التوزيع المشروط: 7 حقائق مثيرة للاهتمام يجب معرفتها


التوزيع الشرطي

   من المثير للاهتمام مناقشة الحالة الشرطية للتوزيع عندما يتبع متغيرين عشوائيين التوزيع الذي يرضي أحدهما الآخر ، نرى أولاً باختصار التوزيع الشرطي في كل من حالة المتغيرات العشوائية ، المنفصلة والمستمرة ، ثم بعد دراسة بعض المتطلبات الأساسية نركز على التوقعات المشروطة.

التوزيع الشرطي المنفصل

     بمساعدة دالة الكتلة الاحتمالية المشتركة في التوزيع المشترك ، نحدد التوزيع الشرطي للمتغيرات العشوائية المنفصلة X و Y باستخدام الاحتمال الشرطي لـ X المعطى Y كتوزيع مع دالة كتلة الاحتمال

[اللاتكس] p_ {X | Y} (x | y) = P \ left {X = x | Y = y \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {P \ left {X = x، Y = y \ right}} {P \ left {Y = y \ right}} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {p (x، y)} {p_ {Y} (y)} [/ اللاتكس]

بشرط أن يكون احتمال المقام أكبر من الصفر ، وبالمثل يمكننا كتابة هذا على النحو التالي

[اللاتكس] F_ {X | Y} (x | y) = P \ left {X \ leq x | Y \ leq y \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ sum_ {a \ leq x} p_ {X | Y} (أ | y) [/ اللاتكس]

في الاحتمال المشترك إذا كان X و Y متغيرين عشوائيين مستقلين ، فسيتحول هذا إلى

[اللاتكس] p_ {X | Y} (x | y) = P \ left {X = x | Y = y \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {P \ left {X = x، Y = y \ right}} {P \ left {Y = y \ right}} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = P \ left {X = x \ right} [/ اللاتكس]

لذا فإن التوزيع الشرطي المنفصل أو التوزيع الشرطي للمتغيرات العشوائية المنفصلة X معطى Y هو المتغير العشوائي مع دالة الكتلة الاحتمالية المذكورة أعلاه بطريقة مماثلة لـ Y معطى X يمكننا تحديده.

مثال على التوزيع الشرطي المنفصل

  1. أعثر على دالة الكتلة الاحتمالية للمتغير العشوائي X إذا كانت Y = 1 ، إذا كانت دالة كتلة الاحتمال المشتركة للمتغيرات العشوائية X و Y لها بعض القيم

ص (0,0،0.4) = 0,1 ، ف (0.2،1,0) = 0.1 ، ف (1,1) = 0.3 ، ف (XNUMX) = XNUMX

الآن أولاً وقبل كل شيء للقيمة Y = 1 لدينا

[latex]p_{Y}(1)=\sum_{x}p(x,1)=p(0,1)+p(1,1)=0.5[/latex]

لذلك باستخدام تعريف دالة الكتلة الاحتمالية

[اللاتكس] p_ {X | Y} (x | y) = P \ left {X = x | Y = y \ right} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {P \ left {X = x، Y = y \ right}} {P \ left {Y = y \ right}} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {p (x، y)} {p_ {Y} (y)} [/ اللاتكس]

لدينا

[latex]p_{X|Y}(0|1)=\frac{p(0,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{2}{5}[/latex]

و

[latex]p_{X|Y}(1|1)=\frac{p(1,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{3}{5}[/latex]

  • الحصول على التوزيع الشرطي لـ X معطى X + Y = n ، حيث X و Y هما توزيعات بواسون مع المعلمات λ1 و λ2 و X و Y متغيرات عشوائية مستقلة

نظرًا لأن المتغيرين العشوائيين X و Y مستقلان ، فإن التوزيع الشرطي سيكون له دالة كتلة احتمالية

[اللاتكس] P \ left {X = k | X + Y = n \ right} = \ frac {P \ left {X = k، X + Y = n \ right}} {P \ left {X + Y = n \ right}} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {P \ left {X = k، X = n -k \ right}} {P \ left {X + Y = n \ right}} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {P \ left {X = k \ right} P \ left {Y = nk \ right}} {P \ left {X + Y = n \ right}} [/ اللاتكس]

نظرًا لأن مجموع متغير Poisson العشوائي هو مرة أخرى poisson

[اللاتكس] P \ left {X = k | X + Y = n \ right} = \ frac {e ^ {- \ lambda {1}} \ لامدا{1} ^ {k}} {k!} \ frac {e ^ {- \ lambda_ {2} ^ {}} \ lambda {2} ^ {nk}} {(nk)!} \ left [\ frac {e ^ {- (\ lambda {1} + \ لامدا {2})} (\ lambda {1} + \ lambda _ {2}) ^ {n}} {n!} \ right] ^ {- 1} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {n!} {(nk)! k!} \ frac {\ lambda {1} ^ {k} \ lambda {2} ^ {nk}} {(\ lambda {1} + \ لامدا {2}) ^ {n}} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ binom {n} {k} \ left (\ frac {\ lambda {1}} {\ لامدا {1} + \ لامدا {2}} \ right) ^ {k} \ left (\ frac {\ lambda {2}} {\ لامدا {1} + \ لامدا {2}} \ right) ^ {nk} [/ لاتكس]

وبالتالي فإن التوزيع الشرطي مع دالة الكتلة الاحتمالية أعلاه سيكون توزيعًا مشروطًا لتوزيعات بواسون هذه. يمكن تعميم الحالة المذكورة أعلاه لأكثر من متغيرين عشوائيين.

التوزيع الشرطي المستمر

   التوزيع الشرطي المستمر للمتغير العشوائي X المعطى y المحدد بالفعل هو التوزيع المستمر مع دالة كثافة الاحتمال

[اللاتكس] f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x، y)} {f_ {Y} (y)} [/ اللاتكس]

كثافة المقام أكبر من الصفر ، وهي بالنسبة لدالة الكثافة المستمرة

[اللاتكس] f_ {X | Y} (x | y) dx = \ frac {f (x، y) dxdy} {f_ {Y} (y) dy} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ almost \ frac {P \ left {x \ leq X \ leq x + dx، y \ leq Y \ leq y + dy \ right}} {P \ left {y \ leq Y \ leq y + dy \ right }} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = P \ left {x \ leq X \ leq x + dx | y \ leq Y \ leq y + dy \ right} [/ اللاتكس]

وبالتالي فإن احتمال وظيفة الكثافة الشرطية هذه هو

[اللاتكس] P \ left {X \ in A | Y = y \ right} = \ int_ {A} f_ {X | Y} (x | y) dx [/ latex]

بطريقة مماثلة كما هو الحال في منفصلة إذا كانت X و Y مستقلة بشكل مستمر ، ثم أيضًا

[اللاتكس] f_ {X | Y} (x | y) dx = \ frac {f (x، y)} {f_ {Y} (y)} = \ frac {f_ {X} (x) f_ {Y} (ص)} {f_ {Y} (y)} = f_ {X} (x) [/ اللاتكس]

وبالتالي

[اللاتكس] \ frac {P \ left {x <X <x + dx | N = n \ right}} {dx} = \ frac {P \ left {N = n | x <X <x + dx \ right}} { P \ left {N = n \ right}} \ frac {P \ left {x <X <x + dx \ right}} {dx} [/ اللاتكس]

[لاتكس] \ lim_ {dx \ to 0} \ frac {P \ left {x <X <x + dx | N = n \ right}} {dx} = \ frac {P \ left {N = n | X = x \ right}} {P \ left {N = n \ right}} f (x) [/ اللاتكس]

حتى نتمكن من كتابتها

[اللاتكس] f_ {X | N} (x | n) = \ frac {P \ left {N = n | X = x \ right}} {P \ left {N = n \ right}} f (x) [ / اللاتكس]

مثال على التوزيع الشرطي المستمر

  1. احسب دالة الكثافة الشرطية للمتغير العشوائي X معطى Y إذا أعطيت دالة كثافة الاحتمال المشترك مع الفاصل المفتوح (0,1،XNUMX) بواسطة

[اللاتكس] f (x، y) = \ start {cases} \ frac {12} {5} x (2-xy) \ \ 0 <x <1، \ \ 0 <y <1 \\ \ \ 0 \ \ \ \ خلاف ذلك \ إنهاء {الحالات} [/ لاتكس]

إذا كان المتغير العشوائي X معطى Y ضمن (0,1،XNUMX) ثم باستخدام دالة الكثافة المذكورة أعلاه لدينا

[اللاتكس] f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x، y)} {f_ {Y} (y)} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {f (x، y)} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x، y) dx} [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {x (2-xy)} {\ int_ {0} ^ {1} x (2-xy) dx} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {x (2-xy)} {\ frac {2} {3} - \ frac {y} {2}} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {6x (2-xy)} {4-3y} [/ اللاتكس]

  • احسب الاحتمال الشرطي

[اللاتكس] P \ left {X> 1 | Y = y \ right} [/ اللاتكس]

إذا تم إعطاء دالة كثافة الاحتمال المشتركة بواسطة

f (x، y) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {y}} e ^ {- y}} {y} \ \ 0 <x <\ infty، \ \ 0 <y <\ infty \\ \ \ 0 \ \ \ \ \ خلاف ذلك \ إنهاء {الحالات}

للعثور على الاحتمال الشرطي أولاً ، نحتاج إلى دالة الكثافة الشرطية ، لذلك من خلال التعريف سيكون

[اللاتكس] f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x، y)} {f_ {Y} (y)} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {e ^ {- x / y} e ^ {- y} / y} {e ^ {- y} \ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y} dx} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = \ frac {1} {y} e ^ {- x / y} [/ اللاتكس]

الآن باستخدام دالة الكثافة هذه في احتمال احتمال مشروط is

[اللاتكس] P \ left {X> 1 | Y = y \ right} = \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {y} e ^ {- x / y} dx [/ latex]

[اللاتكس] = e ^ {- x / y} \ lvert_ {1} ^ {\ infty} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = e ^ {- 1 / y} [/ لاتكس]

التوزيع الشرطي للتوزيع العادي ثنائي المتغير

  نحن نعلم أن التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير للمتغيرات العشوائية العادية X و Y مع الوسائل والتباينات ذات الصلة حيث أن المعلمات لها دالة كثافة الاحتمال المشتركة

لذلك للعثور على التوزيع الشرطي لمثل هذا التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير لـ X ، يتم تحديد Y باتباع دالة الكثافة الشرطية للمتغير العشوائي المستمر ودالة كثافة المفصل أعلاه التي لدينا

التوزيع الشرطي
التوزيع الشرطي للتوزيع العادي ثنائي المتغير

من خلال ملاحظة هذا يمكننا القول أن هذا يتم توزيعه بشكل طبيعي مع المتوسط

[اللاتكس] \ اليسار (\ mu {x} + \ rho \ frac {\ sigma {س}} {\ سيغما {ص}} (ص- \ مو {y}) \ right) [/ اللاتكس]

والتباين

[لاتكس] \ سيجما _ {x} ^ {2} (1- \ rho ^ {2}) [/ لاتكس]

بالطريقة نفسها ، فإن دالة الكثافة الشرطية لـ Y نظرًا لأن X المحددة بالفعل ستكون مجرد تبادل لمواضع معلمات X مع Y ،

يمكن الحصول على دالة الكثافة الهامشية لـ X من دالة الكثافة الشرطية المذكورة أعلاه باستخدام قيمة الثابت

التوزيع الشرطي
التوزيع الشرطي للتوزيع العادي ثنائي المتغير

فلنعوض في التكامل

[اللاتكس] w = \ frac {y- \ mu {ص}} {\ سيغما {y}} [/ اللاتكس]

ستكون دالة الكثافة الآن

منذ القيمة الإجمالية ل

من خلال تعريف الاحتمالية ، ستكون دالة الكثافة الآن

وهي ليست سوى دالة الكثافة للمتغير العشوائي X مع المتوسط ​​المعتاد والتباين كمعلمات.

التوزيع الاحتمالي المشترك لوظيفة المتغيرات العشوائية

  نحن نعرف حتى الآن التوزيع الاحتمالي المشترك لمتغيرين عشوائيين ، والآن إذا كان لدينا وظائف لمثل هذه المتغيرات العشوائية ، فماذا سيكون التوزيع الاحتمالي المشترك لتلك الوظائف ، وكيفية حساب دالة الكثافة والتوزيع لأن لدينا مواقف واقعية حيث نحن لها وظائف المتغيرات العشوائية ،

إذا كان Y1 و ص2 هي وظائف المتغيرات العشوائية X1 و X2 على التوالي ، والتي تكون مستمرة بشكل مشترك ، ستكون وظيفة الكثافة المستمرة المشتركة لهاتين الوظيفتين

[latex]f_{Y_{1}Y_{2}}(y_{1}y_{2})=fX_{1}X_{2}(x_{1},x_{2})|J(x_{1},x_{2})|^{-1}[/latex]

أين يعقوبي

[لاتكس] J (x_ {1} ، x_ {2}) = \ start {vmatrix} \ frac {\ جزئي g_1} {\ جزئي x_1} & \ frac {\ جزئي g_1} {\ جزئي x_2} \ \ \\ \ frac {\ جزئي g_2} {\ جزئي x_1} & \ frac {\ جزئي g_2} {\ جزئي x_2} \ end {vmatrix} \ equiv \ frac {\ جزئي g_1} {\ جزئي x_1} \ frac {\ جزئي g_2 } {\ جزئي x_2} - \ فارك {\ جزئي g_1} {\ جزئي x_2} \ فارك {\ جزئي g_2} {\ جزئي x_1} \ neq 0 [/ لاتكس]

و ص1 =g1 (X1، العاشر2) و Y2 =g2 (X1، العاشر2) لبعض الوظائف ز1 وز2 . هنا ز1 وز2 يفي بشروط اليعاقبة كمشتقات جزئية مستمرة ومستمرة.

الآن سيكون احتمال مثل هذه الوظائف للمتغيرات العشوائية

أمثلة على التوزيع الاحتمالي المشترك لوظيفة المتغيرات العشوائية

  1. أوجد دالة كثافة المفصل للمتغيرات العشوائية Y1 =X1 +X2 و ص2=X1 -X2 ، حيث X1 و X2 هي دالة مستمرة بالاشتراك مع دالة كثافة الاحتمال المشتركة. ناقش أيضًا الطبيعة المختلفة للتوزيع.

هنا نتحقق أولاً من Jacobian

[لاتكس] J (x_ {1}، x_ {2}) = \ start {vmatrix} \ frac {\ جزئي g_1} {\ جزئي x_1} & \ frac {\ جزئي g_1} {\ جزئي x_2} \ \\ \ فارك {\ جزئي g_2} {\ جزئي x_1} & \ فارك {\ جزئي g_2} {\ جزئي x_2} \ نهاية {vmatrix} [/ لاتكس]

منذ ز1(x1، X2) = س1 + س2  وز2(x1، X2) = س1 - س2 so

[اللاتكس] J (x_ {1}، x_ {2}) = \ start {vmatrix} 1 & 1 \ \\ 1 & -1 \ end {vmatrix} = -2 [/ latex]

تبسيط ص1 =X1 +X2 و ص2=X1 -X2 ، لقيمة X1 = 1/2 (ص1 +Y2 ) و X2 = ص1 -Y2 ,

[اللاتكس] f_ {Y_ {1}} ،{Y{2}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{2}f_{X_{1},X_{2}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{y_{1} – y_{2}}{2} \right )[/latex]

إذا كانت هذه المتغيرات العشوائية هي متغيرات عشوائية موحدة مستقلة

[اللاتكس] f_ {Y_ {1} ، Y_ {2}} (y_ {1} ، y_ {2}) = \ begin {cases} \ frac {1} {2} \ \ 0 \ leq y_ {1} + y_ {2} \ leq 2 \ \، \ \ \ 0 \ leq y_ {1} - y_ {2} \ leq 2 \\ 0 \ \ خلاف ذلك \ end {cases} [/ latex]

أو إذا كانت هذه المتغيرات العشوائية عبارة عن متغيرات عشوائية أسية مستقلة ذات معلمات معتادة

أو إذا كانت هذه المتغيرات العشوائية هي متغيرات عشوائية عادية مستقلة إذن

[latex]f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\frac{1}{4\pi }e^{-[(y_{1}+y_{2})^{2}/8 + (y_{1} -y_{2})^{2}/8]}[/latex]

[اللاتكس] = \ frac {1} {4 \ pi} e ^ {- \ left (y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} \ right) / 4} [/ latex]

[latex]=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{1}^{2}/4} \frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{2}^{2}/4}[/latex]

  • إذا كان X و Y هما المتغيران المعياريان المستقلان على النحو الوارد
التوزيع الشرطي

احسب التوزيع المشترك للإحداثيات القطبية المعنية.

سنحول من خلال التحويل المعتاد X و Y إلى r و كـ

[اللاتكس] g_ {1} (x، y) = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \ \ \ \ \ \ theta = g_ {2} (x، y) = tan ^ {- 1} \ فارك {y} {x} [/ لاتكس]

لذا فإن المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة ستكون

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {1}} {\ جزئي x} = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} [/ اللاتكس]

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {2}} {\ جزئي x} = \ frac {1} {1+ (y / x) ^ {2}} \ left (\ frac {-y} {x ^ { 2}} \ right) ^ {2} = \ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}} [/ اللاتكس]

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {1}} {\ جزئي y} = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {2}} {\ جزئي y} = \ frac {1} {x \ left [1+ (y / x) ^ {2} \ right]} = \ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}} [/ لاتكس]

لذلك فإن اليعقوبي الذي يستخدم هذه الوظائف هو

[latex]J(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} + \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}[/latex]

إذا كان كلا المتغيرين العشوائيين X و Y أكبر من الصفر ، فإن دالة كثافة المفصل الشرطية هي

[اللاتكس] f (x، y | X> 0، Y> 0) = \ frac {f (x، y)} {P (X> 0، Y> 0)} = \ frac {2} {\ pi} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2} \ \ x> 0، \ \ y> 0 [/ latex]

الآن تحويل إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية باستخدام

[اللاتكس] r = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \ \ and \ \ \ theta = tan ^ {- 1} \ left (\ frac {y} {x} \ right) [/ اللاتكس]

لذلك كثافة الاحتمال وظيفة للقيم الموجبة ستكون

[اللاتكس] f (r، \ theta | X> 0، Y> 0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2} ، \ \ 0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2} ، \ \ 0 <r <\ infty [/ اللاتكس]

للاختلاف تركيبات من X و Y وظائف الكثافة بطرق متشابهة

[اللاتكس] f (r، \ theta | X 0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2} ، \ \ \ pi / 2 <\ theta <\ pi، \ \ 0 <r <\ infty [/ لاتكس]

[اللاتكس] f (r، \ theta | X <0، Y <0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2} ، \ \ \ pi <\ theta <3 \ pi / 2 ، \ \ 0 <r <\ infty [/ لاتكس]

[اللاتكس] f (r، \ theta | X> 0، Y <0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2} ، \ \ 3 \ pi / 2 <\ ثيتا <2 \ pi، \ \ 0 <r <\ infty [/ latex]

الآن من متوسط ​​الكثافات المذكورة أعلاه يمكننا ذكر دالة الكثافة كـ

[اللاتكس] f (r، \ theta) = \ frac {1} {2 \ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2} ، \ \ 0 <\ theta <2 \ pi، \ \ 0 <r <\ infty [/ اللاتكس]

ودالة الكثافة الهامشية من هذه الكثافة المشتركة للإحداثيات القطبية عبر الفترة (0 ، 2)

[اللاتكس] f (r) = re ^ {- r ^ {2} / 2} ، \ \ 0 <r <\ infty [/ latex]

  • أوجد دالة كثافة المفصل لوظيفة المتغيرات العشوائية

U = X + Y و V = X / (X + Y)

حيث X و Y هما توزيع جاما مع المعلمات (α + λ) و (β + λ) على التوالي.

باستخدام تعريف توزيع جاما ووظيفة التوزيع المشترك ستكون دالة الكثافة للمتغير العشوائي X و Y

[لاتكس] f_ {X، Y} (x، y) = \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda y} (\ lambda y) ^ {\ beta -1}} {\ Gamma (\ beta)} [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ lambda ^ {\ alpha + \ beta}} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} e ^ {- \ lambda (x + y)} x ^ {\ alpha - 1} ص ^ {\ بيتا -1} [/ لاتكس]

تعتبر الوظائف المعينة على أنها

g1 (س ، ص) = س + ص ، ز2 (س ، ص) = س / (س + ص) ،

لذا فإن اشتقاق هذه الوظيفة هو

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {1}} {\ جزئي x} = \ frac {\ جزئي g_ {1}} {\ جزئي y} = 1 [/ latex]

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {2}} {\ جزئي x} = \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} [/ لاتكس]

[لاتكس] \ frac {\ جزئي g_ {2}} {\ جزئي y} = - \ frac {x} {(x + y) ^ {2}} [/ latex]

الآن هو اليعقوبي

[اللاتكس] J (x، y) = \ begin {vmatrix} 1 & 2 \ \\ \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} & \ frac {-x} {(x + y) ^ {2}} \ end {vmatrix} = - \ frac {1} {x + y} [/ لاتكس]

بعد تبسيط المعادلات المعطاة ، المتغيرات x = uv و y = u (1-v) دالة كثافة الاحتمال هي

[اللاتكس] f_ {U، V} (u، v) = f_ {X، Y} \ left [uv، u (1-v) \ right] u [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda u} (\ lambda u) ^ {\ alpha + \ beta -1}} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)} \ frac {v ^ { \ alpha -1} (1-v) ^ {\ beta -1} \ Gamma (\ alpha + \ beta)} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} [/ latex]

يمكننا استخدام العلاقة

[لاتكس] ب (\ alpha، \ beta) = \ int_ {0} ^ {1} v ^ {\ alpha -1} (1-v) ^ {\ beta -1} dv [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)} [/ latex]

  • احسب دالة كثافة الاحتمال المشتركة لـ

Y1 =X1 +X2+ X3 ، نعم2 =X1- X2 ، نعم3 =X1 - X3

حيث المتغيرات العشوائية X1، X2، X3 هي المعيار المتغيرات العشوائية العادية.

الآن دعونا نحسب اليعقوبي باستخدام المشتقات الجزئية لـ

Y1 =X1 +X2+ X3 ، نعم2 =X1- X2 ، نعم3 =X1 - X3

as

[اللاتكس] J = \ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 \ \\ 1 & -1 & 0 \\ \ 1 & 0 & -1 \ end {vmatrix} = 3 [/ latex]

تبسيط المتغيرات X1 ، العاشر2 و X3

X1 = (ص1 + ص2 + ص3) / 3 ، X2 = (ص1 - 2 سنة2 + ص3) / 3 ، X3 = (ص1 + ص2 -2 ص3) / 3

يمكننا تعميم وظيفة كثافة المفصل مثل

[لاتكس] f_ {Y_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = f_ {X_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot X_ {n}} (x_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot x_ {n}) | J (x_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot x_ {n}) | ^ {- 1} [/ لاتكس]

اذا لدينا

[latex]f_{Y_{1}, Y_{2},Y_{3}}(y_{1}, y_{2},y_{3})=\frac{1}{3}f_{X_{1},X_{2},X_{3}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}-2y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2} -2y_{3}}{3} \right )[/latex]

بالنسبة للمتغير العادي ، تكون دالة كثافة الاحتمال المشترك

[latex]f_{X_{1}, X_{2},X_{3}}(x_{1}, x_{2},x_{3})=\frac{1}{(2\pi )^{3/2}}e^{-\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}/2}[/latex]

من هنا

[latex]f_{Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}}(y_{1}, y_{2}, y_{3})=\frac{1}{3(2\pi )^{3/2}}e^{-Q(y_{1},y_{2},y_{3})/2}[/latex]

حيث الفهرس

[لاتكس] Q (y_ {1}، y_ {2}، y_ {3}) = \ left (\ frac {(y_ {1} + y_ {2} + y_ {3})} {3} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {(y_ {1} -2y_ {2} + y_ {3})} {3} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {(y_ {1} + y_ {2} -2y_ {3})} {3} \ right) ^ {2} [/ لاتكس]

[latex]=\frac{y_{1}^{2}}{3} + \frac{2}{3} y_{2}^{2} +\frac{2}{3} y_{3}^{2} -\frac{2}{3}y_{2}y_{3}[/latex]

حساب دالة كثافة المفصل Y1 …… صn ودالة الكثافة الهامشية لـ Yn أين

[اللاتكس] Y_ {i} = X_ {1} + \ cdot \ cdot \ cdot. + X_ {i} \ \ i = 1 ، \ cdot \ cdot \ cdot .. ، n [/ لاتكس]

و Xi هي متغيرات عشوائية أسية مستقلة موزعة بشكل متماثل مع المعلمة λ.

للمتغيرات العشوائية للنموذج

Y1 =X1 ، نعم2 =X1 + X2 ، …… ، Yn =X1 + …… + Xn

سيكون اليعقوبي بالصورة

ومن ثم فإن قيمتها تساوي واحدًا ، ودالة كثافة المفصل للمتغير العشوائي الأسي

[اللاتكس] f_ {X_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot X_ {n}} (x_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot ، x_ {n}) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} \ lambda e ^ {- \ lambda x_ {i}} \ \ 0 <x_ {i} <\ infty، \ \ i = 1، \ cdot \ cdot \ cdot، n [/ latex]

وقيم المتغير Xi سيكون

[اللاتكس] X_ {1} = Y_ {1} ، X_ {2} = Y_ {2} -Y_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot ، X_ {i} = Y_ {i} -Y_ {i-1 } ، \ cdot \ cdot \ cdot ، X_ {n} = Y_ {n} -Y_ {n-1} [/ اللاتكس]

لذلك فإن وظيفة كثافة المفصل

[اللاتكس] f_ {Y_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {1} ، y_ {2} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = f_ { X_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot ، X_ {n}} (y_ {1} ، y_ {2} -y_ {1} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot ، y_ {i} -y_ {i-1} ، \ cdot \ cdot \ cdot ، y_ {n} -y_ {n-1}) [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ lambda ^ {n} exp \ left {- \ lambda \ left [y_ {1} + \ sum_ {i = 2} ^ {n} (y_ {i} -y_ {i-1}) \ right] \ right} [/ اللاتكس]

[لاتكس] = \ lambda ^ {n} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {1}، 0 <y_ {i} -y_ {i-1}، i = 2، \ cdot \ cdot \ cdot ، n [/ لاتكس]

[اللاتكس] = \ lambda ^ {n} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {1} <y_ {2} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n} [/ لاتكس]

الآن لإيجاد دالة الكثافة الهامشية لـ Yn سنتكامل واحدًا تلو الآخر على النحو التالي

[لاتكس] f_ {Y_ {2} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {2} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ int_ {0} ^ { y_ {2}} \ lambda ^ {n} e ^ {- \ lambda y_ {n}} dy_ {1} [/ latex]

[اللاتكس] = \ lambda ^ {n} y_ {2} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {2} <y_ {3} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n} [/ اللاتكس]

و

[اللاتكس] f_ {Y_ {3} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {3} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ int_ {0} ^ { y_ {3}} \ lambda ^ {n} y_ {2} e ^ {- \ lambda y_ {n}} dy_ {2} [/ latex]

[اللاتكس] = \ frac {\ lambda ^ {n}} {2} y_ {3} ^ {2} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {3} <y_ {4} < \ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n} [/ لاتكس]

على نفس المنوال

[اللاتكس] f_ {Y_ {4} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {4} ، \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ frac {\ lambda ^ { n}} {3!} y_ {4} ^ {3} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {4} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n} [/ لاتكس]

إذا واصلنا هذه العملية فسنحصل

[لاتكس] f_ {Y_ {n}} (y_ {n}) = \ lambda ^ {n} \ frac {y_ {n} ^ {n-1}} {(n-1)!} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {n} [/ لاتكس]

وهي دالة الكثافة الهامشية.

الخلاصة:

يوفر التوزيع المشروط للمتغير العشوائي المنفصل والمستمر مع أمثلة مختلفة مع الأخذ في الاعتبار بعض أنواع هذه المتغيرات العشوائية التي تمت مناقشتها ، حيث يلعب المتغير العشوائي المستقل دورًا مهمًا. بالإضافة إلى المفصل التوزيع لوظيفة المتغيرات العشوائية المستمرة المشتركة أوضح أيضًا بأمثلة مناسبة ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فانتقل إلى الروابط أدناه.

لمزيد من المنشورات حول الرياضيات ، يرجى الرجوع إلى موقعنا صفحة الرياضيات

ويكيبيدياhttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات