التوقع المشروط: 7 حقائق يجب أن تعرفها


جدول المحتويات

بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يعتمد على بعضه البعض ، يتطلب حساب الاحتمالات الشرطية التي ناقشناها بالفعل ، سنناقش الآن المزيد من المعلمات لمثل هذه المتغيرات العشوائية أو التجارب مثل التوقع الشرطي والتباين الشرطي لأنواع مختلفة من المتغيرات العشوائية.

توقع مشروط

   تعريف دالة كتلة الاحتمال الشرطي للمتغير العشوائي المنفصل X معطى Y هو

PX | ص(x | y) = P / LeftX = x | Y = y \ right = p (x، y) \ pY (y)

[اللاتكس] p_ {X | Y} (x | y) = P \ left {X = x | Y = y \ right} = \ frac {p (x، y)} {p_ {Y} (y)} [ / اللاتكس]

هنا pY (y)> 0 ، لذا فإن الشرط توقع المتغير العشوائي المنفصل X معطى Y عندما تكون pY (y)> 0 هي

E [X | Y = y] =xxP {X = x | Y = y}

[لاتكس] E \ left [X | Y = y \ right] = \ sum_ {x} ^ {} xP \ left \ {X = x | Y = y \ right \} [/ latex]

ΣxxpX | ص(س | ص)

[اللاتكس] = \ sum_ {x} ^ {} xp_ {X | Y} (x | y) [/ اللاتكس]

في التوقع أعلاه الاحتمال هو الشرطي احتمالا.

  بطريقة مماثلة إذا كانت X و Y متصلة ، فإن دالة كثافة الاحتمال الشرطي للمتغير العشوائي X المعطى Y هي

fX | ص(س | ص) = و (س ، ص) / وY(Y)

[اللاتكس] f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x، y)} {f_ {Y} (y)} [/ اللاتكس]

حيث f (x، y) دالة كثافة احتمالية مشتركة ولجميع yfY(y)> 0 ، لذا فإن التوقع الشرطي للمتغير العشوائي X المعطى y سيكون

[اللاتكس] E \ left [X | Y = y \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf_ {X | Y} (x | y) dx [/ latex]

للجميع yfY(ص)> 0.

   كما نعلم أن كل خصائص الاحتمال قابلة للتطبيق على الشرط الاحتمال نفسه هو الحال بالنسبة للتوقع المشروط ، يتم استيفاء جميع خصائص التوقع الرياضي من خلال التوقع الشرطي ، على سبيل المثال التوقع الشرطي لوظيفة المتغير العشوائي سيكون

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {ج}
E [g (X) \ mid Y = y] = \ left \ {\ start {array} {l}
\ sum_ {x} g (x) p_ {X \ mid Y} (x \ mid y) \ quad \ text {في الحالة المنفصلة} \\
\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X \ mid} \ gamma (x \ mid y) dx \ text {في الحالة المستمرة}
\ نهاية {مجموعة}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

وسيكون مجموع المتغيرات العشوائية في التوقع الشرطي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ mid Y = y \ right] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} E \ left [X_ {i} \ mid Y = ص \ الحق]
\ end {align} [/ اللاتكس]

التوقع الشرطي لمجموع المتغيرات العشوائية ذات الحدين

    للعثور على الشرطي توقع مجموع المتغيرات العشوائية ذات الحدين X و Y مع المعلمتين n و p المستقلتين ، نعلم أن X + Y سيكون أيضًا متغيرًا عشوائيًا ذي الحدين مع المعلمتين 2n و p ، لذلك بالنسبة للمتغير العشوائي X معطى X + Y = m ، سيتم الحصول على التوقع الشرطي عن طريق الحساب احتمال

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
P [X = k \ mid X + Y = m] & = \ frac {P [X = k، X + Y = m]} {P (X + Y = m)} \\
& = \ frac {P [X = k، Y = mk]} {P [X + Y = m]} \\
& = \ frac {P [X = k \ mid P [Y = mk \ mid} {P (X + Y = m]} \\
& = \ frac {\ left (\ start {array} {l}
ن \\
k
\ end {array} \ right) p ^ {k} (1-p) ^ {nk} \ left (\ start {array} {c}
ن \\
عضو الكنيست
\ end {array} \ right) p ^ {mk} (1-p) ^ {n-m + k}} {\ left (\ begin {array} {l}
2 ن \\
m
\ نهاية {مجموعة} \ يمين) ص ^ {m} (1-ع) ^ {2 nm}}
\ end {align} [/ اللاتكس]

منذ أن عرفنا ذلك

E [X] = E [X1] +… .. + E [Xm] = مليون ن / ن

[اللاتكس] E [X] = E \ left [X_ {1} \ right] + \ cdots + E \ left [X_ {m} \ right] = \ frac {mn} {N} [/ اللاتكس]

وبالتالي فإن التوقع الشرطي لـ X إذا كان X + Y = m هو

E [X | X + Y = م] = م / 2

[اللاتكس] E [X \ mid X + Y = m] = \ frac {m} {2} [/ latex]

على سبيل المثال:

أوجد التوقع الشرطي

ه [س | ص = ص]

[اللاتكس] E [X \ mid Y = y]. [/ اللاتكس]

إذا كان المفصل دالة كثافة الاحتمال للمتغيرات العشوائية المستمرة يتم إعطاء X و Y كـ

[اللاتكس] f (x، y) = \ frac {e ^ {- x / y} e ^ {- y}} {y} & 0

حل:

لحساب التوقع الشرطي ، نحتاج إلى دالة كثافة الاحتمال الشرطي ، لذلك

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
f_ {X \ mid Y} (x \ mid y) & = \ frac {f (x، y)} {f_ {Y} (y)} \\
& = \ frac {f (x، y)} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x، y) dx} \\
& = \ frac {(1 / y) e ^ {- x / y} e ^ {- y}} {\ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y_ {e } -y} dx} \\
& = \ frac {(1 / y) e ^ {- x / y}} {\ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y} dx} \\
& = \ frac {1} {y} e ^ {- x / y}
\ end {align} [/ اللاتكس]

منذ المتغير العشوائي المستمر شرطي التوقع هو

[اللاتكس] E [X \ mid Y = y] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x f_ {X \ mid Y} (x \ mid y) dx [/ latex]

ومن ثم بالنسبة لدالة الكثافة المحددة ، سيكون التوقع الشرطي

[اللاتكس] E [X \ mid Y = y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {x} {y} e ^ {- x / y} dx = y [/ latex]

التوقع بالتكييف || توقع بالتوقع المشروط

                يمكننا حساب توقع رياضي بمساعدة التوقع الشرطي لـ X معطى Y كـ

E [X] = E [E [X | Y]]

[اللاتكس] E [X] = E [E [X \ mid Y]] [/ اللاتكس]

سيكون هذا بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة

E [X] = Σyه [س | ص = ص] ف {ص = ص}

[اللاتكس] E [X] = \ sum_ {y} E [X \ mid Y = y] P \ {Y = y \} [/ latex]

التي يمكن الحصول عليها باسم

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ sum_ {y} E [X \ mid Y = y] P \ {Y = y \} & = \ sum_ {y} \ sum_ {x} x P [X = x \ mid Y = y \} P \ { ص = ص \} \\
& = \ sum_ {y} \ sum_ {x} x \ frac {P \ {X = x، Y = y \}} {P \ {Y = y \}} P [Y = y \} \\
& = \ sum_ {y} \ sum_ {x} x P [X = x، Y = y \} \\
& = \ sum_ {x} x \ sum_ {y} P \ {X = x، Y = y \} \\
& = \ sum_ {x} x P \ {X = x \} \\
& = E [X] \ end {align}
[/ اللاتكس]

ويمكننا أن نظهر بالمثل بالنسبة للعشوائية المستمرة

[اللاتكس] E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E \ left [X | Y = y | f_ {Y} (y) dy \ right. [/ اللاتكس]

على سبيل المثال:

                شخص محاصر في مبناه تحت الأرض حيث أن المدخل مغلق بسبب بعض الأحمال الثقيلة ولحسن الحظ هناك ثلاثة خطوط أنابيب يمكن أن يخرج منها الأنبوب الأول ويخرجه بأمان بعد 3 ساعات ، والثاني بعد 5 ساعات وخط الأنابيب الثالث بعد 7 ساعات ، إذا تم اختيار أي من خطوط الأنابيب هذه بالتساوي من قبله ، فما هو الوقت المتوقع الذي سيخرج فيه بأمان.

حل:

لنفترض أن X هو المتغير العشوائي الذي يشير إلى الوقت بالساعات حتى يخرج الشخص بأمان ويشير Y إلى الأنبوب الذي يختاره في البداية ، لذلك

ه [X] = ه [س | ص = 1] ف {ص = 1} + ه [س | ص = 2] ف {ص = 2} + ه [س | ص = 3] ف {ص = 3}
= 1/3 (E [X | Y = 1] + E [X | Y = 2] + E [X | Y = 3])

[اللاتكس] E [X] = E [X \ mid Y = 1] P \ {Y = 1 \} + E [X \ mid Y = 2] P \ {Y = 2 \} + E [X \ mid Y = 3] ف \ {ص = 3 \} \\
= \ frac {1} {3} (E [X \ mid Y = 1] + E [X \ mid Y = 2] + E [X \ mid Y = 3]) [/ latex]

منذ

[لاتكس] $ E [X \ mid Y = 1] = 3 $ \\
$ E [X \ mid Y = 2] = 5 + E [X] $ \\
$ E [X \ mid Y = 3] = 7 + E [X] $
[/ اللاتكس]

إذا اختار الشخص الأنبوب الثاني ، فإنه يقضي 5 منازل في ذلك لكنه يخرج مع الوقت المتوقع

E [X | Y = 2] = 5 + E [X]

[اللاتكس] E [X \ mid Y = 2] = 5 + E [X] [/ اللاتكس]

لذلك سيكون التوقع

E [X] = 1/3 (3 + 5 + E [X] + 7 + E [X]) E [X] = 15

[latex]E[X]=\frac{1}{3}(3+5+E[X]+7+E[X]) \quad E[X]=15[/latex]

توقع مجموع عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية باستخدام التوقع المشروط

                لنفترض أن N هو الرقم العشوائي للمتغير العشوائي ومجموع المتغيرات العشوائية هو     ثم التوقع  

[لاتكس] E \ left [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ right] = E \ left [E \ left [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ mid N \ right ] \ right] [/ لاتكس]

منذ

[لاتكس] E \ left [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ mid N = n \ right] = E \ left [\ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ mid N = n \ يمين] \\
= E \ left [\ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ right] \ text {بواسطة استقلال} X_ {i} \ text {and} N \\ = n E [X] \ text {حيث} E [X] = E \ left [X_ {i} \ right] [/ اللاتكس]

as

[لاتكس] E \ left [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ mid N \ right] = NE [X] [/ latex]

هكذا

[اللاتكس] E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ right] = E [NE [X]] = E [N] E [X] [/ اللاتكس]

ارتباط التوزيع ثنائي المتغير

إذا كانت دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي ثنائي المتغير X و Y هي

[اللاتكس] \ start {array} {c} f (x، y) = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma_ {x} \ sigma_ {y} \ sqrt {1- \ rho ^ {2}}} \ exp \ left \ {- \ frac {1} {2 \ left (1- \ rho ^ {2} \ right)} \ right. & {\ left [\ left (\ frac {x- \ mu_ {x}} {\ sigma_ {x}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {y- \ mu_ {y}} {\ sigma_ {y}} \ right) ^ {2} \ right.} & \ left. \ left.-2 \ rho \ frac {\ left (x- \ mu_ {x} \ right) \ left (y- \ mu_ {y} \ right)} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} \ يمين] \ يمين \} \ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

أين

[اللاتكس] \ mu_ {x} = E [X] ، \ sigma_ {x} ^ {2} = \ operatorname {Var} (X) $ ، و $ \ mu_ {y} = E [Y] ، \ sigma_ { y} ^ {2} = \ operatorname {Var} (Y) $ [/ latex]

ثم العلاقة بين المتغير العشوائي X و Y للتوزيع ثنائي المتغير مع دالة الكثافة هي

حيث يتم تعريف الارتباط على أنه

[اللاتكس] $ \ operatorname {Corr} (X، Y) = \ frac {\ operatorname {Cov} (X، Y)} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} $ \\
$ = \ frac {E [XY] - \ mu_ {x} \ mu_ {y}} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} $ [/ لاتكس]

لأن التوقع باستخدام التوقع الشرطي هو

[اللاتكس] E [XY] = E [E [XY \ mid Y]] [/ اللاتكس]

بالنسبة للتوزيع الطبيعي ، يكون التوزيع الشرطي X معطى Y يعني

[اللاتكس] mu_ {x} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ left (y- \ mu_ {y} \ right) [/ latex]

الآن توقع XY معطى Y هو

هذا يعطي

[لاتكس] تبدأ {محاذاة} E [XY] & = E \ left [Y \ mu_ {x} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ left (Y ^ {2} - \ mu_ {y} Y \ right) \ right] \\ & = \ mu_ {x} E [Y] + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} E \ left [Y ^ {2} - \ mu_ {y} Y \ right] \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ left ( E \ left [Y ^ {2} \ right] - \ mu_ {y} ^ {2} \ right) \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x} } {\ sigma_ {y}} \ operatorname {Var} (Y) \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ sigma_ {x} \ sigma_ {y} \ end {align} [/ اللاتكس]

من هنا

[اللاتكس] \ operatorname {Corr} (X، Y) = \ frac {\ rho \ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} = \ rho [/ latex]

تباين التوزيع الهندسي

    في التوزيع الهندسي ، دعونا نجري تجارب مستقلة متتالية تؤدي إلى النجاح مع الاحتمال p ، إذا كان N يمثل وقت النجاح الأول في هذه الخلافة ، فسيكون تباين N كما هو حسب التعريف

[اللاتكس] \ operatorname {Var} (N) = E \ left [N ^ {2} \ right] - (E [N]) ^ {2} [/ latex]

دع المتغير العشوائي Y = 1 إذا أسفرت التجربة الأولى عن النجاح و Y = 0 إذا أدت التجربة الأولى إلى الفشل ، والآن لإيجاد التوقع الرياضي هنا نطبق التوقع الشرطي على النحو التالي

[لاتكس] E \ left [N ^ {2} \ right] = E \ left [E \ left [N ^ {2} \ mid Y \ right] \ right] [/ latex]

منذ

[لاتكس] E \ left [N ^ {2} \ mid Y = 1 \ right] = 1 \\
E \ left [N ^ {2} \ mid Y = 0 \ right] = E \ left [(1 + N) ^ {2} \ right] [/ latex]

إذا كان النجاح في التجربة الأولى ، فإن N = 1 و N2= 1 إذا حدث الفشل في التجربة الأولى ، ثم للحصول على النجاح الأول ، سيكون العدد الإجمالي للتجارب له نفس التوزيع مثل 1 ، أي التجربة الأولى التي تؤدي إلى الفشل بالإضافة إلى العدد الضروري من التجارب الإضافية ، أي

[لاتكس] E \ left [N ^ {2} \ mid Y = 0 \ right] = E \ left [(1 + N) ^ {2} \ right] [/ latex]

وبالتالي سيكون التوقع

[لاتكس] E \ left [N ^ {2} \ right] = E \ left [N ^ {2} \ mid Y = 1 \ right] P \ {Y = 1 \} + E \ left [N ^ {2 } \ mid Y = 0 \ right] P \ {Y = 0 \} \\
= p + (1-p) E \ left [(1 + N) ^ {2} \ right] \\
= 1 + (1-p) E \ left [2 N + N ^ {2} \ right] [/ latex]

منذ توقع التوزيع الهندسي so

[اللاتكس] E [N] = 1 / p [/ اللاتكس]

من هنا

[latex]E\left[N^{2}\right]=1+\frac{2(1-p)}{p}+(1-p) E\left[N^{2}[/latex]

و

[لاتكس] E \ left [N ^ {2} \ right] = \ frac {2-p} {p ^ {2}} [/ اللاتكس]

لذلك سيكون تباين التوزيع الهندسي

[اللاتكس] \ start {align} \ operatorname {Var} (N) & = E \ left [N ^ {2} \ right] - (E [N]) ^ {2} \\ = & \ frac {2- p} {p ^ {2}} - \ left (\ frac {1} {p} \ right) ^ {2} \\ = & \ frac {1-p} {p ^ {2}} \ end {بمحاذاة } [/ لاتكس]

توقع الحد الأدنى لتسلسل المتغيرات العشوائية المنتظمة

   تسلسل المتغيرات العشوائية المنتظمة U1، هي تكون2 … .. خلال الفاصل الزمني (0 ، 1) ويتم تعريف N على أنه

[اللاتكس] N = \ min \ left \ {n: \ sum_ {i = 1} ^ {n} U_ {i}> 1 \ right \} [/ latex]

ثم لتوقع N ، لأي x ∈ [0 ، 1] قيمة N

[اللاتكس] N (x) = \ min \ left \ {n: \ sum_ {i = 1} ^ {n} U_ {i}> x \ right \} [/ latex]

سنحدد توقع N مثل

[اللاتكس] m (x) = E [N (x)] [/ اللاتكس]

للعثور على التوقع ، نستخدم تعريف التوقع المشروط على المتغير العشوائي المستمر

[اللاتكس] E [X \ mid Y = y] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x f_ {X \ mid Y} (x \ mid y) dx [/ latex]

الآن تكييف للحد الأول من المتسلسلة  لدينا

[اللاتكس] m (x) = \ int_ {0} ^ {1} E \ left [N (x) \ mid U_ {1} = y \ right] dy [/ latex]

هنا نحصل

[اللاتكس] E \ left [N (x) \ mid U_ {1} = y \ right] = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ text {if} y> x \\ 1 + m (xy) & \ text {if} y \ leq x \ end {array} \ right. [/ latex]

العدد المتبقي من المتغير العشوائي المنتظم هو نفسه عند النقطة التي تكون فيها القيمة الموحدة الأولى هي y ، في البداية ثم سيتم إضافة متغيرات عشوائية منتظمة حتى يتجاوز مجموعها x - y.

لذلك باستخدام قيمة التوقع هذه ، ستكون قيمة التكامل

[اللاتكس] m (x) = 1 + \ int_ {0} ^ {x} m (xy) dy \\
= 1 + \ int_ {0} ^ {x} m (u) du \ text {بالسماح} u = xy [/ latex]

إذا اشتقنا هذه المعادلة

[لاتكس] م ^ {\ رئيس} (س) = م (س) [/ لاتكس]

و

[اللاتكس] \ frac {m ^ {\ prime} (x)} {m (x)} = 1 [/ اللاتكس]

الآن دمج هذا يعطي

[اللاتكس] \ السجل [m (x)] = x + c [/ اللاتكس]

من هنا

[اللاتكس] m (x) = ke ^ {x} [/ اللاتكس]

قيمة k = 1 إذا كانت x = 0 ، لذلك

[اللاتكس] m (x) = e ^ {x} [/ اللاتكس]

و m (1) = e ، العدد المتوقع للمتغيرات العشوائية المنتظمة عبر الفترة (0 ، 1) التي يجب إضافتها حتى يتجاوز مجموعها 1 ، يساوي e

الاحتمال باستخدام التوقع المشروط || الاحتمالات باستخدام التكييف

   يمكننا العثور على الاحتمال أيضًا باستخدام التوقع المشروط مثل التوقع الذي وجدناه مع التوقع الشرطي ، للحصول على هذا في الاعتبار حدثًا ومتغيرًا عشوائيًا X

[اللاتكس] X = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ text {if} E \ text {يحدث} \\ 0 & \ text {if} E \ text {not allowed} \ end { مجموعة} \ صحيح. [/ لاتكس]

من تعريف هذا المتغير العشوائي والتوقع بشكل واضح

[اللاتكس] E [X] = P (E) \\
E [X \ mid Y = y] = P (E \ mid Y = y) $ لأي متغير عشوائي $ Y $ [/ latex]

الآن عن طريق التوقع المشروط بأي شكل من الأشكال لدينا

[اللاتكس] الفوسفور (E) = \ sum_ {y} الفوسفور (E \ mid Y = y) P (Y = y) \ quad $ إذا كان $ Y $ منفصلًا \\
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (E \ mid Y = y) f_ {Y} (y) dy \ quad $ إذا كان $ Y $ مستمرًا [/ latex]

على سبيل المثال:

احسب ال دالة الكتلة الاحتمالية من المتغير العشوائي X ، إذا كان U هو المتغير العشوائي المنتظم على الفاصل الزمني (0,1،XNUMX) ، واعتبر التوزيع الشرطي لـ X المعطى U = p باعتباره ذو الحدين مع المعلمات n و p.

حل:

بالنسبة لقيمة U ، يكون الاحتمال عن طريق التكييف

[اللاتكس] \ start {align} P [X = i] & = \ int_ {0} ^ {1} P \ left [X = i \ mid U = pl f_ {U} (p) dp \ right. \\ & = \ int_ {0} ^ {1} P [X = i \ mid U = p \} dp \\ & = \ frac {n!} {i! (ni)!} \ int_ {0} ^ {1 } p ^ {i} (1-p) ^ {ni} dp
\ end {align} [/ اللاتكس]

لدينا النتيجة

[لاتكس] \ int_ {0} ^ {1} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} dp = \ frac {i! (ni)!} {(n + 1)!} [/ لاتكس]

لذلك سوف نحصل عليه

[اللاتكس] P [X = i] = \ frac {1} {n + 1} \ quad i = 0 ، \ ldots ، n [/ اللاتكس]

على سبيل المثال:

ما هو احتمال X <Y ، إذا كان X و Y هما المتغيران العشوائيان المستمران بدوال كثافة الاحتمال fX ووY على التوالي.

حل:

باستخدام التوقع الشرطي والاحتمال الشرطي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة} P \ {X

as

[اللاتكس] FX (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {y} f_ {X} (x) dx [/ latex]

على سبيل المثال:

احسب توزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة X و Y.

حل:

لإيجاد توزيع X + Y علينا إيجاد احتمال المجموع باستخدام التكييف على النحو التالي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة} P (X + Y

الخلاصة:

التوقع المشروط للمتغير العشوائي المنفصل والمستمر مع أمثلة مختلفة مع الأخذ في الاعتبار بعض أنواع هذه المتغيرات العشوائية التي تمت مناقشتها باستخدام المتغير العشوائي المستقل والتوزيع المشترك في ظروف مختلفة ، كما تم شرح التوقع والاحتمال كيفية العثور باستخدام التوقع الشرطي مع أمثلة ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فراجع الكتب أدناه أو لمزيد من المقالات حول الاحتمالية ، يرجى اتباع صفحات الرياضيات.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات