معادلة الاستمرارية: 7 مفاهيم مهمة


قائمة المحتويات

  • معادلة الاستمرارية
  • معادلة الاستمرارية الشكل التفاضلي
  • معادلة الاستمرارية للتدفق غير القابل للضغط
  • معادلة الاستمرارية لتدفق متحد المستوى ثنائي الأبعاد
  • مثال معادلة الاستمرارية
  • أسئلة وإجابات
  • MCQ
  • في الختام

معادلة الاستمرارية

يُفترض أن السائل الذي يتدفق عبر أنبوب التيار هو السائل المثالي. لا يوجد تدفق يحدث عبر الانسياب. هذا يعني أن السائل يدخل في أحد الأطراف ويترك في الطرف الآخر لا يوجد مخرج بيني. ضع في اعتبارك حالة التدفق عند المقطع العرضي للمدخل 1-1 على النحو التالي ،

دفق أنبوب
المعلماتقسم مدخل 1-1قسم المخرج 2-2
مساحة المقطع العرضيAأ + د
متوسط ​​كثافة السوائل?؟ + د؟
يعني سرعة التدفقVV + دي في

يتم إعطاء كتلة السوائل التي تتدفق بين هذين القسمين المعتبرين بالصيغة التالية ،

dm = (AV؟ dt) - (A + dA) (V + dV) (؟ + d؟) dt Eq ... 1

بتبسيط المعادلة أعلاه نحصل عليها ،

dm / dt = - (AV d؟ + V؟ dA + A؟ dV) مكافئ ... 2

نظرًا لأننا نعلم أن التدفق الثابت يعني معدل تدفق كتلة ثابتًا ، فهذا يعني هنا dm / dt = 0. الآن Eq. 2 تحولت على النحو التالي ،

(AV d؟ + V؟ dA + A؟ dV) = 0 Eq… 3

الآن ، قسّم المعادلة. 3 مع؟ AV ، ستكون المعادلة مثل ،

(د؟ /؟) + (dA / A) + (dV / V) = 0 مكافئ ... 4

د (؟ AV) = 0 مكافئ ... 5

؟ AV = مكافئ ثابت ... 6

هنا ، مكافئ. 6 يجعلنا نعرف أن كتلة السائل الذي يمر عبر أنبوب التدفق ثابتة في كل قسم.

لنفترض أن السائل غير قابل للضغط (سائل) ، فلن تتغير كثافة السائل في أي وقت. هذا يعني أن كثافة السوائل ثابتة.

AV = ثابت

A1 V1 = أ2 V2                                                                                                                           مكافئ ... 7

مكافئ. يمثل الرقم 7 معادلة الاستمرارية للتدفق الثابت غير القابل للضغط داخل أنبوب التيار. تعطي معادلة الاستمرارية فهمًا أساسيًا للمنطقة والسرعة. يؤثر تغيير منطقة المقطع العرضي على سرعة التدفق داخل أنبوب التدفق ، والأنبوب ، والقناة المجوفة ، وما إلى ذلك. هنا ، الشيء المثير هو نتاج السرعة ومنطقة المقطع العرضي. هذا المنتج ثابت في أي نقطة في أنبوب التدفق. تتناسب السرعة عكسيًا مع منطقة المقطع العرضي لأنبوب أو أنبوب التدفق.

معادلة الاستمرارية الشكل التفاضلي

لاشتقاق الشكل التفاضلي لمعادلة الاستمرارية ، ضع في اعتبارك كائنًا كما هو موضح في الشكل. الأبعاد هي dx و dy و dz. هناك بعض الافتراضات لهذا التكوين. لا يتم تكوين كتلة السائل أو تدميرها ، ولا يوجد تجاويف أو فقاعات في السائل (التدفق المستمر). نعتبر dx في اتجاه x و dy في y و dz في اتجاه z لتسهيل الاشتقاق.

إذا كانت u هي سرعة تدفق السوائل حسب الوجه الموضح في الشكل. من المفترض أن تكون السرعة موحدة في جميع أنحاء منطقة المقطع العرضي للوجه. سرعة السائل عند السطح 1-2-3-4 هي u. الآن؛ السطح 5-6-7-8 هو مسافة dx بعيدة من 1-2-3-4. إذن ، السرعة عند 5-6-7-8 تُعطى كـ

ش + ∂u / ∂x dx
الشكل التفاضلي لمعادلة الاستمرارية
الشكل التفاضلي لمعادلة الاستمرارية

كما نعلم أن هناك تغيرًا في الكثافة باستخدام سائل قابل للانضغاط. إذا مر السائل القابل للانضغاط عبر جسم ما ، فستتغير الكثافة.

يتم إعطاء تدفق الكتلة الذي يدخل الجسم على أنه

التدفق الشامل =؟ AV

معدل التدفق الشامل =؟ AV دت

السائل يدخل في 1-2-3-4

السائل الداخل = الكثافة (المنطقة * السرعة) dt

السائل الداخل = ρ u dy dz dt

مكافئ ... 1

السائل يخرج من 5-6-7-8

سائل مخرج

سائل المخرج = [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt	

مكافئ ... 2

الآن ، الفرق بين السائل الداخل والسائل الخارج هو الكتلة في تدفق الاتجاه x.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt
= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

مكافئ ... 3

وبالمثل ، فإننا نعتبر كتلة السائل في اتجاه y و z كما هو موضح أدناه ،

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

مكافئ ... 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

مكافئ ... 5

هنا ، v و w سرعتا السائل في اتجاهي y و z على التوالي.

لتدفق كتلة السائل في جميع الاتجاهات الثلاثة ، يتم إعطاء المحاور بإضافة المعادل. 3 و 4 و 5. يتم إعطاؤه ككتلة السوائل الكلية أدناه ،

= - [∂ / ∂x (ρu) + / y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

مكافئ ... 6

يتم إعطاء معدل تغير الكتلة داخل الجسم بواسطة ،

∂m / t dt = ∂ / t (ρ × حجم) dt = ∂ρ / t dx dy dz dt

مكافئ ... 7

حسب فهم مكافئ الحفظ الشامل. 6 يساوي مكافئ. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + / y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

حل المعادلة أعلاه وتبسيطها ، نحصل على ،

∂ρ / t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / y (ρv) + ∂ / z (ρw) = 0

مكافئ ... 8

مكافئ. 8 هو. معادلة الاستمرارية للتدفق العام. قد يكون ثابتًا أو غير ثابت أو قابل للضغط أو غير قابل للضغط.

معادلة الاستمرارية للتدفق غير القابل للضغط

إذا اعتبرنا أن التدفق ثابت وغير قابل للضغط. نحن نعلم أنه في حالة التدفق الثابت ؟؟ /؟ t = 0. إذا كان التدفق غير قابل للضغط ، فالكثافة؟ لا يزال ثابتا. لذلك ، من خلال النظر في هذا الشرط ، مكافئ. 8 يمكن كتابتها كـ ،

∂u / ∂x + v / ∂y + w / z = 0

معادلة الاستمرارية لتدفق متحد المستوى ثنائي الأبعاد

في التدفق ثنائي الأبعاد ، هناك اتجاهان x و y. لذا، u السرعة في الاتجاه x و v السرعة في الاتجاه الصادي. لا يوجد اتجاه z ، لذا فإن السرعة في الاتجاه z تساوي صفرًا. من خلال النظر في هذه الشروط ، فإن المعادلة. 8 تحولت على النحو التالي ،

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / y (ρv) = 0

تدفق مضغوط

∂u / ∂x + v / y = 0 

التدفق غير القابل للضغط ، الكثافة صفر

مثال معادلة الاستمرارية

يوجد تدفق هواء عبر الأنبوب بمعدل 0.25 كجم / ثانية عند ضغط مطلق 2.25 بار ودرجة حرارة 300 ك.إذا كانت سرعة التدفق 7.5 م / ث ، فما هو الحد الأدنى لقطر الأنبوب؟

البيانات،

م = 0.25 كجم / ثانية ،

P = 2.25 بار ،

T = 300 كلفن ،

V = 7.5 م / ث ،

احسب كثافة الهواء ،

ف =؟ RT

؟ = P / RT

؟ = (2.25 * 105 ) / (287 * 300) = 2.61 كجم / م3

معدل التدفق الشامل للهواء ،

م =؟ AV

أ = م /؟ الخامس

أ = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 م2

كما نعلم تلك المنطقة ،

أ = π د2 / 4

د = √ ((أ * 4) / π)
D = √ ((0.012 * 4) /3.14)

د = 0.127 م = 12.7 سم

تدفق الماء في الاتجاه التصاعدي هو ترك طرف فوهة بسرعة 15 م / ث. قطر الفوهة 20 مم. افترض أنه لا يوجد فقد للطاقة أثناء التشغيل. ماذا سيكون قطر المياه النفاثة على ارتفاع 5 أمتار من طرف الفوهة.

الجواب.

بادئ ذي بدء ، تخيل النظام ؛ التدفق في اتجاه عمودي.

البيانات،

V1 = سرعة التدفق عند طرف الفوهة

V2 = سرعة النفث على ارتفاع 5 أمتار من طرف الفوهة

وبالمثل ، المناطق A1 و A2.

لدينا معادلة عامة للحركة على النحو التالي ،

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s
〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 م / ث

الآن ، قم بتطبيق معادلة الاستمرارية ،

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((/ 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 م ^ 2
π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 م ^ 2

القطر = 0.023 م = 23 مم

أسئلة و أجوبة

ما هو الفرق بين معادلة الاستمرارية ومعادلة نافيير ستوكس؟

السوائل ، بحكم التعريف ، يمكن أن تتدفق ولكنها في الأساس غير قابلة للضغط بطبيعتها. ال معادلة الاستمرارية هو نتيجة لحقيقة أن ما يدخل في الأنبوب / الخرطوم يجب أيضًا تحريره. لذلك ، في النهاية ، يجب أن تظل المنطقة التي تضرب السرعة في نهاية الأنبوب / الخرطوم ثابتة.

في نتيجة ضرورية إذا انخفضت مساحة الأنبوب / الخرطوم ، يجب أيضًا زيادة سرعة السائل للحفاظ على ثبات التدفق.

وعلى الرغم من أن معادلة نافيير ستوكس يصف العلاقات بين السرعة والضغط ودرجات الحرارة وكثافة السائل المتحرك. عادة ما تقترن هذه المعادلة بصيغ مختلفة من المعادلات التفاضلية. عادةً ما يكون حلها تحليليًا معقدًا جدًا.

على ماذا تستند معادلة الاستمرارية؟

تنص معادلة الاستمرارية على أن حجم السائل الذي يدخل في أنبوب أي مقطع عرضي يجب أن يكون مساويًا لحجم السائل الذي يترك الجانب الآخر من منطقة المقطع العرضي ، مما يعني أن معدل التدفق يجب أن يكون ثابتًا ويجب أن يكون اتبع العلاقة-

لنفترض أن السائل غير قابل للضغط (سائل) ، فلن تتغير كثافة السائل في أي وقت. هذا يعني أن كثافة السوائل ثابتة.

AV = ثابت

معدل التدفق = أ1 V1 = أ2 V2

ما هي معادلة الاستمرارية المستخدمة؟

معادلة الاستمرارية له تطبيقات عديدة في مجال الديناميكا المائية ، الديناميكا الهوائية ، الكهرومغناطيسية ، ميكانيكا الكم. إنه مفهوم مهم للقاعدة الأساسية لمبدأ برنولي ، فهو يشارك بشكل غير مباشر في مبدأ الديناميكا الهوائية وتطبيقاتها.

معادلة الاستمرارية تعبر عن قانون الحفظ المحلي اعتمادًا على السياق. إنه مجرد بيان رياضي دقيق ولكنه قوي للغاية فيما يتعلق بالحفظ المحلي لكميات معينة.

هل تصح معادلة الاستمرارية للتدفق الأسرع من الصوت؟

نعم ، يمكن استخدامه للتدفق الأسرع من الصوت. يمكن استخدامه للتدفقات الأخرى مثل سرعة الصوت ، والأسرع من الصوت ، ودون سرعة الصوت. الفرق هو أنه يجب عليك استخدام الصيغة المحافظة للمعادلة.

ما هو الشكل ثلاثي الأبعاد لمعادلة الاستمرارية للتدفق الثابت غير القابل للضغط؟

إذا اعتبرنا أن التدفق ثابت وغير قابل للضغط. نحن نعلم أنه في حالة التدفق الثابت ؟؟ /؟ t = 0. إذا كان التدفق غير قابل للضغط ، فالكثافة؟ لا يزال ثابتا. لذلك ، من خلال النظر في هذا الشرط ، مكافئ. 8 يمكن كتابتها كـ ،

 ∂u / ∂x + v / ∂y + w / z = 0

ما هو الشكل ثلاثي الأبعاد لمعادلة الاستمرارية للتدفق الثابت القابل للضغط وغير القابل للضغط؟

في التدفق ثنائي الأبعاد ، هناك اتجاهان x و y. إذن ، السرعة u في الاتجاه x والسرعة v في الاتجاه y. لا يوجد اتجاه z ، لذا فإن السرعة في الاتجاه z تساوي صفرًا. من خلال النظر في هذه الشروط ، فإن المعادلة. 8 تحولت على النحو التالي ،

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / y (ρv) = 0
 ∂u / ∂x + v / y = 0

أسئلة متعددة الخيارات

أي مما يلي هو شكل من أشكال معادلة الاستمرارية؟

  1. v1 A1 = الخامس2 A2
  2. v1 t1 = الخامس2 t2
  3. ΔV / ر
  4. v1 / A1 = الخامس2 / A2

ماذا تعطي معادلة الاستمرارية مفهوم حركة مائع مثالي؟

  1. مع زيادة مساحة المقطع العرضي ، تزداد السرعة.
  2. مع انخفاض مساحة المقطع العرضي ، تزداد السرعة.
  3. مع انخفاض مساحة المقطع العرضي ، تقل السرعة.
  4. مع زيادة مساحة المقطع العرضي ، ينخفض ​​الحجم.
  5. كلما زاد الحجم ، تقل السرعة.

معادلة الاستمرارية تقوم على مبدأ

a) حفظ الكتلة

ب) الحفاظ على الزخم

ج) الحفاظ على الطاقة

د) الحفاظ على القوة

يتلاقى قطران متماثلان من الأنبوب d للحصول على أنبوب بقطر D. ماذا يمكن أن تكون الملاحظة بين d و D ؟. ستكون سرعة التدفق في الأنبوب الجديد ضعف سرعة كل من الأنبوبين؟

a) د = د

ب) د = 2 د

ج) د = 3d

د) د = 4 د

تتلاقى الأنابيب ذات الأقطار المختلفة d1 و d2 للحصول على أنبوب بقطر 2d. إذا كانت سرعة السائل في كلا الأنبوبين v1 و v2 ، فما سرعة التدفق في الأنبوب الجديد؟

أ) v1 + v2

ب) v1 + v2 / 2

c) الإصدار 1 + الإصدار 2/4

د) 2 (v1 + v2)

في الختام

تتضمن هذه المقالة اشتقاقات معادلة الاستمرارية بشكلها وشروطها المختلفة. يتم إعطاء أمثلة وأسئلة أساسية من أجل فهم أفضل لمفهوم معادلة الاستمرارية.

لمزيد من المقالات ذات الموضوعات ذات الصلة ، اضغط هنا

ديباكومار جاني

أنا ديباك كومار جاني ، أسعى للحصول على درجة الدكتوراه في الطاقة الميكانيكية المتجددة. لدي خمس سنوات من التدريس وخبرة بحثية لمدة عامين. مجال اهتمامي هو الهندسة الحرارية وهندسة السيارات والقياس الميكانيكي والرسم الهندسي وميكانيكا الموائع وما إلى ذلك. لقد قدمت براءة اختراع بشأن "تهجين الطاقة الخضراء لإنتاج الطاقة". لقد نشرت 17 ورقة بحثية وكتابين. يسعدني أن أكون جزءًا من Lambdageeks وأود أن أقدم بعض خبرتي بطريقة مبسطة مع القراء. بصرف النظر عن الأكاديميين والبحث ، أحب التجول في الطبيعة والتقاط الطبيعة وخلق الوعي بالطبيعة بين الناس. دعنا نتواصل من خلال LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/jani-deepak-b0558748/. يرجى الرجوع أيضًا إلى قناة You-tube الخاصة بي بخصوص "دعوة من الطبيعة"

آخر المقالات