المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي: 5 حقائق


المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي

عادة لسنا مهتمين بكل النتائج المحتملة لأي تجربة عشوائية أو غير عشوائية بدلاً من ذلك فنحن مهتمون ببعض الاحتمالات أو القيمة العددية للأحداث المفضلة ، على سبيل المثال لنفترض أننا نرمي نردتين للحصول على المجموع 8 ثم لسنا كذلك مهتم بالنتيجة مثل النرد الأول الذي يحتوي على نرد ثانيتين مثل 2 أو (6،3,5) ، (5,3،4,4) ، (6,2،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، إلخ. وبالمثل بالنسبة للتجربة العشوائية للخزان في الحياة اليومية ، فنحن لا نهتم بالزيادة أو النقصان اليومي في منسوب المياه ولكننا مهتمون فقط بمستوى مياه موسم الأمطار بعد الانتهاء.

لذا فإن هذه الكميات العددية التي نهتم بها تعتبر متغيرًا عشوائيًا للتجربة العشوائية المعنية. لهذا الغرض ، نخصص القيم الحقيقية المحتملة لنتائج التجربة العشوائية عدديًا. للتوضيح لتعيين قيمة عددية للنتيجة ، ضع في اعتبارك تجربة رمي عملة معدنية ، قمنا بتعيين القيمة العددية 0 و 1 للرأس والمسار على التوالي في مساحة العينة للتجربة العشوائية. 

المتغير العشوائي المنفصل

المتغير العشوائي المنفصل يمكن تعريفه على أنه المتغير العشوائي المحدود أو اللانهائي من حيث العدد وأولئك الذين ليسوا منتهيين أو لانهائيون هم متغيرات عشوائية غير منفصلة. لكل عنصر من عناصر مساحة العينة نقوم بتعيين رقم حقيقي ، يمكن تفسير ذلك من حيث الوظيفة ذات القيمة الحقيقية المشار إليها بواسطة X ie X: S → R. نسمي هذه الوظيفة كمتغير عشوائي أو دالة عشوائية ، والتي لها بعض الأهمية المادية أو الهندسية أو أي أهمية أخرى.

مثال: فكر في تجربة رمي نرد ثم افترض متغير عشوائي أو دالة عشوائية تمثل مجموع النقاط التي ظهرت على النرد ثم القيم الممكنة لمساحة العينة

S = {(1,1،1) ، (2 ، 1,3) ، (1,4،1,5) ، (1,6،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ،

          (2,1،2,2) ، (2,3،2,4) ، (2,5،2,6) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ،

          (3,1،3,2) ، (3,3،3,4) ، (3,5،3,6) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ،

        (4,1،4,2) ، (4,3،4,4) ، (4,5،4,6) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ،

        (5,1،5,2) ، (5,3،5,4) ، (5,5،5,6) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ،

        (6,1،6,2) ، (6,3،6,4) ، (6,5،6,6) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX) ، (XNUMX،XNUMX)}

سيكون X = 2 ، لـ (1,1،XNUMX)

X = 3 لـ (1,2،2,1) ، (XNUMX،XNUMX) إلخ مما يلي يمكننا فهمه بسهولة

X = 21,11,21,31,41,51,6
X = 32,12,22,32,42,52,6
X = 43,13,23,33,43,53,6
4,14,24,34,44,54,6
X = 55,15,25,35,45,55,6
X = 66,16,26,36,46,56,6
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

في الجدول أعلاه ، ستعطي العناصر القطرية من اليمين إلى اليسار المجموع الذي يعبر عنه المتغير العشوائي أو الدالة العشوائية.

يمكن التعبير عن احتمال المتغير العشوائي المعني على النحو التالي

المتغير العشوائي المنفصل
المتغير العشوائي المنفصل: رمي مساحة عينة نرد

التوزيع الاحتمالي المنفصل

توزيع احتمالي منفصل هي احتمالات المتغيرات العشوائية المنفصلة بطبيعتها ، خاصة إذا كانت س1، X2، X3، X4، ………. ، xk هي قيم المتغير العشوائي المنفصل X ثم P (x1) ، ف (س2) ، ف (س3) ، ف (س4) ، ……… .P (xk) هي الاحتمالات المقابلة.

دالة الاحتمال / توزيع الاحتمالات يمكننا الإشارة إليه على أنه 

الفوسفور (س = س) = و (س)

واتباع تعريف الاحتمال هذه الوظيفة تفي بالشروط التالية.

  1. و (خ) ≥0
  2. Σ f (x) = 1 ، حيث يكون هذا المجموع هو المجموع الكلي لـ x.

على سبيل المثال: إذا تم رمي عملة معدنية مرتين ، فعندئذٍ إذا عبرنا عن عدد المسارات التي تظهر كمتغير عشوائي X ، فسيكون 

نتائجTTTHHTHH
X2110

إذا أخذنا العملة العادلة ، فسيكون ما سبق هو نتيجة القذف مرتين وسيكون احتمال هذا المتغير العشوائي

الفوسفور (س = 0) = الفوسفور (ح ، ح) = 1/4

P (X = 1) = P (TH أو HT) = P (TH HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

و P (X = 2) = P (TT) = 1/4

هذا التوزيع الاحتمالي يمكننا جدولة على النحو التالي

X012
الفوسفور (س = س) = و (س)¼½1/4

دالة التوزيع التراكمي (cdf) / دالة التوزيع

سوف نحدد وظيفة التوزيع or دالة التوزيع التراكمي (cdf) للمتغير العشوائي المنفصل X المشار إليه بواسطة F (x) ، لـ ∞≤x≤∞ كـ

F (x) = P (X≤x)

شريطة أن يتبع

  1. لأي x ، y ، x≤y ، F (x) ≤ F (y) أي دالة التوزيع التراكمي F (x) غير متناقصة.
  2. F (x) = 0 و F (x) = 1
  3. F (x + h) = F (x) ، ∀ x ie. دالة التوزيع التراكمي F (x) متصلة مباشرة.

منذ ل المتغير العشوائي المنفصل احتمال X = x هو P (X = x) ، بالنسبة إلى x1<X<x2 سيكون P (x1<X<x2) ولـ X≤x هو P (X≤x).

يمكننا كتابة دالة التوزيع لوظيفة التوزيع المنفصل على النحو التالي

المتغير العشوائي المنفصل
المتغير العشوائي المنفصل: دالة التوزيع التراكمي

يمكننا الحصول على دالة الاحتمال من دالة التوزيع مثل

الفوسفور (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

على سبيل المثال: يوفر الاحتمالات للمتغير العشوائي المنفصل كما يلي

X01234567
ص (خ)01/10 1/5 1/5 3/10 1/100 1/50 17/100
دالة التوزيع التراكمي

أوجد F2، F5، F (7)؟

حل:

المتغير العشوائي المنفصل
المتغير العشوائي المنفصل: مثال

توقع رياضي 

   توقع رياضي هو مفهوم مهم جدًا لـ نظرية الاحتمالات بالإضافة إلى وجهة نظر الإحصاء ، تُعرف أيضًا باسم التوقع أو القيمة المتوقعة ، ويمكن تعريفها على أنها جمع المتغيرات العشوائية واحتمالاتها في الضرب ، أي إذا كانت x1، X2، X3، X4، ……… .xn هي قيم المتغير العشوائي المنفصل X ثم P (x1) ، ف (س2) ، ف (س3) ، ف (س4) ، ……… .P (xn) هي الاحتمالات المقابلة إذن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي يشير إلى X بواسطة E (x) كـ

المتغير العشوائي المنفصل
المتغير العشوائي المنفصل: مثال

على سبيل المثال: من حزمة مكونة من 72 بطاقة مرقمة من 1 إلى 72 في وقت واحد يتم سحب 8 بطاقات ، ابحث عن القيمة المتوقعة لمجموع الأرقام على التذاكر المسحوبة.

حل:. ضع في اعتبارك المتغيرات العشوائية x1، X2، X3، X4، ……… .xn تمثل البطاقات المرقمة 1، 2، 3، 4، …………، 72

لذا فإن احتمال أي x من أصل 72 بطاقة هو 

ص (xi) = 1 / ن = 1/72

منذ ذلك الحين سيكون التوقع

ه (س) = س1. (1 / ن) + س2. (1 / ن) + س3. (1 / ن) + ……………… + + xn. (1 / ن)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

الآن ستكون القيمة المتوقعة لـ 8 من هذه البطاقات 

ه (س) = س1. (1 / ن) + س2. (1 / ن) + س3. (1 / ن) + ……………… + + x8. (1 / ن)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

التباين, الانحراف المعياري و يعني الانحراف عن طريق التوقعات الرياضية

يوفر مفاهيم مهمة للإحصاء الانحراف المعياري و فرق يمكننا التعبير من حيث التوقع الرياضي ، لذلك إذا كانت المتغيرات العشوائية س1، X2، X3، X4، ……… .xn مع الاحتمالات المقابلة P (x1) ، ف (س2) ، ف (س3) ، ف (س4) ، ……… .P (xn) سيكون التباين

المتغير العشوائي المنفصل
المتغير العشوائي المنفصل: الانحراف المعياري

على سبيل المثال: في اللعبة إذا تم استخدام نرد عادل وسيفوز اللاعب إذا ظهرت أي قيمة فردية على النرد وسيتم منح أموال الجائزة 20 روبية إذا جاء 1 و 40 روبية مقابل 3 و 60 روبية مقابل 5 وإذا كان هناك أي وجه آخر للنرد جاء الخسارة 10 روبية للاعب. ابحث عن الأموال المتوقعة التي يمكن ربحها بالتباين والانحراف المعياري.

حل:

بالنسبة إلى النرد العادل ، نعرف توزيع الاحتمالات ،

X123456
الفوسفور (س = س)1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
الانحراف المعياري

دع X يكون المتغير العشوائي لتحويل النرد وفقًا لمتطلبات اللعبة ، حيث يتم الفوز أو الخسارة عندما يأتي الوجه على النحو التالي ،

X20+-1040-1060-10
الفوسفور (س = س)1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
الانحراف المعياري

لذلك سيكون المبلغ المتوقع الذي فاز به أي لاعب

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

لذا فإن المبلغ المتوقع الذي فاز به أي لاعب سيكون μ = 15

المتغير العشوائي المنفصل
المتغير العشوائي المنفصل: الانحراف المعياري

يمكن تعميم نتيجة التوقع الرياضي وكذلك التباين لأكثر من متغيرين حسب المتطلبات.

الخلاصة:

   ناقشنا في هذه المقالة بشكل أساسي المتغير العشوائي المنفصل ، ووظيفة التوزيع الاحتمالي والتوزيع المعروفة باسم دالة التوزيع التراكمي cdf ، وكذلك مفهوم التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع وماذا سيكون متوسط ​​الانحراف والتباين والانحراف المعياري لمثل هذا المتغير العشوائي المنفصل موضحًا بمساعدة أمثلة مناسبة في المقالة التالية سنناقش نفس الشيء للمتغير العشوائي المستمر ، إذا كنت تريد مزيدًا من القراءة ، فانتقل إلى:

لمزيد من الموضوعات حول الرياضيات ، يرجى اتباع هذا الصفحة .

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات