التباين والتنبؤات الشرطية: 7 حقائق مهمة


في هذه المقالة التباين الشرطي والتنبؤات باستخدام التوقع الشرطي لنوع مختلف من المتغيرات العشوائية مع بعض الأمثلة التي سنناقشها.

التباين الشرطي

يتم تعريف التباين الشرطي للمتغير العشوائي X المعطى Y بطريقة مماثلة للتوقع المشروط للمتغير العشوائي X معطى Y كما

(X | Y) = E [(XE [X | Y])2| ص]

التباين هنا هو التوقع الشرطي للاختلاف بين المتغير العشوائي ومربع التوقع الشرطي لـ X المعطى Y عند إعطاء قيمة Y.

العلاقة بين التباين الشرطي والتوقع الشرطي is

(X | Y) = E [X.2| ص] - (ه [س | ص])2

E [(X | Y)] = E [E [X2| Y]] - E [(E [X | Y])2]

= E [X2] - E [(E [X \ Y])2]

منذ E [E [X | Y]] = E [X] ، لدينا

(E [X | Y]) = E [(E [X | Y])2] - (السابق])2

هذا يشبه إلى حد ما علاقة التباين غير المشروط والتوقع الذي كان

فار (X) = E [X.2] - (السابق])2

ويمكننا إيجاد التباين بمساعدة التباين الشرطي مثل

Var (X) = E [var (X | Y] + var (E [X | Y])

مثال على التباين الشرطي

ابحث عن متوسط ​​وتباين عدد المسافرين الذين يدخلون الحافلة إذا كان الأشخاص الذين وصلوا إلى محطة الحافلات موزعين على Poisson بمتوسط ​​λt وتم توزيع الحافلة الأولية التي وصلت إلى محطة الحافلات بشكل موحد على الفاصل الزمني (0 ، T) بشكل مستقل عن الأشخاص وصل أم لا.

حل:

للعثور على المتوسط ​​والتباين المسموح به لأي وقت t ، Y هو المتغير العشوائي لحافلة الوقت التي تصل و N (t) هي عدد الوافدين

E [N (Y) | Y = t] = E [N (t) | Y = t]

بواسطة استقلال Y و N (t)

=λt

منذ N (t) هو Poisson مع المتوسط \lambda t
بالتالي

E [N (Y) | Y] =λY

لذا فإن أخذ التوقعات يعطي

E [N (Y)] = λه [ص] = λت / 2

للحصول على Var (N (Y)) ، نستخدم صيغة التباين الشرطي

هكذا

(N (Y) | Y) = λY

E [N (Y) | Y] = λY

ومن ثم ، من صيغة التباين الشرطي ،

Var (N (Y)) = E [λص] + (λY)

=λT/2 + λ2T2/ 12

حيث استخدمنا حقيقة أن Var (Y) = T.2 / 12.

تباين مجموع عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية

النظر في تسلسل مستقل ومتطابق وزعت المتغيرات العشوائية X1,X2,X3، ………. ومتغير عشوائي آخر N مستقل عن هذا التسلسل ، سنجده تباين المجموع من هذا التسلسل

استخدام

وهو ما يتضح مع تعريف التباين والتباين الشرطي للمتغير العشوائي الفردي إلى مجموع تسلسل المتغيرات العشوائية ومن ثم

تنبؤ

في التنبؤ ، يمكن التنبؤ بقيمة متغير عشوائي واحد على أساس ملاحظة متغير عشوائي آخر ، للتنبؤ بالمتغير العشوائي Y إذا كان المتغير العشوائي الملاحظ هو X ، فإننا نستخدم g (X) كوظيفة تخبر القيمة المتوقعة ، من الواضح أننا حاول اختيار g (X) مغلق على Y لهذا أفضل g هو g (X) = E (Y | X) لهذا يجب علينا تقليل قيمة g باستخدام عدم المساواة

هذه المتباينة يمكننا الحصول عليها

ومع ذلك ، بالنظر إلى X ، E [Y | X] -g (X) ، كونها دالة لـ X ، يمكن معاملتها على أنها ثابتة. هكذا،

الذي يعطي عدم المساواة المطلوبة

أمثلة على التنبؤ

1. يُلاحظ أن ارتفاع الإنسان ستة أقدام ، ما هو توقع ارتفاع أبنائه بعد أن يكبروا إذا كان طول الابن الذي يبلغ x بوصة الآن يتم توزيعه بشكل طبيعي بمتوسط ​​x + 1 والتباين 4.

الحل: لنفترض أن X هو المتغير العشوائي الذي يشير إلى ارتفاع الشخص ويكون Y هو المتغير العشوائي لطول الابن ، ثم يكون المتغير العشوائي Y هو

ص = س + ه + 1

هنا e تمثل المتغير العشوائي العادي المستقل عن المتغير العشوائي X بمتوسط ​​صفر والتباين أربعة.

لذا فإن التنبؤ بارتفاع الأبناء هو

لذلك سيكون ارتفاع الابن 73 بوصة بعد النمو.

2. ضع في اعتبارك مثالاً لإرسال إشارات من الموقع A والموقع B ، إذا تم إرسال قيمة إشارة من الموقع A والتي يتم استقبالها في الموقع B بالتوزيع العادي بمتوسط ​​s والتباين 1 بينما إذا كانت الإشارة S المرسلة في A يتم توزيعها بشكل طبيعي مع المتوسط ​​\ mu والتباين \ sigma ^ 2 ، كيف يمكننا التنبؤ بأن قيمة الإشارة R المرسلة من الموقع A التي سيتم استقبالها هي r في الموقع B؟

الحل: تشير قيم الإشارة S و R هنا إلى المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي ، أولاً نجد دالة الكثافة الشرطية S المعطاة R كـ

هذا K مستقل عن S الآن

هنا أيضًا C1 و ج2 تكون مستقلة عن S ، لذا فإن قيمة دالة الكثافة الشرطية هي

C هي أيضًا مستقلة عن s ، وبالتالي فإن الإشارة المرسلة من الموقع A كـ R ويتم استقبالها في الموقع B حيث أن r أمر طبيعي بمتوسط ​​وتباين

وخطأ المربع المتوسط ​​لهذه الحالة هو

المتنبئ الخطي

في كل مرة لا يمكننا فيها العثور على دالة كثافة الاحتمال المشتركة حتى يكون المتوسط ​​والتباين والعلاقة بين متغيرين عشوائيين معروفين ، في مثل هذه الحالة يكون المتنبئ الخطي لمتغير عشوائي واحد فيما يتعلق بمتغير عشوائي آخر مفيدًا للغاية ويمكنه التنبؤ بالحد الأدنى ، لذلك بالنسبة للمتنبئ الخطي للمتغير العشوائي Y فيما يتعلق بالمتغير العشوائي X ، فإننا نأخذ a و b لتقليل

الآن اشتق جزئيًا بالنسبة إلى a و b ، فسنحصل على ذلك

نحصل على هاتين المعادلتين من أجل a و b

وبالتالي التقليل من هذا التوقع يعطي المتنبئ الخطي كـ

حيث تكون الوسائل هي الوسيلة ذات الصلة للمتغيرين العشوائيين X و Y ، سيتم الحصول على الخطأ للمتنبئ الخطي مع توقع

التباين الشرطي
التباين الشرطي: خطأ في التنبؤ

سيكون هذا الخطأ أقرب إلى الصفر إذا كان الارتباط موجبًا تمامًا أو سلبيًا تمامًا يكون معامل الارتباط إما +1 أو -1.

في الختام

تمت مناقشة التباين الشرطي للمتغير العشوائي المنفصل والمستمر مع أمثلة مختلفة ، كما تم شرح أحد التطبيقات المهمة للتوقع الشرطي في التنبؤ بأمثلة مناسبة ومع أفضل توقع خطي ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فانتقل إلى الروابط أدناه.

لمزيد من المنشورات حول الرياضيات ، يرجى الرجوع إلى موقعنا صفحة الرياضيات

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق. لقد أكملت رسالة الدكتوراه الخاصة بي. في الرياضيات والعمل أستاذا مساعدا في الرياضيات. لديه خبرة 12 عامًا في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات

رابط لخصائص السيزيوم الكيميائية (25 حقيقة يجب أن تعرفها)

الخصائص الكيميائية السيزيوم (25 حقائق يجب أن تعرفها)

عنصر السيزيوم (Cs) مكتوب أيضًا باسم السيزيوم هو عنصر كيميائي ينتمي إلى المجموعة الأولى. دعونا ندرس بعض الحقائق عن السيزيوم. السيزيوم (Cs) هو عنصر فلز قلوي ينتمي إلى ...