العائلة الأسية لتوزيع جاما: 21 حقيقة مهمة


وصف المنتج

  1. شكل خاص لتوزيعات جاما وعلاقات توزيع جاما
  2. عائلة توزيع جاما الأسية
  3. العلاقة بين جاما والتوزيع الطبيعي
  4. توزيع غاما بواسون | توزيع بويسون غاما ذو الحدين السالب
  5. توزيع وايبول جاما
  6. تطبيق توزيع جاما في الحياة الواقعية | استخدامات توزيع جاما | تطبيق توزيع جاما في الإحصاء 
  7. توزيع بيتا جاما | العلاقة بين توزيع جاما وبيتا
  8. توزيع غاما ثنائي المتغير
  9. توزيع غاما مزدوج
  10. العلاقة بين جاما والتوزيع الأسي | التوزيع الأسي وجاما | توزيع أسي جاما
  11. تناسب توزيع جاما
  12. توزيع غاما المتغير
  13. توزيع جاما المقطوع
  14. دالة بقاء توزيع جاما
  15. MLE لتوزيع جاما | أقصى توزيع جاما احتمالية | دالة احتمالية توزيع جاما
  16. طريقة تقدير معلمة توزيع جاما للحظات | طريقة توزيع اللحظات مقدر جاما
  17. فاصل الثقة لتوزيع جاما
  18. اقتران توزيع غاما مسبقًا للتوزيع الأسي | التوزيع المسبق لأشعة جاما | التوزيع اللاحق بويسون جاما
  19. دالة توزيع جاما الكمية
  20. توزيع جاما المعمم
  21. توزيع بيتا المعمم جاما

شكل خاص لتوزيعات جاما وعلاقات توزيع جاما

  في هذه المقالة سوف نناقش الأشكال الخاصة لتوزيعات جاما وعلاقات توزيع جاما مع المتغيرات العشوائية المختلفة والمستمرة والمنفصلة ، كما نناقش بإيجاز بعض طرق التقدير في أخذ عينات من السكان باستخدام توزيع جاما.

عائلة توزيع جاما الأسية

  الأسرة الأسية لتوزيع جاما وهي عبارة عن عائلة أسية ذات معلمتين وهي عائلة توزيع قابلة للتطبيق إلى حد كبير حيث يمكن تصميم معظم مشكلات الحياة الواقعية في العائلة الأسية لتوزيع جاما ويمكن إجراء الحساب السريع والمفيد داخل الأسرة الأسية بسهولة ، في المعلمتين إذا أخذنا دالة كثافة الاحتمال على أنها

[اللاتكس] \ frac {e ^ {- \ lambda / x} x ^ {\ alpha -1}} {\ lambda ^ {\ alpha} \ Gamma (\ alpha)} I_ {x}> 0 [/ latex]

إذا قمنا بتقييد القيمة المعروفة لـ α (ألفا) ، فإن عائلة المعلمتين هذه ستقلل إلى عائلة أسية واحدة للمعلمات

[لاتكس] f (x / \ lambda) = e ^ {- \ lambda / x} -a \ \ log \ lambda \ frac {x ^ {\ alpha -1}} {\ Gamma (\ alpha)} I_ {x }> 0 [/ لاتكس]

و λ (لامدا)

[لاتكس] f (x | \ alpha) = e ^ {\ alpha logx -a (log \ lambda)} - السجل {\ Gamma (\ alpha)} e ^ {- \ frac {x} {\ lambda}} I_ {x}> 0 [/ لاتكس]

العلاقة بين جاما والتوزيع الطبيعي

  في دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع جاما ، إذا أخذنا ألفا أقرب إلى 50 ، فسنحصل على طبيعة دالة الكثافة مثل

عائلة توزيع جاما الأسية
عائلة توزيع جاما الأسية

حتى معلمة الشكل في توزيع جاما التي نزيدها مما يؤدي إلى تشابه منحنى التوزيع الطبيعي الطبيعي ، إذا تميل معامل الشكل ألفا إلى ما لا نهاية ، فسيكون توزيع جاما أكثر تناسقًا وطبيعيًا ولكن نظرًا لأن ألفا تميل إلى ما لا نهاية لـ x في جاما سوف يميل التوزيع إلى سالب اللانهاية مما ينتج عنه دعم شبه لانهائي لتوزيع جاما لانهائي ومن ثم يصبح توزيع جاما متماثلًا ولكن ليس هو نفسه مع التوزيع الطبيعي.

توزيع بويسون جاما | توزيع بويسون غاما ذو الحدين السالب

   توزيع غاما poisson والتوزيع ذي الحدين هما المتغير العشوائي المنفصل الذي يتعامل المتغير العشوائي مع القيم المنفصلة على وجه التحديد النجاح والفشل في شكل تجارب Bernoulli التي تعطي نجاحًا أو فشلًا عشوائيًا كنتيجة فقط ، والآن خليط Poisson و gamma Distribution أيضًا يُعرف بالتوزيع السلبي ذي الحدين هو نتيجة التجربة المتكررة لمحاكمة برنولي ، ويمكن أن يكون هذا متغيرًا بطريقة مختلفة كما لو حدث نجاح r في عدد من التجارب ، فيمكن تحديد المعلمات على النحو التالي

[اللاتكس] P (X_ {1} = x | p، r) = \ binom {x-1} {r-1} p ^ {r} (1-p) ^ {xr} [/ اللاتكس]

وإذا كان عدد حالات الفشل قبل نجاح r ، فيمكن تعيين معلمات كـ

[اللاتكس] P (X_ {2} = x | p، r) = \ binom {x + r-1} {x} p ^ {r} (1-p) ^ {x} [/ اللاتكس]

والنظر في قيم r و p

[اللاتكس] r = \ frac {\ mu ^ {2}} {\ sigma ^ {2} - \ mu} [/ latex]

[اللاتكس] p = \ frac {r} {r + \ mu} [/ اللاتكس]

الشكل العام للمعلمات للتوزيع السالب ذي الحدين أو توزيع غاما هو

[اللاتكس] P (X = x) = \ binom {x + r-1} {x} p ^ {r} (1-p) ^ {x} \ \ x = 0,1,2،XNUMX،XNUMX،… [/ اللاتكس ]

والبديل هو

[اللاتكس] P (X = x) = \ binom {x + r-1} {x} \ left (\ frac {\ alpha} {\ alpha +1} \ right) ^ {r} \ left (\ frac { 1} {\ alpha +1} \ right) ^ {x} \ \ x = 0,1,2،XNUMX،XNUMX،… [/ latex]

يُعرف هذا التوزيع ذي الحدين بالسالب بسبب المعامل

[لاتكس] \ binom {x + r-1} {x} = \ frac {(x + r-1) (x + r-2)… .r} {x!} \ = (-1) ^ {x } \ frac {(- r- (x-1)) (- r- (x-2))… .. (- r)} {x!} \ = (-1) ^ {x} \ frac {( -r) (- r-1)…. -r- (x-1))} {x!} \ = (- 1) ^ {x} \ binom {-r} {x} [/ اللاتكس]

ويتم تعريف هذا التوزيع السالب ذي الحدين أو توزيع غاما بواسون جيدًا على أنه الاحتمال الإجمالي الذي سنحصل عليه كواحد لهذا التوزيع

[لاتكس] 1 = p ^ {r} p ^ {- r} \ = p ^ {r} (1-q) ^ {- r} \ = p ^ {r} \ sum_ {0} ^ {\ infty} \ binom {-r} {x} (- q) ^ {x} \ = p ^ {r} \ sum_ {0} ^ {\ infty} (-1) ^ {x} \ binom {-r} {x } (q) ^ {x} \ = \ sum_ {0} ^ {\ infty} \ binom {x + r-1} {x} p ^ {r} q ^ {x} \ [/ اللاتكس]

المتوسط ​​والتباين لهذا التوزيع السلبي ذي الحدين أو توزيع غاما هو

[اللاتكس] E (X) = \ frac {r (1-p)} {p} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] var (X) = \ frac {r (1-p)} {p ^ {2}} [/ اللاتكس]

يمكننا الحصول على علاقة بواسون وجاما من خلال الحساب التالي

[اللاتكس] P (X = x) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {x}} {x!} \ lambda ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ lambda / \ beta} d \ lambda [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {1} {x! \ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ lambda ^ {\ alpha + x-1} e ^ { - \ لامدا (1 + 1 / \ بيتا)} د \ لامدا [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {1} {\ Gamma (x + 1) \ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ Gamma (\ alpha + x) \ left (\ frac {\ beta} {\ تجريبي +1} \ right) ^ {\ alpha + x} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ binom {\ alpha + x-1} {x} \ left (\ frac {1} {\ beta +1} \ right) ^ {\ alpha} \ left (1- \ frac {1} { \ بيتا +1} \ right) ^ {x} [/ لاتكس]

وبالتالي فإن ذات الحدين السالب هي مزيج من توزيع بواسون وغاما ويتم استخدام هذا التوزيع في نمذجة المشكلات اليومية حيث نحتاج إلى خليط منفصل ومستمر.

عائلة توزيع جاما الأسية
عائلة توزيع جاما الأسية

توزيع وايبول جاما

   هناك تعميم للتوزيع الأسي يتضمن Weibull وكذلك توزيع غاما لأن توزيع Weibull له دالة كثافة الاحتمال مثل

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ 0 & x \ leq v \ \\ \ frac {\ beta} {\ alpha} \ left (\ frac {xv} {\ alpha} \ right) ^ { \ beta -1} exp {{- \ left (\ frac {xv} {\ alpha} \ right) ^ {\ beta}}} & \ x> v \ end {cases} [/ latex]

ودالة التوزيع التراكمي كـ

[اللاتكس] F (x) = \ begin {cases} \ 0 & \ x \ leq v \\ \ 1- exp {- \ left (\ frac {xv} {\ alpha} \ right) ^ {\ beta}} & \ x> v \ end {cases} [/ latex]

حيث أن pdf و cdf لتوزيع جاما قد ناقشنا أعلاه بالفعل العلاقة الرئيسية بين توزيع Weibull و gamma هي عبارة عن تعميم للتوزيع الأسي ، يكون الاختلاف بينهما عندما تكون قوة المتغير أكبر من واحد ، ثم يعطي توزيع Weibull نتيجة سريعة بينما أقل من 1 جاما يعطي نتيجة سريعة.

     لن نناقش هنا توزيع Weibull gamma المعمم الذي يتطلب مناقشة منفصلة.

تطبيق توزيع جاما في الحياة الواقعية | استخدامات توزيع جاما | تطبيق توزيع جاما في الإحصاء 

  هناك عدد من التطبيقات التي يتم فيها استخدام توزيع غاما لنمذجة الموقف مثل مطالبة التأمين بالتجميع ، وتراكم كمية الأمطار ، وأي منتج يتم تصنيعه وتوزيعه ، والحشد على شبكة ويب معينة ، وفي تبادل الاتصالات وما إلى ذلك. وقت الانتظار تنبؤ حتى الحدث التالي للحدث التاسع. هناك عدد من تطبيقات توزيع جاما في الحياة الواقعية.

توزيع بيتا جاما | العلاقة بين توزيع جاما وبيتا

    توزيع بيتا هو المتغير العشوائي مع دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ \ frac {1} {B (a، b)} x ^ {a-1} (1-x) ^ {b-1} & \ 0 <x <1 \\ \ 0 & \ خلاف ذلك \ إنهاء {الحالات} [/ اللاتكس]

أين

[latex]B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx[/latex]

التي لها علاقة بوظيفة جاما مثل

[اللاتكس] B (a، b) = \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (a + b)} [/ اللاتكس]

وتوزيع بيتا المتعلق بتوزيع جاما كما لو كان X هو توزيع جاما مع المعلمة alpha و beta كواحد و Y يكون توزيع جاما مع المعلمة alpha كواحد وبيتا ثم المتغير العشوائي X / (X + Y) هو توزيع بيتا.

أو إذا كانت X هي Gamma (α ، 1) و Y هي Gamma (1، β) فإن المتغير العشوائي X / (X + Y) هو بيتا (α ، β) 

و أيضا

[اللاتكس] \ mathbf {\ lim_ {n \ to \ infty} nB (k، n) = \ Gamma (k، 1)} [/ latex]

توزيع غاما ثنائي المتغير

     يكون المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد أو ثنائي المتغير مستمرًا إذا كانت هناك دالة f (x ، y) بحيث تكون دالة التوزيع المشترك

[اللاتكس] F (x، y) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {y} f (u، v) dv \ right] du [/ latex]

أين

[اللاتكس] F (+ \ infty، + \ infty) = \ lim_ {x \ to + \ infty، y \ to + \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ int _ {- \ infty} ^ {y} f (u، v) dvdu [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (u، v) dvdu = 1 [/ latex]

ودالة الكثافة الاحتمالية المشتركة التي تم الحصول عليها بواسطة

[لاتكس] \ frac {\ جزئي ^ 2 فهرنهايت (x، y)} {\ جزئي x \ جزئي y} = f (x، y) [/ اللاتكس]

هناك عدد من توزيع غاما ثنائي المتغير واحد منهم هو توزيع غاما ثنائي المتغير مع دالة كثافة الاحتمال مثل

[اللاتكس] f (x، y) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha + \ gamma}} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ gamma)} x ^ {\ alpha -1} (yx) ^ {\ gamma -1} e ^ {- \ beta y}، \ \ 0 <x 0 [/ latex]

توزيع غاما مزدوج

  توزيع جاما المزدوج هو أحد التوزيع ثنائي المتغير بمتغيرات جاما العشوائية التي لها معامل ألفا وواحد مع دالة كثافة احتمالية مشتركة مثل

[latex]f_{Y_{1}{Y_{2}}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{\Gamma (\alpha {1}) \ جاما (\ alpha {2})} y_ {1} ^ {\ alpha_ {1} -1} y_ {2} ^ {\ alpha_ {2} -1} exp (-y_ {1} -y_ {2}) ، y_ {1 }> 0 ، y_ {2}> 0 [/ لاتكس]

تشكل هذه الكثافة توزيع جاما المزدوج مع المتغيرات العشوائية ذات الصلة ووظيفة توليد اللحظة لتوزيع جاما المزدوج هي

[اللاتكس] \ mathbf {M_ {Y_ {1} Y_ {2} (t، s)} = \ left (\ frac {1} {1-t} \ right) ^ {\ alpha {1}} \ left (\ frac {1} {1-s} \ right) ^ {\ alpha {2}}} [/ اللاتكس]

العلاقة بين جاما والتوزيع الأسي | التوزيع الأسي وجاما | توزيع أسي جاما

   لأن التوزيع الأسي هو التوزيع مع دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} \ \ lambda e ^ {- \ lambda x} & \ if \ \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ \ \ if x <0 \ end {cases} [ / اللاتكس]

وتوزيع جاما له دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases} [/ latex]

من الواضح أن قيمة alpha إذا وضعناها كواحد ، فسنحصل على التوزيع الأسي ، أي أن توزيع غاما ليس سوى تعميم التوزيع الأسي ، والذي يتنبأ بوقت الانتظار حتى حدوث الحدث n التالي بينما يتوقع التوزيع الأسي الانتظار الوقت حتى وقوع الحدث التالي.

تناسب توزيع جاما

   بقدر ما يتعلق الأمر بملاءمة البيانات المعطاة في شكل توزيع غاما ، فإن الأمر يقتضي إيجاد دالة كثافة احتمال المعلمتين التي تتضمن معلمات الشكل والموقع والمقياس ، لذا فإن العثور على هذه المعلمات مع تطبيق مختلف وحساب المتوسط ​​والتباين والانحراف المعياري و وظيفة توليد اللحظة هي تركيب توزيع جاما، نظرًا لأن مشاكل الحياة الواقعية المختلفة سيتم تصميمها في توزيع جاما ، لذا يجب أن تكون المعلومات حسب الحالة مناسبة لتوزيع جاما لهذا الغرض ، توجد بالفعل تقنيات مختلفة في بيئة مختلفة ، على سبيل المثال في R و Matlab و excel وما إلى ذلك.

توزيع غاما المنقولة

     هناك حسب التطبيق والحاجة كلما كان شرط تحويل التوزيع المطلوب من توزيع غاما ذي معلمتين ، فإن المعلمة الثلاثة المعممة الجديدة أو أي توزيع غاما معمم آخر يغير موقع الشكل والمقياس ، ويعرف توزيع غاما هذا باسم توزيع غاما المحول

توزيع جاما المقطوع

     إذا قمنا بتقييد نطاق أو مجال توزيع جاما لمقياس الشكل ومعلمات الموقع ، يُعرف توزيع جاما المقيد باسم توزيع غاما المقتطع بناءً على الشروط.

وظيفة البقاء على قيد الحياة لتوزيع جاما

                يتم تعريف دالة البقاء لتوزيع جاما على الوظيفة s (x) على النحو التالي

[اللاتكس] S (x) = 1- \ frac {\ Gamma_ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0؛ \ gamma> 0 \ where \ \ \ Gamma_ {x} (a) = \ int_ {0} ^ {x} t ^ {a-1} e ^ {- t} dt [/ latex]

ملي من توزيع جاما | أقصى توزيع جاما احتمالية | دالة احتمالية توزيع جاما

نحن نعلم أن الاحتمالية القصوى تأخذ العينة من المجتمع كممثل وهذه العينة تعتبر مقدرًا لدالة كثافة الاحتمال لتعظيم معلمات دالة الكثافة ، قبل الانتقال إلى توزيع جاما ، تذكر بعض الأساسيات بالنسبة للمتغير العشوائي X دالة كثافة الاحتمال مع ثيتا كمعامل لها وظيفة الاحتمال كـ

[لاتكس] L (\ theta؛ x_ {1}، x_ {2}، …… .x_ {n}) = f _ {\ theta} (x_ {1}، x_ {2}، …… x_ {n}) ، [/ لاتكس]

هذا يمكننا التعبير عنه

[لاتكس] L (\ theta؛ x_ {1}، x_ {2}، …… .x_ {n}) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} f \ theta (x_ {i}) [/ اللاتكس ]

وطريقة تعظيم وظيفة الاحتمال هذه يمكن أن تكون

[اللاتكس] L (\ theta؛ x_ {1}، x_ {2}، …… .x_ {n}) = sup _ {(\ theta \ in \ theta)} L (\ theta؛ x_ {1}، x_ { 2} ، …… .x_ {n}) [/ لاتكس]

إذا كانت هذه ثيتا تفي بهذه المعادلة ، وبما أن السجل هو وظيفة رتيبة ، فيمكننا الكتابة من حيث السجل

[اللاتكس] logL (\ theta؛ x_ {1}، x_ {2}، …… .x_ {n}) = sup _ {(\ theta \ in \ theta)} log L (\ theta؛ x_ {1}، x_ {2} ، …… .x_ {n}) [/ لاتكس]

ومثل هذا السيادة موجود إذا

[لاتكس] {\ frac {\ تسجيل جزئي (\ hat {\ theta؛ x_ {1}… ..x_ {n}})} {\ جزئي \ theta_ {j}}} = 0 ، \ \ j = 1,2 ، XNUMX ، ... ك ، \ \ \ ثيتا = (\ ثيتا {1} ،… .. \ ثيتا {k}) [/ لاتكس]

نطبق الآن أقصى احتمالية لوظيفة توزيع جاما مثل

[لاتكس] f (x | \ alpha، \ beta) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} | \ alpha، \ beta) = \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} \ right) ^ {n} \ prod_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha -1} exp (- \ beta x_ {i}) \ propto \ beta ^ {n \ alpha} exp \ left (- \ beta \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) [/ latex]

سيكون احتمالية تسجيل الوظيفة

[لاتكس] \ imath (\ beta | \ alpha، x) \ propto n \ alpha log \ beta - \ beta n \ bar {x} \ propto \ alpha log \ beta - \ bar {x} \ beta [/ latex]

كذلك

[اللاتكس] 0 = \ frac {\ جزئي l} {\ جزئي \ beta} = \ frac {\ alpha} {\ beta} - \ bar {x}، [/ latex]

وبالتالي

[اللاتكس] \ hat {\ beta} = \ frac {\ alpha} {\ bar {x}} [/ latex]

هذا يمكن أن يتحقق أيضا

[اللاتكس] \ textbf {L} (\ alpha، \ beta | x) = \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x_ {1} ^ {\ alpha -1 } e ^ {- \ beta x_ {1}} \ right) …… .. \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x_ {n} ^ {\ alpha - 1} e ^ {- \ beta x_ {n}} \ right) = \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} \ right) ^ {n} (x_ {1 } (x_ {2} …… (x_ {n}) ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta} (x_ {1} + x_ {2} + …… x_ {n}) [/ لاتكس]

by

[اللاتكس] في \ textbf {L} (\ alpha، \ beta | x) = n (\ alpha In \ beta -In \ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha -1) \ sum_ {i = 1} ^ {n} Inx_ {i} - \ beta \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} [/ latex]

ويمكن الحصول على المعلمة عن طريق التفاضل

[لاتكس] \ فارك {\ جزئي} {\ جزئي \ ألفا} في \ textbf {L} (\ hat {\ alpha} ، \ hat {\ beta} | x) = n (In \ hat {\ beta} - \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha} In \ Gamma (\ hat {\ alpha})) + \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 0 [/ لاتكس ]

[لاتكس] \ frac {\ جزئي} {\ جزئي \ بيتا} في \ textbf {L} (\ hat {\ alpha} ، \ hat {\ beta} | x) = n \ frac {\ hat {\ alpha}} {\ hat {\ beta}} - \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 0 \ \ or \ \ \ bar {x} = \ frac {\ hat {\ alpha}} {\ hat {\ بيتا}} [/ لاتكس]

[اللاتكس] n (In \ hat {\ alpha} -In \ hat {x} - \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha} In \ Gamma (\ hat {\ alpha})) + \ sum_ {i = 1} ^ {n} Inx_ {i} = 0 [/ لاتكس]

طريقة تقدير معامل توزيع جاما للحظات | طريقة توزيع اللحظات مقدر جاما

   يمكننا حساب لحظات السكان والعينة بمساعدة توقع الترتيب التاسع على التوالي ، وتعادل طريقة اللحظة هذه لحظات التوزيع والعينة لتقدير المعلمات ، لنفترض أن لدينا عينة من متغير غاما العشوائي مع دالة كثافة الاحتمال مثل

[لاتكس] f (x | \ alpha، \ lambda) = \ frac {\ lambda ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ lambda x} ، \ \ x \ geq 0 [/ لاتكس]

نعلم أن أول عزمتين لدالة كثافة الاحتمال هذه هي

[اللاتكس] \ mu {1} = \ frac {\ alpha} {\ lambda} \ \ \ \ mu {2} = \ frac {\ alpha (\ alpha +1)} {\ lambda ^ {2}} [/ اللاتكس]

so

[اللاتكس] {\ lambda} = \ frac {\ alpha} {\ mu _ {1}} [/ اللاتكس]

سنحصل من اللحظة الثانية إذا استبدلنا لامدا

[لاتكس] \ فارك {\ مو {2}} {\ mu {1} ^ {2}} = \ frac {\ alpha +1} {\ alpha} [/ اللاتكس]

ومن هذه القيمة ألفا

[اللاتكس] \ alpha = \ frac {\ mu {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu _ {1} ^ {2}} [/ لاتكس]

والآن ستكون لامدا

[اللاتكس] \ lambda = \ frac {\ mu {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu {1} ^ {2}} \ frac {1} {\ mu {1}} \ \ \ \ \ = \ فارك {\ مو {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu _ {1} ^ {2}} [/ لاتكس]

وسيكون مقدر العزم باستخدام العينة

[لاتكس] \ قبعة {\ lambda} = \ frac {\ bar {X}} {\ hat {\ sigma} ^ {2}} [/ لاتكس]

فاصل الثقة لتوزيع جاما

   فاصل الثقة لتوزيع جاما هو طريقة لتقدير المعلومات وعدم اليقين فيها والذي يخبر أن الفترة من المتوقع أن يكون لها القيمة الحقيقية للمعامل عند ما هي النسبة المئوية ، يتم الحصول على فاصل الثقة هذا من ملاحظات المتغيرات العشوائية ، حيث يتم الحصول عليها من عشوائي هو بحد ذاته عشوائي للحصول على فاصل الثقة لتوزيع جاما هناك تقنيات مختلفة في تطبيقات مختلفة علينا اتباعها.

اقتران توزيع غاما مسبقًا للتوزيع الأسي | التوزيع المسبق لأشعة جاما | التوزيع اللاحق بويسون جاما

     التوزيع اللاحق والسابق هما مصطلحات بايزي نظرية الاحتمالات وهما مترافقان مع بعضهما البعض ، أي توزيعين مترافقان إذا كان الجزء الخلفي لتوزيع واحد هو توزيع آخر ، من حيث ثيتا ، دعنا نظهر أن توزيع غاما مترافق قبل التوزيع الأسي

إذا كانت دالة كثافة الاحتمال توزيع جاما من حيث ثيتا هو

[اللاتكس] f _ {\ Theta} (\ theta) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha} \ theta ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta \ theta}} {\ Gamma (\ alpha)} [/ اللاتكس]

افترض أن دالة التوزيع لثيتا أسية من البيانات المعطاة

[اللاتكس] f_ {X_ {i} | \ Theta} (x_ {i} | \ theta) = \ theta e ^ {- \ theta x_ {i}} [/ اللاتكس]

لذلك سيكون التوزيع المشترك

[اللاتكس] f (X | \ Theta) = \ theta ^ {n} e ^ {- \ theta \ sum x_ {i}} [/ اللاتكس]

واستخدام العلاقة

[اللاتكس] \ textbf {اللاحق} \ propto \ textbf {Likitality} \ X \ \ \ textbf {Prior} [/ latex]

لدينا

[اللاتكس] f _ {\ Theta | X} (\ theta | x) \ propto \ theta ^ {n} e ^ {- \ theta \ sum x_ {i}} x \ theta ^ {\ alpha -1} e ^ { - \ beta \ theta} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ theta ^ {n + \ alpha -1} e ^ {- \ theta (\ sum x_ {i} + \ beta)} [/ latex]

[اللاتكس] \ لذلك \ ثيتا | X \ sim \ textbf {Gamma} (n + \ alpha، \ sum x_ {i} + \ beta) [/ latex]

وهو

[لاتكس] و \ لامدا | X (\ lambda | x) \ propto \ lambda ^ {\ sum x_ {i} + \ alpha -1} e ^ {- (n + \ beta) \ lambda} [/ latex]

لذا فإن توزيع جاما يكون مترافقًا قبل التوزيع الأسي حيث أن التوزيع اللاحق هو توزيع جاما.

دالة توزيع جاما الكمية

   ستكون دالة Qauntile لتوزيع جاما هي الوظيفة التي تعطي النقاط في توزيع جاما والتي تتعلق بترتيب ترتيب القيم في توزيع جاما ، وهذا يتطلب دالة توزيع تراكمية ولغات مختلفة وخوارزمية ووظائف مختلفة لتوزيع جاما.

توزيع جاما المعمم

    نظرًا لأن توزيع غاما نفسه هو تعميم لعائلة التوزيع الأسي ، فإن إضافة المزيد من المعلمات إلى هذا التوزيع يعطينا توزيع غاما المعمم وهو التعميم الإضافي لعائلة التوزيع هذه ، فإن المتطلبات الفيزيائية تعطي تعميماً مختلفاً من التعميم المتكرر الذي يستخدم دالة كثافة الاحتمال كما

[اللاتكس] f (x) = \ frac {(\ frac {x- \ mu} {\ beta}) ^ {\ gamma -1} exp (- \ frac {x- \ mu} {\ beta})} { \ beta \ Gamma (\ gamma)} \ x \ geq \ mu؛ \ gamma، \ beta> 0 [/ latex]

يمكن الحصول على دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جاما المعمم بواسطة

[اللاتكس] F (x) = \ frac {\ Gamma _ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0، \ gamma> 0 [/ latex]

حيث يمثل البسط وظيفة جاما غير المكتملة كـ

[لاتكس] \ جاما {x} (أ) = \ int{0} ^ {\ infty} t ^ {a-1} e ^ {- t} dt [/ لاتكس]

باستخدام وظيفة غاما غير المكتملة هذه ، يمكن الحصول على وظيفة البقاء على قيد الحياة لتوزيع جاما المعمم

[اللاتكس] S (x) = 1- \ frac {\ Gamma _ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0، \ gamma> 0 [/ latex]

نسخة أخرى من توزيع غاما المعمم ذي المعلمات الثلاثة له دالة كثافة الاحتمال هو

[اللاتكس] f (t) = \ frac {\ beta} {\ Gamma (k) \ theta} \ left (\ frac {t} {\ theta} \ right) ^ {k \ beta -1} e ^ {- \ left (\ frac {t} {\ theta} \ right) ^ {\ beta}} [/ اللاتكس]

حيث k ، β ، هي المعلمات أكبر من الصفر ، فإن هذا التعميم به مشكلات تقارب للتغلب على معلمات Weibull

[اللاتكس] \ mu = In (\ theta) + \ frac {1} {\ beta}. في \ يسار (\ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ right) \ \ \ \ sigma = \ frac {1} {\ beta \ sqrt {k}} \ \ \ \ lambda = \ frac {1 } {\ sqrt {k}} \ \ \ \ Where \ \ - \ infty <\ mu 0، 0 <\ lambda [/ latex]

باستخدام هذه المعلمات ، فإن تقارب دالة الكثافة التي تم الحصول عليها ، وبالتالي فإن التعميم الأكثر لتوزيع جاما مع التقارب هو التوزيع مع دالة كثافة الاحتمال مثل

[اللاتكس] F (x) = \ تبدأ {الحالات}
\ frac {| \ lambda |} {\ sigma .t}. \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ right)}. e \ left [\ frac {\ lambda. \ frac {In (t) - \ mu} {\ sigma} + In \ left (\ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ right) -e ^ {\ lambda. \ frac { In. (t) - \ mu} {\ sigma}}} {\ lambda ^ {2}} \ right] & \ text {if} \ lambda \ neq 0
\\
\ frac {1} {t. \ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {1} {2} \ left (\ frac {In (t) - \ mu} {\ sigma} \ right ) ^ {2}} & \ text {if} \ lambda = 0
\ end {cases} [/ اللاتكس]

توزيع بيتا المعمم جاما

   توزيع غاما الذي يشتمل على المعلمة بيتا في دالة الكثافة والتي يُعرف بسببها أحيانًا توزيع جاما بتوزيع جاما بيتا المعمم مع دالة الكثافة

[اللاتكس] g _ {\ beta، \ gamma، c} (x) = \ frac {c \ lambda ^ {c \ beta}} {\ Gamma (\ beta)} x ^ {c \ beta -1} exp \ left {- (\ lambda x) ^ {c} \ right}، \ \ x> 0 [/ لاتكس]

مع دالة التوزيع التراكمي كـ

[اللاتكس] G _ {\ beta، \ gamma، c} (x) = \ frac {\ gamma (\ beta، (\ lambda x) ^ {c})} {\ Gamma (\ beta)}، [/ latex]

التي تمت مناقشتها بالفعل بالتفصيل في مناقشة توزيع جاما ، يتم تعريف توزيع غاما بيتا المعمم الإضافي باستخدام cdf على أنه

[اللاتكس] F (x) = I_ {G} (x) (a، b) = \ frac {1} {B (a، b)} \ int_ {0} ^ {G (x)} \ omega ^ { a-1} (1- \ omega) ^ {b-1} d \ omega، [/ latex]

حيث B (أ ، ب) هي دالة بيتا ، ويمكن الحصول على دالة كثافة الاحتمال لذلك عن طريق التفاضل وستكون دالة الكثافة

[اللاتكس] f (x) = \ frac {g (x)} {B (a، b)} G (x) ^ {a-1} \ left {1-G (x) \ right} ^ {b- 1} [/ لاتكس]

هنا G (x) هو التوزيع التراكمي المحدد أعلاه وظيفة لتوزيع جاما ، إذا وضعنا هذه القيمة ، فإن دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جاما بيتا المعمم هي

[اللاتكس] F (x) = I _ {\ gamma (\ beta، (\ lambda x) ^ {c}) / \ Gamma (\ beta)} (a، b) = \ frac {1} {B (a، ب)} \ int_ {0} ^ {{\ gamma (\ beta، (\ lambda x) ^ {c}) / \ Gamma (\ beta)}} \ omega ^ {a-1} (1- \ omega) ^ {b-1} د \ أوميغا [/ لاتكس]

ودالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ frac {c \ lambda ^ {c \ beta} x ^ {c \ beta -1} exp \ left {- (\ lambda x) ^ {c} \ right} \ gamma (\ بيتا ، (\ lambda x) ^ {c}) ^ {a-1} \ left {\ Gamma (\ beta) - \ gamma (\ beta، (\ lambda x) ^ {c}) \ right} ^ {b -1}} {B (a، b) \ Gamma (\ beta) ^ {a + b-1}} [/ اللاتكس]

المتبقي يمكن تمديد الخصائص لتوزيع جاما المعمم بيتا بالتعاريف المعتادة.

الخلاصة:

هناك أشكال مختلفة وتعميم توزيع جاما وعائلة توزيع جاما الأسية وفقًا لمواقف الحياة الواقعية ، لذا فقد تمت تغطية مثل هذه الأشكال والتعميمات الممكنة بالإضافة إلى طرق تقدير توزيع غاما في عينات السكان من المعلومات ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة حول عائلة توزيع جاما الأسية ، يرجى الانتقال من خلال الرابط أدناه والكتب. لمزيد من الموضوعات حول الرياضيات يرجى زيارة صفحتنا.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات