n} (n)!} {(nm) !} H_ {nm} \ quad m <n
[/ اللاتكس]

6. تبين ذلك

Hn(-x) = (-1)n Hn(خ)

[اللاتكس] H_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} H_ {n} (x) [/ اللاتكس]

حل :

يمكننا الكتابة

[لاتكس] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!} = e ^ {2 nt ^ {2}} = e ^ { 2 \ pi} e ^ {- t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(2 x) ^ {n} t ^ {n}} {n!} \ مرات \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) t ^ {2 n}} {n!} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} (2 x) ^ {n-2 k }} {k (n-2 k)!} [/ اللاتكس]

من معامل تيn لدينا

[اللاتكس] H_ {n} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} n! ​​(2 x) ^ {n-2 k}} { ك! (n-2 k)!} [/ لاتكس]

و- x

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
H_ {n} (- x) & = \ sum_ {k = 0} ^ {\ pi / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} n! ​​(- 2 x) ^ {n-2 k}} {ك (ن -2 ك)!} \\
& = \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} (- 1) ^ {n-2 k} n! ​​(2 x) ^ {n-2 k} } {ك (ن -2 ك)!} \\
& = (- 1) ^ {n} \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} n! ​​(2 x) ^ {n-2 k}} {k (n-2 k)!} = (- 1) ^ {n} H_ {n} (x)
\ end {align} [/ اللاتكس]

7. تقييم التكامل والعرض

[اللاتكس] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {x} \ left [2 ^ {n-1} م \ منتصف 8_ {m، n-1} + 2 ^ {n} (n + 1) \ delta_ {n * 1، m} \ right]. [/ اللاتكس]

حل : لحل هذا الاستخدام المتكامل لأجزاء التكامل

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ left [- \ frac {1} {2} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\
\ quad + \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x ) H_ {m} (x) \ right \} dx \\
= 0 + \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} ( x) H_ {m} (x) \ right \} dx \ text {(Orthogonality property)}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

الآن اشتق التفاضل تحت علامة التكامل مع

فيما يتعلق x

[اللاتكس] = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left \ {H_ {n} ^ {\ prime} (x) H_ {m} (x) + H_ {n} (x) H_ {m} ^ {\ prime} (x) \ right \} dx [/ latex]

استخدام

حn(س) = 2nHN-1 (خ)

[اللاتكس] H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) [/ اللاتكس]

و

حm(x) = 2mHم-1 (خ)

[اللاتكس] H_ {m} ^ {\ prime} (x) = 2 متر ارتفاع_ {m-1} (x) [/ اللاتكس]

لدينا

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
= \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [2 n H_ {n-1} (x) H_ {m} ( x) +2 m H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) \ right] dx \\
= n \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) d x + m \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) dx \\
= n \ sqrt {\ pi} 2 ^ {n-1} (n-1)! \ delta_ {m، n-1} + m \ sqrt {\ pi} 2 ^ {n} n! \ delta_ {n، m-1}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

ومنذ ذلك الحين

𝝳 ن ، م -1 = 𝝳ن + 1 ، م

[اللاتكس] \ delta_ {n، m-1} = \ delta_ {n + 1، m} [/ اللاتكس]

لذلك ستكون قيمة التكامل

[لاتكس] = \ sqrt {\ pi} \ اليسار [2 ^ {n-1} ن! \ delta_ {m، n-1} + 2 ^ {n} (n + 1)! \ delta_ {n + 1، m} \ right] [/ latex]

الخلاصة:

كثير الحدود المحدد الذي يحدث بشكل متكرر في التطبيق هو متعدد الحدود Hermite ، لذلك تمت مناقشة التعريف الأساسي ، ووظيفة التوليد ، وعلاقات التكرار والأمثلة المتعلقة بـ Hermite Polynomial باختصار هنا ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فتابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

لمزيد من المنشورات حول الرياضيات ، يرجى اتباع صفحة الرياضيات

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات

الارتباط هل المجال الكهربائي متجه؟ 5 حقائق يجب أن تعرفها

هل المجال الكهربائي متجه؟ 5 حقائق يجب أن تعرفها

يتم إنشاء المجال الكهربائي بسبب الجسيمات المشحونة. ستوضح هذه المقالة ما إذا كان المجال الكهربائي هو كمية قياسية أو كمية متجهة. المجال الكهربائي هو متجه لأنه يحتوي على ...