التباين ، تباين المجاميع: 7 حقائق مهمة


التباين والتباين في المتغيرات العشوائية وارتباطات المتغيرات العشوائية

  من السهل الحصول على المعلمات الإحصائية للمتغيرات العشوائية ذات الطبيعة المختلفة باستخدام تعريف توقع المتغير العشوائي وفهمها ، وفي ما يلي سنجد بعض المعلمات بمساعدة التوقع الرياضي للمتغير العشوائي.

لحظات عدد الأحداث التي تقع

    نحن نعلم حتى الآن أن توقع قوى مختلفة للمتغير العشوائي هي لحظات المتغيرات العشوائية وكيفية العثور على توقع المتغير العشوائي من الأحداث إذا كان عدد الأحداث قد حدث بالفعل ، الآن نحن مهتمون بالتوقع إذا كان زوج من عدد الأحداث قد حدث بالفعل ، الآن إذا كان X يمثل عدد الأحداث التي حدثت ، فعندئذٍ للأحداث أ1، A2، ….،أn تحديد متغير المؤشر الأولi as

سيكون توقع X بالمعنى المنفصل

لأن المتغير العشوائي X هو

الآن للعثور على توقع إذا حدث عدد من الأحداث بالفعل يجب علينا استخدامها مجموعة as

هذا يعطي التوقع

من هذا نحصل على توقع x مربع وقيمة التباين أيضًا بواسطة

باستخدام هذه المناقشة ، نركز أنواعًا مختلفة من المتغيرات العشوائية للعثور على مثل هذه اللحظات.

لحظات المتغيرات العشوائية ذات الحدين

   إذا كان p هو احتمال النجاح من n من التجارب المستقلة ، فلنرمز إلى Ai للمحاكمة أنا كنجاح ذلك

ومن ثم تباين المتغير العشوائي ذي الحدين سوف يكون

لان

إذا قمنا بتعميم أحداث k

هذا التوقع يمكننا الحصول عليه تباعا لقيمة k أكبر من 3 دعونا نجد 3

باستخدام هذا التكرار يمكننا الحصول عليه

لحظات المتغيرات العشوائية فوق الهندسية

  لحظات هذا المتغير العشوائي التي سوف نفهمها بمساعدة مثال لنفترض أن أقلامًا تم اختيارها عشوائيًا من مربع يحتوي على أقلام N منها م باللون الأزرق ، دع Ai يشير إلى الأحداث التي يكون فيها القلم i أزرق ، والآن X هو عدد القلم الأزرق المحدد يساوي عدد الأحداث A1,A2،…..،أn التي تحدث لأن القلم ith الذي تم تحديده يكون متساويًا في احتمال ظهور أي من أقلام N التي يكون m باللون الأزرق

و حينئذ

هذا يعطي

لذلك سيكون تباين المتغير العشوائي فوق الهندسي

بطريقة مماثلة في اللحظات الأعلى

من هنا

لحظات المتغيرات العشوائية الفائقة الهندسية السلبية

  ضع في اعتبارك مثال الحزمة التي تحتوي على لقاحات n + m التي تكون n خاصة و m عادية ، تتم إزالة هذه اللقاحات واحدة تلو الأخرى ، مع احتمال أن تكون كل عملية إزالة جديدة أيًا من اللقاحات المتبقية في العبوة. الآن دع المتغير العشوائي Y يشير إلى عدد اللقاحات التي يجب سحبها حتى يتم إزالة إجمالي عدد اللقاحات الخاصة ، وهو توزيع فرط هندسي سلبي ، وهذا مشابه إلى حد ما مع ذي الحدين السالب إلى ذي الحدين فيما يتعلق بالتوزيع فوق الهندسي. لتجد ال الاحتمالات وظيفة الكتلة إذا أعطى السحب k لقاحًا خاصًا بعد سحب k-1 يعطي لقاح r-1 الخاص و kr العادي

الآن المتغير العشوائي Y

ص = ص + س

للأحداث أi

as

ومن ثم للعثور على تباين Y يجب أن نعرف تباين X لذلك

من هنا

التباين             

يمكن تمثيل العلاقة بين متغيرين عشوائيين بواسطة التباين المشترك للمعامل الإحصائي ، قبل تعريف التباين المشترك لمتغيرين عشوائيين X و Y تذكر أن توقع وظيفتين g و h للمتغيرين العشوائيين X و Y على التوالي

باستخدام علاقة التوقع هذه يمكننا تعريف التباين المشترك

   "التباين المشترك بين المتغير العشوائي X والمتغير العشوائي Y المشار إليه بواسطة cov (X ، Y) يعرف بأنه

باستخدام تعريف التوقع والتوسع الذي نحصل عليه

من الواضح أنه إذا كان المتغير العشوائي X و Y مستقلين إذن

لكن العكس ليس صحيحًا على سبيل المثال إذا

وتعريف المتغير العشوائي Y كـ

so

من الواضح هنا أن X و Y ليسا مستقلين ولكن التغاير هو صفر.

خصائص التغاير

  التباين بين المتغيرات العشوائية X و Y له بعض الخصائص على النحو التالي

باستخدام تعريف التغاير ، تكون الخصائص الثلاثة الأولى فورية وتتبع الخاصية الرابعة بالنظر

الآن بالتعريف

التغاير

تباين المجاميع

النتيجة المهمة من هذه الخصائص

as

إذا كان Xi ثم تكون مستقلة عن الزوج

مثال: تباين المتغير العشوائي ذي الحدين

  إذا كان X هو المتغير العشوائي

حيث Xi هي متغيرات برنولي العشوائية المستقلة من هذا القبيل

 ثم أوجد تباين المتغير العشوائي ذي الحدين X مع المعلمات n و p.

حل:

منذ

لذلك لدينا متغير واحد

لذا فإن التباين

مثال

  للمتغيرات العشوائية المستقلة Xi مع الوسائل والتباين المعني ومتغير عشوائي جديد مع الانحراف مثل

ثم احسب

حل:

باستخدام الخاصية والتعريف أعلاه لدينا

الآن للمتغير العشوائي S.

التباين

خذ التوقع

على سبيل المثال:

أوجد التغاير في وظائف المؤشر للحدثين أ و ب.

حل:

بالنسبة للأحداث A و B ، فإن وظائف المؤشر هي

لذا فإن توقع هؤلاء

وبالتالي فإن التباين هو

على سبيل المثال:

     اظهر ذلك

حيث Xi متغيرات عشوائية مستقلة مع التباين.

حل:

سيكون التباين باستخدام الخصائص والتعريف

على سبيل المثال:

  احسب متوسط ​​وتباين المتغير العشوائي S وهو مجموع قيم n عينة إذا كانت مجموعة من N من الأشخاص لكل منهم رأي حول موضوع معين يتم قياسه بواسطة رقم حقيقي v التي تمثل "قوة شعور" الشخص تجاه الموضوع. يترك  تمثل قوة الشعور الشخصي  وهو غير معروف ، لجمع المعلومات ، يتم أخذ عينة من n من N بشكل عشوائي ، ويتم استجواب هؤلاء الأشخاص n ويتم الحصول على شعورهم لحساب vi

حل

دعونا نحدد وظيفة المؤشر على أنها

وبالتالي يمكننا التعبير عن S كـ

وتوقعها مثل

هذا يعطي التباين كـ

منذ

لدينا

نعرف الهوية

so

لذلك سيكون المتوسط ​​والتباين للمتغير العشوائي المذكور

الخلاصة:

يتم تعريف الارتباط بين متغيرين عشوائيين على أنه التباين المشترك واستخدام التغاير ، يتم الحصول على مجموع التباين لمتغيرات عشوائية مختلفة ، ويتم الحصول على التباين المشترك واللحظات المختلفة بمساعدة تعريف التوقع ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة من خلال

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح.

لمزيد من المنشورات حول الرياضيات ، يرجى اتباع صفحة الرياضيات

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق. لقد أكملت رسالة الدكتوراه الخاصة بي. في الرياضيات والعمل أستاذا مساعدا في الرياضيات. لديه خبرة 12 عامًا في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات

الارتباط بـ 13 أمثلة من المعادن الحديدية: حقائق يجب أن تعرفها

13 أمثلة على المعادن الحديدية: حقائق يجب أن تعرفها

المعادن الحديدية هي تلك المعادن التي تحتوي على الحديد. يتكون من الحديد وسبائكه. دعونا نناقش هنا أمثلة مختلفة من المعادن الحديدية. يتم سرد الأمثلة الشائعة للمعادن الحديدية ...