توزيع جاما: 7 خصائص مهمة يجب أن تعرفها


توزيع جاما

أحد التوزيعات العشوائية المستمرة والتوزيع المستمر هو توزيع جاما ، فكما نعلم أن المتغير العشوائي المستمر يتعامل مع القيم أو الفترات المستمرة ، كذلك فإن توزيع جاما مع دالة كثافة الاحتمال المحددة ودالة كتلة الاحتمال ، في المناقشة المتتالية التي نناقشها في تفاصيل المفهوم والخصائص والنتائج بأمثلة لمتغير غاما العشوائي وتوزيع جاما.

متغير جاما العشوائي أو توزيع جاما | ما هو توزيع جاما | تحديد توزيع جاما | دالة كثافة توزيع جاما | دالة كثافة احتمالية توزيع جاما | إثبات توزيع جاما

متغير عشوائي مستمر مع دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

من المعروف أنه متغير جاما العشوائي أو توزيع جاما حيث تكون α> 0 و λ> 0 ووظيفة جاما

[اللاتكس] \ tau (\ alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -1} dy [/ latex]

لدينا خاصية متكررة جدًا لدالة جاما عن طريق التكامل بالأجزاء مثل

[لاتكس] \ tau (\ alpha) = - e ^ {- y} y ^ {^ {\ alpha -1}} \ lvert _ {\ infty} ^ {0} + \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} (\ alpha -1) y ^ {\ alpha -2} dy [/ latex]

[اللاتكس] = (\ alpha -1) \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -2} dy [/ latex]

[اللاتكس] = (\ alpha -1) \ tau (\ alpha -1) [/ اللاتكس]

إذا واصلنا العملية بدءًا من n ثم

[اللاتكس] \ tau (n) = (n-1) \ tau (n-1) [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = (n-1) (n-2) \ tau (n-2) [/ اللاتكس]

[latex]=(n-1) (n-2)….3..2\tau(1)[/latex]

[اللاتكس] =…. .. [/ لاتكس]

وأخيرًا ، ستكون قيمة جاما للواحد

[لاتكس] \ tau (1) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} dx = 1 [/ latex]

وبالتالي ستكون القيمة

[اللاتكس] \ tau (n) = (n-1)! [/ اللاتكس]

cdf لتوزيع جاما | توزيع غاما التراكمي | تكامل توزيع جاما

يوفر توزيع تراكمي دالة (cdf) لمتغير غاما العشوائي أو ببساطة دالة التوزيع لمتغير غاما العشوائي هي نفس دالة المتغير العشوائي المستمر بشرط أن تكون دالة كثافة الاحتمال مختلفة أي

[اللاتكس] F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) du [/ latex]

هنا تكون دالة كثافة الاحتمال كما هو محدد أعلاه لتوزيع جاما ، دالة التوزيع التراكمي التي يمكننا كتابتها أيضًا

[اللاتكس] f (a) = P (X \ in (- \ infty، a]) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx [/ latex]

في كلا التنسيقين أعلاه ، تكون قيمة pdf على النحو التالي

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

حيث α> 0 ، λ> 0 هي أرقام حقيقية.

صيغة توزيع جاما | صيغة لتوزيع جاما | معادلة توزيع جاما | اشتقاق توزيع جاما

للعثور على احتمال متغير غاما العشوائي ، تكون دالة كثافة الاحتمال التي يتعين علينا استخدامها لمختلف المعطيات α> 0 ، λ> 0 هي كما يلي

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]


وباستخدام ملف pdf أعلاه ، يمكننا الحصول على توزيع متغير جاما العشوائي

[اللاتكس] P \ left \ {a \ leq X \ leq b \ right \} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx [/ latex]


وبالتالي ، تتطلب صيغة توزيع جاما قيمة pdf وحدود متغير جاما العشوائي حسب المتطلبات.

مثال على توزيع جاما


تبين أن الاحتمال الكلي ل توزيع جاما هو واحد مع دالة كثافة الاحتمال المعطاة أي

[اللاتكس] \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ { \ alpha-1} dx} = 1 [/ لاتكس]

لـ λ> 0 ، α> 0.
حل:
باستخدام صيغة توزيع جاما

[اللاتكس] P \ left \ {a \ leq X \ leq b \ right \} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx [/ latex]

[اللاتكس] P \ left \ {X \ in (- \ infty، \ infty) \ right \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx [/ latex]


لأن دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما هي

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]


وهو صفر لجميع القيم الأقل من الصفر ، لذا فإن الاحتمال سيكون الآن

[اللاتكس] = \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha-1} dx} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {\ lambda ^ \ alpha} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- \ lambda x} {(x)} ^ {\ alpha-1} dx} [/ لاتكس]


باستخدام تعريف دالة جاما

[اللاتكس] \ tau (\ alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -1} dy [/ latex]


والاستبدال نحصل عليه

[اللاتكس] \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ { \ alpha-1} dx} = \ frac {\ lambda ^ \ alpha} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ ast \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ lambda ^ \ alpha} [/ اللاتكس]

هكذا

[اللاتكس] \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ { \ alpha-1} dx = 1} [/ لاتكس]

يعني توزيع جاما والتباين | توقع وتباين توزيع جاما | القيمة المتوقعة والتباين لتوزيع جاما | متوسط ​​توزيع جاما | القيمة المتوقعة لتوزيع جاما | توقع توزيع جاما


في المناقشة التالية سنجد المتوسط ​​والتباين لتوزيع جاما بمساعدة التعريفات المعيارية للتوقع والتباين للمتغيرات العشوائية المستمرة ،

القيمة أو المتوسط ​​المتوقع للمتغير العشوائي المستمر X مع دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

أو متغير جاما العشوائي X سيكون

[اللاتكس] E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda} [/ اللاتكس]

وسيلة إثبات توزيع جاما | القيمة المتوقعة لإثبات توزيع جاما

للحصول على القيمة أو المتوسط ​​المتوقع لتوزيع جاما ، سوف نتبع تعريف وظيفة جاما وخاصيتها ،
أولاً من خلال تعريف توقع المتغير العشوائي المستمر ودالة كثافة الاحتمال لمتغير غاما العشوائي

[لاتكس] E \ left [X \ right] = \ frac {1} {\ tau (\ alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ lambda xe ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1} dx [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {1} {\ lambda \ tau (\ alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha} dx [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {\ tau (\ alpha +1)} {\ lambda \ tau (\ alpha)} [/ اللاتكس]

بإلغاء العامل المشترك واستخدام تعريف دالة جاما

[اللاتكس] \ tau (\ alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -1} dy [/ latex]

الآن كما لدينا خاصية دالة جاما

[اللاتكس] \ tau (n) = (n-1) \ tau (n-1) [/ اللاتكس]

ستكون قيمة التوقع

[اللاتكس] E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha \ Gamma (\ alpha)} {\ lambda \ Gamma (\ alpha)} [/ latex]

وبالتالي فإن القيمة المتوسطة أو المتوقعة لمتغير غاما العشوائي أو توزيع غاما الذي نحصل عليه هي

[اللاتكس] E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda} [/ اللاتكس]

تباين توزيع جاما | تباين توزيع جاما

التباين لمتغير غاما العشوائي مع دالة كثافة الاحتمال المحددة

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

أو سيكون التباين في توزيع جاما

[اللاتكس] Var (X) = \ frac {\ alpha} {\ lambda ^ {^ {2}}} [/ اللاتكس]

تباين إثبات توزيع جاما


كما نعلم أن التباين هو اختلاف القيم المتوقعة مثل

[لاتكس] Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2} [/ لاتكس]

بالنسبة لتوزيع جاما ، لدينا بالفعل قيمة المتوسط

[اللاتكس] E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda} [/ اللاتكس]

الآن دعونا أولاً نحسب قيمة E [X2] ، لذلك من خلال تعريف التوقع للمتغير العشوائي المستمر لدينا
لأن الوظيفة f (x) هي دالة التوزيع الاحتمالي لتوزيع جاما كـ

[لاتكس] E \ left [X ^ 2 \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x ^ 2f \ left (x \ right) dx} [/ latex]

لذلك سيكون التكامل من صفر إلى ما لا نهاية فقط

[اللاتكس] E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {{\ lambda x} ^ 2e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha-1} dx} [/ لاتكس]

[لاتكس] E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {1} {\ lambda ^ 2 \ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha + 1} dx} [/ لاتكس]

لذلك من خلال تعريف دالة جاما يمكننا الكتابة

[لاتكس] E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha + 2 \ right)} {\ lambda ^ {2} \ tau (\ alpha)} = \ frac {(\ alpha +1) \ Gamma \ left (\ alpha + 1 \ right)} {\ lambda ^ {2} \ tau (\ alpha)} = \ frac {(\ alpha +1) \ alpha \ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ lambda ^ {2} \ tau (\ alpha)} [/ لاتكس]

[اللاتكس] E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha + 2 \ right)} {\ lambda ^ {2}} [/ latex]

وبالتالي ، باستخدام خاصية دالة جاما ، حصلنا على القيمة كـ

[لاتكس] E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {\ alpha (\ alpha + 1)} {\ lambda ^ 2} [/ latex]


الآن نضع قيمة هذه التوقعات في

[اللاتكس] Var \ left (X \ right) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2} [/ latex]

[اللاتكس] Var \ left (X \ right) = \ frac {\ alpha (\ alpha + 1)} {\ lambda ^ 2} - \ left (\ frac {\ alpha} {\ lambda} \ right) ^ 2 [ / اللاتكس]

[latex]Var\left(X\right)=\frac{\alpha^2+\alpha}{\lambda^2}-\frac{\alpha^2}{\lambda^2}=\frac{\alpha}{\lambda^2}[/latex]

وبالتالي ، فإن قيمة التباين في توزيع جاما أو متغير جاما العشوائي هي

[اللاتكس] Var \ left (X \ right) = \ frac {\ alpha} {\ lambda ^ {2}} [/ latex]


معلمات توزيع جاما | اثنين من توزيع غاما المعلمتين | 2 توزيع غاما متغير


توزيع جاما مع المعلمات λ> 0 ، α> 0 ودالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

لديها المعلمات الإحصائية يعني والتباين كما

[اللاتكس] E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda} [/ اللاتكس]

و

[اللاتكس] Var (X) = \ frac {\ alpha} {\ lambda ^ {2}} [/ اللاتكس]

نظرًا لأن λ هو رقم حقيقي موجب ، للتبسيط وسهولة التعامل مع الطريقة الأخرى ، يتم تعيين λ = 1 / β بحيث يعطي هذا دالة كثافة الاحتمال في النموذج

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ alpha -1}} {\ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)}، & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

باختصار ، دالة التوزيع أو دالة التوزيع التراكمي لهذه الكثافة يمكننا التعبير عنها كـ

[اللاتكس] F (x) = \ begin {cases} 0، & \ x \ leq 0، \\ \ frac {1} {\ tau (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ alpha -1} e ^ - {(y / \ beta)} dy & \ x> 0 \ end {cases} [/ latex]

تعطي دالة كثافة جاما المتوسط ​​والتباين مثل

[اللاتكس] E [X] = {\ alpha \ beta} [/ اللاتكس]

و

[اللاتكس] Var (X) = {{\ alpha} \ beta} ^ 2 [/ اللاتكس]


وهو ما يتضح من خلال الاستبدال.
يتم استخدام كلتا الطريقتين بشكل شائع إما توزيع جاما مع المعلمة α و المشار إليها بواسطة نطاق (α ، λ) أو توزيع جاما مع المعلمات β و المشار إليها بواسطة نطاق (β ، λ) مع متوسط ​​المعلمات الإحصائية المعنية والتباين في كل نموذج.
كلاهما لا شيء سوى نفس الشيء.

مؤامرة توزيع جاما | الرسم البياني لتوزيع جاما | الرسم البياني لتوزيع جاما

طبيعة توزيع جاما يمكننا تصورها بسهولة بمساعدة الرسم البياني لبعض القيم المحددة للمعلمات ، وهنا نرسم المخططات لوظيفة كثافة الاحتمال ودالة الكثافة التراكمية لبعض قيم المعلمات
دعونا نأخذ دالة كثافة الاحتمال مثل

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ alpha -1}} {\ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)}، & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

ثم ستكون دالة التوزيع التراكمي

[اللاتكس] F (x) = \ begin {cases} 0، & \ x \ leq 0، \\ \ frac {1} {\ tau (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ alpha -1} e ^ - {(y / \ beta)} dy & \ x> 0 \ end {cases} [/ latex]

توزيع جاما

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة alpha كـ 1 وتغيير قيمة بيتا.

توزيع جاما

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة ألفا كـ 2 وتغيير قيمة بيتا

توزيع جاما

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة ألفا كـ 3 وتغيير قيمة بيتا

توزيع جاما

الوصف: الرسوم البيانية لدالة الكثافة الاحتمالية ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة بيتا كـ 1 وتغيير قيمة ألفا

توزيع جاما

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة بيتا كـ 2 وتغيير قيمة ألفا

توزيع جاما

الوصف: الرسوم البيانية لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي عن طريق تثبيت قيمة بيتا على أنها 3 وتغيير قيمة ألفا.

بشكل عام منحنيات مختلفة كما هو الحال بالنسبة لتفاوت ألفا

توزيع جاما
رسم بياني لتوزيع جاما

جدول توزيع جاما | جدول توزيع غاما القياسي


القيمة العددية لوظيفة جاما

[اللاتكس] F (x؛ \ alpha) = \ int_ {0} ^ {x} \ frac {1} {\ tau (\ alpha)} y ^ {\ alpha -1} e ^ {- y} dy [/ اللاتكس]


تُعرف القيم العددية لوظيفة جاما غير المكتملة على النحو التالي

توزيع جاما



القيمة العددية لتوزيع غاما لرسم مخطط دالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي لبعض القيم الأولية هي كما يلي

1xو (س) ، α = 1 ، β = 1و (س) ، α = 2 ، β = 2و (س) ، α = 3 ، β = 3الفوسفور (س) ، α = 1 ، β = 1الفوسفور (س) ، α = 2 ، β = 2الفوسفور (س) ، α = 3 ، β = 3
0100000
0.10.9048374180.023780735611.791140927E-40.095162581960.0012091042746.020557215E-6
0.20.81873075310.04524187096.929681371E-40.18126924690.004678840164.697822176E-5
0.30.74081822070.064553098230.0015080623630.25918177930.010185827111.546530703E-4
0.40.6703200460.081873075310.002593106130.3296799540.017523096313.575866931E-4
0.50.60653065970.097350097880.0039188968750.39346934030.026499021166.812970042E-4
0.60.54881163610.11112273310.0054582050210.45118836390.036936313110.001148481245
0.70.49658530380.12332041570.0071856645830.50341469620.048671078880.001779207768
0.80.44932896410.13406400920.0090776691950.55067103590.061551935550.002591097152
0.90.40656965970.14346633410.011112273310.59343034030.075439180150.003599493183
10.36787944120.15163266490.013269098340.63212055880.090204010430.004817624203
1.10.33287108370.15866119790.015529243520.66712891630.10572779390.006256755309
1.20.30119421190.16464349080.017875201230.69880578810.12190138220.007926331867
1.30.2725317930.16966487750.02029077660.7274682070.13862446830.00983411477
1.40.24659696390.17380485630.022761011240.75340303610.15580498360.01198630787
1.50.22313016010.17713745730.025272110820.77686983990.17335853270.01438767797
1.60.2018965180.17973158570.027811376330.7981034820.19120786460.01704166775
1.70.18268352410.18165134610.030367138940.81731647590.20928237590.01995050206
1.80.16529888820.18295634690.032928698170.83470111180.22751764650.02311528775
1.90.14956861920.18370198610.035486263270.85043138080.24585500430.02653610761
20.13533528320.18393972060.038030897710.86466471680.26424111770.03021210849
2.10.12245642830.18371731830.040554466480.87754357170.28262761430.03414158413
2.20.11080315840.1830790960.043049586250.88919684160.30097072420.03832205271
2.30.10025884370.18206614240.045509578110.89974115630.31923094580.04275032971
2.40.090717953290.18071652720.047928422840.90928204670.33737273380.04742259607
2.50.082084998620.1790654980.050300718580.91791500140.35536420710.052334462
2.60.074273578210.17714566550.052621640730.92572642180.3731768760.05748102674
2.70.067205512740.17498717590.054886904070.93279448730.39078538750.0628569343
2.80.060810062630.17261787480.057092726880.93918993740.40816728650.06845642568
2.90.055023220060.17006345890.059235797090.94497677990.42530279420.07427338744
30.049787068370.16734762010.06131324020.95021293160.44217459960.08030139707
الرسم البياني لتوزيع جاما

إيجاد ألفا وبيتا لتوزيع جاما | كيفية حساب ألفا وبيتا لتوزيع جاما | تقدير معامل توزيع جاما


بالنسبة لتوزيع جاما الذي يبحث عن ألفا وبيتا ، سنتخذ المتوسط ​​والتباين لتوزيع جاما

[اللاتكس] E [X] = {\ alpha \ beta} [/ اللاتكس]

و

[اللاتكس] Var (X) = {{\ alpha} \ beta} ^ 2 [/ اللاتكس]


الآن سوف نحصل على قيمة بيتا مثل

[اللاتكس] \ frac {Var \ left (X \ right)} {E \ left [X \ right]} = \ frac {{{\ alpha} \ beta} ^ 2} {{\ alpha \ beta}} = { \ بيتا} [/ لاتكس]


so

[اللاتكس] {\ beta} = \ frac {Var \ left (X \ right)} {E \ left [X \ right]} [/ اللاتكس]


و

[اللاتكس] \ frac {{E [X]} ^ 2} {Var \ left (X \ right)} = \ frac {\ left ({\ alpha \ beta} \ right) ^ \ mathbf {2}} {{ {\ alpha} \ beta} ^ 2} = {\ alpha} [/ اللاتكس]

هكذا

[اللاتكس] {\ alpha} = \ frac {{E [X]} ^ 2} {Var (X)} [/ اللاتكس]

بأخذ بعض الكسور فقط من توزيع جاما ، سنحصل على قيمة ألفا وبيتا.

مشاكل وحلول توزيع جاما | أمثلة على توزيع جاما | تعليمي لتوزيع جاما | سؤال توزيع جاما

1. ضع في اعتبارك أن الوقت المطلوب لحل المشكلة للعميل هو جاما موزعة في ساعات بمتوسط ​​1.5 والتباين 0.75 ماذا سيكون احتمال أن تكون المشكلة تجاوز وقت الحل ساعتين ، إذا تجاوز الوقت ساعتين ، فما هو احتمال حل المشكلة في 2 ساعات على الأقل.

حل: نظرًا لأن المتغير العشوائي عبارة عن جاما موزعة بمتوسط ​​1.5 والتباين 0.75 ، فيمكننا إيجاد قيم ألفا وبيتا وبمساعدة هذه القيم ، سيكون الاحتمال

الفوسفور (X> 2) = 13 هـ-4= 0.2381

و

الفوسفور (X> 5 | X> 2) = (61/13) هـ-6= 0.011631

2. إذا تم تصميم التعليقات السلبية في الأسبوع من المستخدمين في توزيع جاما مع المعلمات alpha 2 و beta على أنها 4 بعد ردود الفعل السلبية لمدة 12 أسبوعًا التي جاءت بعد إعادة هيكلة الجودة ، فهل يمكن لإعادة الهيكلة من هذه المعلومات تحسين الأداء؟

حل: كما تم نمذجتها في توزيع جاما مع α = 2 ، β = 4

سنجد المتوسط ​​والانحراف المعياري كـ μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

[latex]\sigma=\sqrt{\alpha\beta^2}=\sqrt{2\ast4^2}=4\sqrt2=5.6568[/latex]

نظرًا لأن القيمة X = 12 تقع ضمن الانحراف المعياري عن المتوسط ​​، لذلك لا يمكننا القول إن هذا تحسن أم لا من خلال إعادة هيكلة الجودة ، لإثبات أن التحسن الناجم عن معلومات إعادة الهيكلة المعطاة غير كاف.

3. دع X يكون توزيع جاما باستخدام المعلمات α = 1/2 ، λ = 1/2 ، ابحث عن دالة كثافة الاحتمال للدالة Y = الجذر التربيعي لـ X

حل: دعونا نحسب دالة التوزيع التراكمي لـ Y كـ

[latex]F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=(P\sqrt{X}\leq y)=P(X\leq y^{2})=\int_{0}^{y^{2}}\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}{\tau (\frac{1}{2})} x^{-1/2}e^{-x/2}[/latex]

الآن اشتقاق هذا بالنسبة إلى y يعطي دالة كثافة الاحتمال لـ Y as

[latex]f_{Y}(y)=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}{\tau (\frac{1}{2})} y^{-1}e^{-y^{2}/2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}y^{2}=\frac{\sqrt{2}}{\tau (\frac{1}{2})}e^{-y^{2}/2}[/latex]

وسيتراوح نطاق y من 0 إلى ما لا نهاية


الخلاصة:

يعد مفهوم توزيع جاما في الاحتمالية والإحصائية أحد أهم التوزيعات القابلة للتطبيق يومًا بعد يوم للأسرة الأسية ، وقد تمت مناقشة جميع المفاهيم الأساسية إلى المستوى الأعلى حتى الآن فيما يتعلق بـ توزيع جاما، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، يرجى الاطلاع على الكتب المذكورة. يمكنك أيضا زيارة خارج الرياضيات صفحة لمزيد من الموضوع

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس
الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء
مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات