المتغير العشوائي المستمر: 3 حقائق مهمة


المتغير العشوائي المستمر وأنواعه وتوزيعه

     يُعرف المتغير العشوائي الذي يأخذ القيم المحدودة أو اللانهائية بالمتغير العشوائي المنفصل ويشكل الزوج مع الاحتمالية التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. الآن بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يأخذ القيم على أنها غير معدودة ، ما هو الاحتمال والخصائص المتبقية التي سنناقشها. وهكذا باختصار ، فإن المتغير العشوائي المستمر هو المتغير العشوائي الذي مجموعة قيمه غير قابلة للعد. مثال الحياة الواقعية للمتغير العشوائي المستمر هو العمر الافتراضي للمكونات الكهربائية أو الإلكترونية ووصول مركبة عامة محددة في المحطات وما إلى ذلك.

المتغير العشوائي المستمر ودالة كثافة الاحتمال

                متغير عشوائي  سيكون متغيرًا عشوائيًا مستمرًا لوظيفة ذات قيمة حقيقية غير سالبة f على x وب ⊆  و  

[اللاتكس] \ [P \ left \ {X \ in B \ right \} = \ int_ {B} f (x) dx \] [/ اللاتكس]

تُعرف هذه الوظيفة f باسم دالة كثافة الاحتمال  من المتغير العشوائي المحدد X.

يوفر من الواضح أن دالة كثافة الاحتمال تفي بالبديهيات الاحتمالية التالية

[اللاتكس] \ [1. \ \ f (x) \ geq 0 \] [/ لاتكس]

[لاتكس] \ [2. \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = 1 \] [/ اللاتكس]

نظرًا لأننا نعلم من بديهيات الاحتمال أن الاحتمال الكلي هو واحد

[اللاتكس] \ 1 = P [X \ in (- \ infty، \ infty)] = \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx \ [/ latex]

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر ، سيتم حساب الاحتمال من حيث هذه الوظيفة f ، لنفترض أننا نريد إيجاد احتمالية الفترة المستمرة لنقل [أ ، ب] ثم سيكون

[اللاتكس] P \ left {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx [/ اللاتكس]

كما نعلم ، يمثل التكامل المنطقة الواقعة أسفل المنحنى ، لذا فإن هذا الاحتمال يوضح مثل هذه المنطقة للاحتمال مثل

متغير عشوائي مستمر | توزيعه المهم
متغير عشوائي مستمر

من خلال معادلة أ = ب ستكون القيمة

[اللاتكس] P {\ left {X = a \ right}} = \ int_ {a} ^ {a} f (x) dx = 0 [/ اللاتكس]

وبطريقة مماثلة فإن احتمال القيمة أقل من أو يساوي قيمة معينة باتباع ذلك سيكون

[اللاتكس] P \ left {X <a \ right} = P \ left {X \ leq a \ right} = F (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx [/ latex ]

على سبيل المثال: يتم التعبير عن وقت العمل المستمر للمكون الإلكتروني في شكل متغير عشوائي مستمر ويتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال على النحو التالي

[اللاتكس] x = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- x / 100} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x \ geq 0 \ end {cases} [/ latex]

أوجد احتمالية أن المكون سيعمل بفاعلية ما بين 50 إلى 150 ساعة واحتمال أقل من 100 ساعة.

نظرًا لأن المتغير العشوائي يمثل المتغير العشوائي المستمر ، فإن دالة كثافة الاحتمال الواردة في السؤال تعطي الاحتمال الإجمالي كـ

[اللاتكس] 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = \ lambda \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x / 100} dx [/ latex]

لذلك سوف نحصل على قيمة λ

[latex]1=-\lambda (100)e^{-x/100}\lvert_{\infty }^{0}=100\lambda[/latex]

λ = 1/100

لاحتمال 50 ساعة إلى 150 ساعة لدينا

[اللاتكس] P \ left {50 <X <150 \ right} = \ int_ {50} ^ {150} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx [/ latex]

[اللاتكس] = - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {150} ^ {50} [/ اللاتكس]

[latex]=e^{-1/2} -e^{-3/2}\approx .384[/latex]

بنفس الطريقة سيكون الاحتمال أقل من 100

[اللاتكس] P \ left {X <100 \ right} = \ int_ {0} ^ {100} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx [/ latex]

[اللاتكس] = - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {0} ^ {100} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = 1- e ^ {- 1} \ almost .633 [/ latex]

على سبيل المثال: يحتوي الجهاز المعتمد على الكمبيوتر على عدد من الشرائح ذات العمر الافتراضي الذي تحدده دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} 0 & \ x \ leq 100 \ \ frac {100} {x ^ {2}} & \ x> 100 \ end {cases} [/ latex]

ثم بعد 150 ساعة ، اكتشف احتمال أن يتعين علينا استبدال شريحتين من إجمالي 2 شرائح.

لنفترض Ei يكون الحدث لاستبدال شرائح i. لذا فإن احتمال حدوث مثل هذا الحدث سيكون

[اللاتكس] P (E_ {i}) = \ int_ {0} ^ {150} f (x) dx [/ اللاتكس]

[latex]=100\int_{100}^{150} x^{-2}dx =\frac{1}{3}[/latex]

نظرًا لأن جميع الرقائق تعمل بشكل مستقل ، فإن احتمال استبدال 2 سيكون

[latex]p(X) = \binom{5}{2} (\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{80}{243}[/latex]

دالة التوزيع التراكمي

  يتم تعريف دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المستمر بمساعدة دالة التوزيع الاحتمالي كـ

[اللاتكس] F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) du [/ latex]

في شكل آخر

[اللاتكس] F (a) = P (X \ in (- \ infty، a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx [/ latex]

يمكننا الحصول على دالة كثافة الاحتمال بمساعدة دالة التوزيع مثل

[اللاتكس] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F (a) = f (a) [/ اللاتكس]

التوقع الرياضي وتباين المتغير العشوائي المستمر

توقع

يوفر التوقع الرياضي أو متوسط ​​المتغير العشوائي المستمر  مع دالة كثافة الاحتمال يمكن تعريفها على أنها

[اللاتكس] E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx [/ latex]

  • لأي دالة ذات قيمة حقيقية لمتغير عشوائي مستمر X سيكون التوقع

[اللاتكس] E [g (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f (x) dx [/ latex]

حيث g هي القيمة الحقيقية وظيفة.

  1. لأي مستمر غير سلبي متغير عشوائي ذ سيكون التوقع

[اللاتكس] E [Y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} P \ left {Y> y \ right} dy [/ latex]

  • لأي ثوابت أ و ب

E [aX + b] = aE [X] + ب

التباين

                تباين المتغير العشوائي المستمر X مع المتغير المتوسط ​​أو التوقع  يمكن تعريفه بنفس الطريقة التي يعرف بها المتغير العشوائي المنفصل

[اللاتكس] Var (X) = E [(X - \ mu) ^ {2}] [/ لاتكس]

[لاتكس] Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2} [/ لاتكس]

لأي ثوابت أ و ب

[اللاتكس] Var (aX + b) = a ^ {2} Var (X) [/ اللاتكس]

   إثبات كل ما سبق خصائص التوقع والتباين يمكننا الحصول عليها بسهولة باتباع الخطوات التي لدينا في المتغير العشوائي المنفصل وتعريفات التوقع والتباين والاحتمال من حيث المتغير العشوائي المستمر

على سبيل المثال: إذا تم إعطاء دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي المستمر X بواسطة

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} 2x & \ if \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ خلاف ذلك \ end {cases} [/ latex]

ثم أوجد التوقع والتباين للمتغير العشوائي المستمر X.

حل:  لدالة كثافة الاحتمال المعطاة

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} 2x & \ if \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ خلاف ذلك \ end {cases} [/ latex]

ستكون القيمة المتوقعة من خلال التعريف

[اللاتكس] E [X] = \ int xf (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {2} dx = \ frac {2} {3} [/ latex]

الآن للعثور على التباين الذي نطلبه السابق2]

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} f (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {3} dx = \ frac {1} {2} [/ اللاتكس]

منذ

[لاتكس] Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2} [/ لاتكس]

so

[اللاتكس] Var (X) = \ frac {1} {2} - (\ frac {2} {3}) ^ {2} = \ frac {1} {18} [/ اللاتكس]

متغير عشوائي موحد

    إذا كان المتغير العشوائي المستمر X لديه دالة كثافة الاحتمال المعطاة بواسطة

[اللاتكس] f (x) = \ begin {cases} 1 & \ 0 <x <1 \\ 0 & \ خلاف ذلك \ end {cases} [/ latex]

خلال الفترة (0,1،XNUMX) ، يُعرف هذا التوزيع بالتوزيع المنتظم ويعرف المتغير العشوائي باسم المتغير العشوائي المنتظم.

  • لأي ثوابت أ و ب مثل هذا 0

[اللاتكس] P \ left {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = ba [/ latex]

  • بدلاً من الفاصل الزمني (0,1،XNUMX) يمكننا تعميم التوزيع المنتظم على أي فترة عامة (α ، β)  إذا كانت دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي هي

[اللاتكس] f (x) = \ start {cases} \ frac {1} {\ beta - \ alpha} & \ if \ \ \ alpha

متغير عشوائي مستمر
المتغير العشوائي المستمر: المتغير العشوائي المنتظم

توقع وتباين المتغير العشوائي الموحد

      للمتغير العشوائي المستمر بشكل منتظم X في الفترة العامة (α ، β) سيكون التوقع حسب التعريف

[اللاتكس] E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx [/ latex]

[اللاتكس] = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x} {\ beta - \ alpha} dx [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ beta ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {2 (\ beta - \ alpha)} [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ beta + \ alpha} {2} [/ اللاتكس]

والتباين الذي سنحصل عليه إذا وجدنا أولاً السابق2]

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x ^ {2}} {\ beta - \ alpha} dx [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ beta ^ {3} - \ alpha ^ {3}} {3 (\ beta - \ alpha)} [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3} [/ latex]

so

[لاتكس] Var (X) = \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3} - \ frac {(\ alpha + \ beta) ^ {2}} {4 } [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {(\ beta - \ alpha) ^ {2}} {12} [/ اللاتكس]

مثال: في محطة معينة ، تصل القطارات الخاصة بالوجهة المحددة بتردد 15 دقيقة من 7 صباحًا للراكب الموجود في المحطة في وقت ما بين 7 إلى 7.30 موزعة بشكل موحد ، ما هو احتمال أن يحصل الراكب على القطار في غضون 5 دقائق وماذا سيكون الاحتمال لأكثر من 10 دقائق.

حل: نظرًا لأن الوقت من 7 إلى 7.30 يتم توزيعه بشكل موحد على أن يكون الراكب في محطة السكة الحديد ، قم بالإشارة إلى ذلك بواسطة متغير عشوائي عشوائي X. وبالتالي فإن الفاصل الزمني سيكون (0 ، 30)

نظرًا لأنه للحصول على القطار في غضون 5 دقائق ، يجب أن يكون الراكب في المحطة بين 7.10 إلى 7.15 أو 7.25 إلى 7.30 لذا فإن الاحتمال سيكون

[اللاتكس] P \ left {10 <X <15 \ right} + P \ left {25 <X <30 \ right} = \ int_ {10} ^ {15} \ frac {1} {30} dx + \ int_ {25} ^ {30} \ frac {1} {30} dx [/ اللاتكس]

= 1 / 3

بطريقة مماثلة للحصول على القطار بعد الانتظار لأكثر من 10 دقائق ، يجب أن يكون الراكب في المحطة من 7 إلى 7.05 أو 7.15 إلى 7.20 لذا فإن الاحتمال سيكون

[اللاتكس] P \ left {0 <X <5 \ right} + P \ left {15 <X <20 \ right} = \ frac {1} {3} [/ اللاتكس]

على سبيل المثال: أوجد احتمال المتغير العشوائي المنتظم X الموزع على الفترة (0,10،XNUMX)

لـ X <3 و X> 6 و 3

حل: نظرًا لأن المتغير العشوائي يتم توزيعه بشكل موحد ، فإن الاحتمالات ستكون

[اللاتكس] P \ left \ {X <3 \ right \} = \ int_ {0} ^ {3} \ frac {1} {10} dx = \ frac {3} {10} [/ latex]

[اللاتكس] P \ left {X> 6 \ right} = \ int_ {6} ^ {10} \ frac {1} {10} dx = \ frac {4} {10} [/ latex]

[اللاتكس] P \ left {3 <X <8 \ right} = \ int_ {3} ^ {8} \ frac {1} {10} dx = \ frac {1} {2} [/ latex]

مثال: (مفارقة بيرتراندز) لأي وتر عشوائي لدائرة. ما هو احتمال أن يكون طول هذا الوتر العشوائي أكبر من ضلع المثلث متساوي الأضلاع المدرج في نفس الدائرة.

هذه المشاكل ليس لها تصريح بخصوص الوتر العشوائي لذلك تم إعادة صياغة هذه المشكلة من حيث القطر أو الزاوية ثم الإجابة على أنها 1/3 تم الحصول عليها.

الخلاصة:

   في هذه المقالة تمت مناقشة مفهوم المتغير العشوائي المستمر وتوزيعه مع دالة الكثافة الاحتمالية وتم إعطاء متوسط ​​المعلمة الإحصائية ، التباين للمتغير العشوائي المستمر. تم إعطاء المتغير العشوائي المنتظم وتوزيعه مع المثال وهو نوع المتغير العشوائي المستمر في المقالة التالية سنركز على بعض الأنواع المهمة للمتغير العشوائي المستمر مع أمثلة وخصائص مناسبة. ، إذا كنت تريد مزيدًا من القراءة ، فانتقل إلى:

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

إذا كنت ترغب في قراءة المزيد من الموضوعات حول الرياضيات ، فتابع صفحة الرياضيات.

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات