13 حقائق حول عدم المساواة في تشيبيشيف ونظرية الحد المركزية


في نظرية الاحتمالات عدم مساواة تشيبيشيف & نظرية النهاية المركزية تتعامل مع المواقف التي نريد إيجاد التوزيع الاحتمالي لمجموع الأعداد الكبيرة من المتغيرات العشوائية في حالة طبيعية تقريبًا ، قبل النظر إلى نظريات النهاية نرى بعض المتباينات ، والتي توفر حدود الاحتمالات إذا كانت يُعرف الوسط والتباين.

جدول المحتويات

عدم المساواة ماركوف

متباينة ماركوف للمتغير العشوائي X الذي يأخذ قيمة موجبة فقط لـ a> 0 هي

[اللاتكس] P \ {X \ geq a \} \ leq \ frac {E [X]} {a} [/ اللاتكس]

لإثبات ذلك ل> 0 النظر

[اللاتكس] I = \ left \ {\ start {array} {ll}
1 & \ نص {if} X \ geq a \\
0 & \ نص {خلاف ذلك}
\ end {array} \ right. [/ latex]

منذ

[اللاتكس] X \ geq 0 \\

\\ I \ leq \ frac {X} {a} [/ لاتكس]

الآن نتوقع هذه التفاوتات التي نحصل عليها

[اللاتكس] E [I] \ leq \ frac {E [X]} {a} [/ اللاتكس]

السبب هو

[اللاتكس] E [I] = P \ {X \ geq a \} [/ اللاتكس]

والذي يعطي عدم مساواة ماركوف لـ> 0 مثل

[اللاتكس] P \ {X \ geq a \} \ leq \ frac {E [X]} {a} [/ اللاتكس]

عدم المساواة في Chebyshev

    للمحدود يعني وتباين المتغير العشوائي X عدم مساواة Chebyshev ل> 0 هو

[لاتكس] P (| X- \ mu | \ geq k \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {k ^ {2}} [/ latex]

حيث يمثل sigma و mu التباين ومتوسط ​​المتغير العشوائي ، لإثبات ذلك نستخدم عدم المساواة ماركوف كمتغير عشوائي غير سالب

[لاتكس] (X- \ mu) ^ {2} [/ لاتكس]

لقيمة a كمربع ثابت ، وبالتالي

[لاتكس] P \ left \ {(X- \ mu) ^ {2} \ geq k ^ {2} \ right \} \ leq \ frac {E \ left [(X- \ mu) ^ {2} \ right ]} {k ^ {2}} [/ لاتكس]

هذه المعادلة تعادل

[لاتكس] P (| X- \ mu | \ geq k \} \ leq \ frac {E \ left [(X- \ mu) ^ {2} \ right]} {k ^ {2}} = \ frac { \ sigma ^ {2}} {k ^ {2}} [/ لاتكس]

بوضوح

[لاتكس] (X- \ mu) ^ {2} \ equiv k ^ {2} \ text {if and only if} | X- \ mu | \ geq k [/ لاتكس]

أمثلة على عدم مساواة ماركوف وتشيبيشيف :

  1. إذا تم أخذ إنتاج عنصر معين كمتغير عشوائي للأسبوع بمتوسط ​​50 ، فأوجد احتمال تجاوز الإنتاج 75 في الأسبوع وما هو الاحتمال إذا كان إنتاج الأسبوع بين 40 و 60 بشرط التباين لذلك الأسبوع 25؟

الحل: ضع في اعتبارك المتغير العشوائي X لإنتاج العنصر لمدة أسبوع ثم لإيجاد احتمال تجاوز الإنتاج 75 سنستخدمه عدم المساواة ماركوف as

[latex]P(X>75\} \leq \frac{E[X]}{75}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}[/latex]

الآن سنستخدم احتمال الإنتاج بين 40 إلى 60 مع التباين 25 عدم المساواة في Chebyshev as

[اللاتكس] P \ {| X-50 | \ geq 10 \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {10 ^ {2}} = \ frac {1} {4} [/ latex]

so

[latex]P\{|X-50|<10\} \geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} [/latex]

هذا يدل على احتمال الأسبوع إذا كان الإنتاج بين 40 إلى 60 هو 3/4.

2. تبين أن ملف عدم المساواة chebyshev الذي يوفر الحد الأعلى للاحتمال ليس بشكل خاص أقرب إلى القيمة الفعلية للاحتمال.

حل:

ضع في اعتبارك أن المتغير العشوائي X موزع بشكل موحد بمتوسط ​​5 والتباين 25/3 خلال الفترة (0,1،XNUMX) ثم بواسطة عدم المساواة chebyshev يمكننا الكتابة

[لاتكس] P (| X-5 |> 4 \} \ leq \ frac {25} {3 (16)} \ almost 0.52 [/ latex]

لكن الاحتمال الفعلي سيكون

[اللاتكس] الفوسفور (| X-5 |> 4 \} = 0.20 [/ اللاتكس]

وهو بعيد عن الاحتمال الفعلي بالمثل إذا أخذنا المتغير العشوائي X كما هو مُوزَّع عادةً مع المتوسط ​​والتباين عدم المساواة في Chebyshev سوف يكون

[اللاتكس] P \ {| X- \ mu |> 2 \ sigma \} \ leq \ frac {1} {4} [/ latex]

لكن الاحتمال الفعلي هو

[لاتكس] P (| X- \ mu |> 2 \ sigma \} = P \ left \ {\ left | \ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ right |> 2 \ right \} = 2 [ 1- \ Phi (2)] \ حوالي 0.0456
[/ اللاتكس]

قانون الأعداد الكبيرة الضعيف

القانون الضعيف لتسلسل المتغيرات العشوائية ستتبعه النتيجة التي عدم المساواة في Chebyshev يمكن استخدامها كأداة للبراهين على سبيل المثال لإثبات

[اللاتكس] P \ {X = E [X] \} = 1 [/ لاتكس]

إذا كان التباين هو صفر ، فإن المتغيرات العشوائية الوحيدة التي لها تباينات تساوي 0 هي تلك التي تكون ثابتة مع احتمال 1 عدم المساواة في Chebyshev لـ n أكبر من أو يساوي 1

[اللاتكس] P \ left \ {| X- \ mu |> \ frac {1} {n} \ right \} = 0 [/ latex]

as

[لاتكس] n \ rightarrow \ infty [/ latex]

من خلال استمرارية الاحتمال

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
0 = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P \ left \ {| X- \ mu |> \ frac {1} {n} \ right \} & = P \ left \ {\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left \ {| X- \ mu |> \ frac {1} {n} \ right \} \ right \} \\
& = P \ {X \ neq \ mu \}
\ end {align} [/ اللاتكس]

مما يثبت النتيجة.

قانون الأعداد الكبيرة الضعيف: لتسلسل المتغيرات العشوائية الموزعة والمستقلة بشكل متماثل X1,X2، ……. كل منها لها المتناهية تعني E [Xi] = μ ، ثم لأي ε> 0

[اللاتكس] P \ left \ {\ left | \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} - \ mu \ right | \ geq \ varepsilon \ right \} \ rightarrow 0 \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty [/ latex]

لإثبات ذلك نفترض أن التباين محدود أيضًا لكل متغير عشوائي في التسلسل وبالتالي التوقع والتباين

[اللاتكس] E \ left [\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} \ right] = \ mu \ quad \ text {and} \ quad \ operatorname {Var} \ left (\ فارك {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} \ right) = \ frac {\ sigma ^ {2}} {n} [/ latex]

الآن من عدم المساواة في Chebyshev الحد الأعلى للاحتمال كـ

[اللاتكس] P \ left \ {\ left | \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} - \ mu \ right | \ geq \ varepsilon \ right \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {n \ varepsilon ^ {2}} [/ latex]

الذي بالنسبة لـ n ، سيكون الميل إلى اللانهاية

[اللاتكس] P \ left \ {\ left | \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} - \ mu \ right | \ geq \ varepsilon \ right \} \ rightarrow 0 \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty [/ latex]

نظرية الحد المركزي

يوفر نظرية الحد المركزي هي إحدى النتائج المهمة في نظرية الاحتمالات لأنها تعطي التوزيع لمجموع الأعداد الكبيرة وهو أمر طبيعي تقريبًا توزيع بالإضافة إلى طريقة إيجاد الاحتمالات التقريبية لمجموعات المتغيرات العشوائية المستقلة ، تُظهر نظرية الحد المركزي أيضًا الترددات التجريبية للعديد من المجموعات الطبيعية تظهر منحنيات طبيعية على شكل جرس ، قبل إعطاء الشرح التفصيلي لهذه النظرية نستخدم النتيجة

"إذا كان تسلسل المتغيرات العشوائية ض1,Z2،…. لها وظيفة التوزيع ووظيفة توليد اللحظة كـ FZn و Mzn then

[اللاتكس] M_ {Z_ {n}} (t) \ rightarrow M_ {Z} (t) \ text {للجميع t ، ثم} F_ {Z_ {n}} (t) \ rightarrow F_ {Z} (t) \ text {لجميع t حيث} F_ {Z} (t) \ text {مستمر "} [/ لاتكس]

نظرية الحد المركزي: لتسلسل المتغيرات العشوائية الموزعة والمستقلة بشكل متماثل X1,X2، ……. لكل منها متوسط ​​μ و فرق σ2 ثم توزيع المجموع

[اللاتكس] \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n} -n \ mu} {\ sigma \ sqrt {n}} [/ لاتكس]

تميل إلى المعيار الطبيعي حيث أن n تميل إلى اللانهاية لكي تكون قيم حقيقية

[اللاتكس] P \ left \ {\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n} -n \ mu} {\ sigma \ sqrt {n}} \ leq a \ right \} \ rightarrow \ frac {1 } {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {a} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \ quad \ text {as} n \ rightarrow \ infty [/ latex]

الدليل: لإثبات النتيجة ، اعتبر المتوسط ​​على أنه صفر والتباين كواحد أي μ = 0 & σ2= 1 و وظيفة توليد اللحظة لـ Xi موجود ومحدود القيمة لذا فإن وظيفة توليد اللحظة للمتغير العشوائي Xi/ √n سيكون

[اللاتكس] E \ left [\ exp \ left \ {\ frac {t X_ {i}} {\ sqrt {n}} \ right \} \ right] = M \ left (\ frac {t} {\ sqrt { n}} \ right) [/ لاتكس]

hene دالة توليد اللحظة لمجموع ΣXi/ √n سيكون

[لاتكس] \ يسار [M \ left (\ frac {L} {\ sqrt {n}} \ right) \ right] ^ {n} [/ latex]

الآن دعونا نأخذ L (t) = logM (t)

so

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
لتر (0) & = 0 \\
L ^ {\ prime} (0) & = \ frac {M ^ {\ prime} (0)} {M (0)} \\
& = \ mu \\
& = 0 \\
L ^ {\ prime \ prime} (0) & = \ frac {M (0) M ^ {\ prime \ prime} (0) - \ left [M ^ {\ prime} (0) \ right] ^ {2 }} {[M (0)] ^ {2}} \\
& = E \ left [X ^ {2} \ right] \\
& = 1
\ end {align} [/ اللاتكس]

لإظهار الدليل الذي نعرضه أولاً

[لاتكس] [M (t / \ sqrt {n})] ^ {n} \ rightarrow e ^ {2 ^ {2} / 2} \ text {as} n \ rightarrow \ infty [/ latex]

من خلال إظهار شكله المكافئ

[اللاتكس] n L (t / \ sqrt {n}) \ rightarrow t ^ {2} / 2 [/ اللاتكس]

منذ

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {L (t / \ sqrt {n})} {n ^ {- 1}} & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {-L ^ {\ prime} (t / \ sqrt {n}) n ^ {- 3/2} t} {- 2 n ^ {- 2}} \ quad \ text {by L'Hôpital's rule} \\
& = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ frac {L ^ {\ prime} (t / \ sqrt {n}) t} {2 n ^ {- 1/2}} \ right] \ \
& = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ frac {-L ^ {\ prime \ prime} (t / \ sqrt {n}) n ^ {- 3/2} t ^ {2}} {-2 n ^ {- 3/2}} \ right] \ quad \ text {مرة أخرى بواسطة قاعدة L'Hôpital} \\
& = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left [L ^ {\ prime \ prime} \ left (\ frac {t} {\ sqrt {n}} \ right) \ frac {t ^ {2}} {2} \ right] \\
& = \ frac {t ^ {2}} {2} \ end {align} [/ اللاتكس]

ومن ثم فإن هذا يوضح نتيجة متوسط ​​الصفر والتباين 1 ، وتتبع هذه النتيجة نفسها للحالة العامة أيضًا عن طريق أخذها

[اللاتكس] X_ {i} ^ {*} = \ left (X_ {i} - \ mu \ right) / \ sigma [/ latex]

ولكل لدينا

[اللاتكس] P \ left \ {\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n} -n \ mu} {\ sigma \ sqrt {n}} \ leq a \ right \} \ rightarrow \ Phi (a ) [/ لاتكس]

مثال على نظرية الحدود المركزية

لحساب المسافة في السنة الضوئية لنجم من معمل عالم فلك ، فإنه يستخدم بعض تقنيات القياس ولكن بسبب التغير في الغلاف الجوي في كل مرة ، فإن المسافة التي تم قياسها ليست دقيقة ولكن مع وجود بعض الأخطاء ، لذلك للعثور على المسافة الدقيقة التي يخطط لها راقب باستمرار في تسلسل ومتوسط ​​هذه المسافات على أنها المسافة المقدرة ، إذا اعتبر قيم القياس موزعة بشكل متماثل ومتغير عشوائي مستقل بمتوسط ​​d والتباين 4 سنة ضوئية ، ابحث عن عدد القياس الذي يجب القيام به للحصول على خطأ 0.5 في القيمة المقدرة والفعلية؟

الحل: دعونا نعتبر القياسات المتغيرات العشوائية المستقلة في التسلسل X.1,X2، ......Xn لذلك من خلال نظرية الحد المركزي يمكننا الكتابة

[اللاتكس] Z_ {n} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} -nd} {2 \ sqrt {n}} [/ اللاتكس]

وهو التقريب بالمعيار التوزيع الطبيعي لذلك فإن الاحتمال سيكون

[لاتكس] \ يسار. \ ابدأ {مجموعة} {rl}
ف \ يسار \ {- 0.5 \ leq \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}} {n} -d \ leq 0.5 \ right.
\ end {array} \ right \} = P \ left \ {- 0.5 \ frac {\ sqrt {n}} {2} \ leq Z_ {n} \ leq 0.5 \ frac {\ sqrt {n}} {2} \ يمين \} \ تقريبًا \ Phi \ يسار (\ frac {\ sqrt {n}} {4} \ right) - \ Phi \ left (\ frac {- \ sqrt {n}} {4} \ right) = 2 \ Phi \ left (\ frac {\ sqrt {n}} {4} \ right) -1 [/ اللاتكس]

لذلك للحصول على دقة القياس بنسبة 95 في المائة ، يجب على الفلكي قياس مسافات n * حيث

[لاتكس] 2 \ Phi \ left (\ frac {\ sqrt {n ^ {*}}} {4} \ right) -1 = 0.95 \ quad \ text {or} \ quad \ Phi \ left (\ frac {\ الجذر التربيعي {n ^ {*}}} {4} \ right) = 0.975 [/ اللاتكس]

لذلك من جدول التوزيع العادي يمكننا كتابته على النحو التالي

[اللاتكس] \ frac {\ sqrt {n ^ {*}}} {4} = 1.96 \ quad \ text {or} \ quad n ^ {*} = (7.84) ^ {2} \ حوالي 61.47 [/ اللاتكس]

التي تنص على أن القياس يجب أن يتم لعدد 62 مرة ، ويمكن أيضًا ملاحظة ذلك بمساعدة عدم المساواة في Chebyshev بأخذ

[اللاتكس] E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} \ right] = d \ quad \ operatorname {Var} \ left (\ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} \ right) = \ frac {4} {n} [/ latex]

لذلك ينتج عن عدم المساواة

[اللاتكس] P \ left \ {\ left | \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} -d \ right |> 0.5 \ right \} \ leq \ frac {4 } {n (0.5) ^ {2}} = \ frac {16} {n} [/ اللاتكس]

ومن ثم فإن n = 16 / 0.05 = 320 مما يعطي اليقين أنه سيكون هناك خطأ بنسبة 5٪ فقط في قياس مسافة النجم من معمل الملاحظات.

2. عدد الطلاب المقبولين في مقرر الهندسة بواسون موزعين بمتوسط ​​100 ، وقد تقرر أنه إذا كان عدد الطلاب المقبولين 120 أو أكثر ، فسيكون التدريس في قسمين وإلا في قسم واحد فقط ، ما هو احتمال وجود يكون قسمين للدورة؟

الحل: باتباع توزيع بواسون سيكون الحل الدقيق

[لاتكس] e ^ {- 100} \ sum_ {i = 120} ^ {\ infty} \ frac {(100) ^ {i}} {i!} [/ latex]

التي من الواضح أنها لا تعطي القيمة العددية المعينة ، إذا اعتبرنا المتغير العشوائي X كما اعترف الطلاب ثم من قبل نظرية الحد المركزي

[اللاتكس] P \ {X \ geq 120 \} = P \ {X \ cong 119.5 \} [/ اللاتكس]

التي يمكن أن تكون

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
= P \ left \ {\ frac {X-100} {\ sqrt {100}} \ geq \ frac {119.5-100} {\ sqrt {100}} \ right \} \\
\ تقريبا 1- \ Phi (1.95) \\
\ تقريبا 0.0256
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

وهي القيمة العددية.

3. احسب احتمالية أن يكون مجموع 30 نردات عند دحرجتها بين 40 و 30 بما في ذلك 40 و XNUMX؟

الحل: هنا اعتبار القالب Xi لعشر قيم من أنا. سيكون المتوسط ​​والتباين

[اللاتكس] E \ left (X_ {i} \ right) = \ frac {7} {2} ، \ quad \ operatorname {Var} \ left (X_ {i} \ right) = E \ left [X_ {i} ^ {2} \ right] - \ left (E \ left [X_ {i} \ right] \ right) ^ {2} = \ frac {35} {12} [/ latex]

وبالتالي بعد نظرية الحد المركزي يمكننا الكتابة

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
ف [29.5 \ leq X \ leq 40.5 \} & = P \ left \ {\ frac {29.5-35} {\ sqrt {\ frac {350} {12}}} \ leq \ frac {X-35} {\ sqrt {\ frac {350} {12}}} \ leq \ frac {40.5-35} {\ sqrt {\ frac {350} {12}}} \ right \} \\
& \ تقريبا 2 \ Phi (1.0184) -1 \\
& \ حوالي 0.692
\ end {align} [/ اللاتكس]

وهو الاحتمال المطلوب.

4. للمتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل موحد Xi في الفترة الزمنية (0,1،XNUMX) ، ما هو تقريب الاحتمال

[اللاتكس] P \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {10} X_ {i}> 6 \ right \} [/ اللاتكس]

الحل: من توزيع Unifrom نعلم أن المتوسط ​​والتباين سيكونان

[اللاتكس] E \ left [X_ {i} \ right] = \ frac {1} {2} \ qquad \ operatorname {Var} \ left (X_ {i} \ right) = \ frac {1} {12} [ / اللاتكس]

الآن باستخدام ملف نظرية الحد المركزي نستطيع

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
P\left\{\sum_{1}^{10} X_{i}>6\right\} &=P\left\{\frac{\sum_{1}^{10} X_{i}-5}{\sqrt{10\left(\frac{1}{12}\right)}}>\frac{6-5}{\sqrt{10\left(\frac{1}{12}\right)}}\right\} \\
& \ تقريبا 1- \ Phi (\ sqrt {1.2}) \\
& \ حوالي 0.1367
\ end {align} [/ اللاتكس]

وبالتالي سيكون مجموع المتغير العشوائي 14 بالمائة.

5. ابحث عن احتمال أن يعطي مقيِّم الامتحان الدرجات 25 اختبارًا في البداية 450 دقيقة إذا كان هناك 50 اختبارًا يكون وقت تقديرها مستقلاً بمتوسط ​​20 دقيقة وانحراف معياري 4 دقائق.

الحل: ضع في اعتبارك الوقت المطلوب لتقدير الامتحان بواسطة المتغير العشوائي Xi لذلك سيكون المتغير العشوائي X

[اللاتكس] X = \ sum_ {i = 1} ^ {25} X_ {i} [/ اللاتكس]

نظرًا لأن هذه المهمة لمدة 25 اختبارًا تستغرق 450 دقيقة

[اللاتكس] P \ {X \ leq 450 \} [/ اللاتكس]

[latex]E[X]=\sum_{i=1}^{25} E\left[X_{i}\right]=25(20)=500[/latex]

[اللاتكس] \ operatorname {Var} (X) = \ sum_ {i = 1} ^ {25} \\
\ operatorname {Var} \ left (X_ {i} \ right) = 25 (16) = 400 [/ latex]

هنا باستخدام نظرية الحد المركزي

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
P [X \ leq 450 \} & = P \ left (\ frac {X-500} {\ sqrt {400}} \ leq \ frac {450-500} {\ sqrt {400}} \ right) \\
& \ تقريبا P (Z \ leq-2.5 \} \\
& = P (Z \ geq 2.5 \} \\
& = 1- \ Phi (2.5) = 0.006
\ end {align} [/ اللاتكس]

وهو الاحتمال المطلوب.

نظرية الحد المركزية للمتغيرات العشوائية المستقلة

للتسلسل الذي لم يتم توزيعه بشكل متماثل ولكن له متغيرات عشوائية مستقلة X1,X2، ……. لكل منها متوسط ​​μ والتباين σ2 شريطة أن يرضي

  1. كل Xi مقيد بشكل موحد
  2. إذن مجموع الفروق لانهائية

[اللاتكس] P \ left \ {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ left (X_ {i} - \ mu_ {i} \ right)} {\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sigma_ {i} ^ {2}}} \ simeq a \ right \} \ rightarrow \ Phi (a) \ quad \ text {as} n \ rightarrow \ infty [/ latex]

قانون قوي للأعداد الكبيرة

يعتبر القانون القوي للأعداد الكبيرة مفهومًا بالغ الأهمية لنظرية الاحتمالات التي تنص على أن متوسط ​​تسلسل المتغير العشوائي الموزع بشكل شائع مع احتمال أن يتقارب المرء مع متوسط ​​نفس التوزيع

ملخص الحساب: لتسلسل متطابقة وزعت والمتغيرات العشوائية المستقلة X1,X2، ……. لكل منها متوسط ​​منتهي مع احتمال واحد

[اللاتكس] \ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n} \ rightarrow \ mu \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty ^ {\ dagger} [/ اللاتكس]

الدليل: لإثبات ذلك اعتبر أن متوسط ​​كل متغير عشوائي هو صفر ، والمتسلسلة

[اللاتكس] S_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} [/ اللاتكس]

الآن لهذا اعتبر قوة هذا على أنها

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [S_ {n} ^ {4} \ right] = & E \ left [\ left (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ right) \ left (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ right) \ right. \\
& \ يسار. \ مرات \ يسار (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ يمين) \ يسار (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ يمين) \ يمين]
\ end {align} [/ اللاتكس]

بعد أخذ مفكوك الطرف الأيمن ، لدينا شروط الصورة

[اللاتكس] X_ {i} ^ {4} ، \ quad X_ {i} ^ {3} X_ {j} ، \ quad X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ {2} ، \ quad X_ { i} ^ {2} X_ {j} X_ {k}، \ quad \ quad X_ {i} X_ {j} X_ {k} X_ {l} [/ لاتكس]

لأن هؤلاء مستقلين لذا فإن متوسط ​​هؤلاء سيكون

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [X_ {i} ^ {3} X_ {j} \ right] & = E \ left [X_ {i} ^ {3} \ right] E \ left [X_ {j} \ right] = 0 \ \
E \ left [X_ {i} ^ {2} X_ {j} X_ {k} \ right] & = E \ left [X_ {i} ^ {2} \ right] E \ left [X_ {j} \ right ] E \ left [X_ {k} \ right] = 0 \\
E \ left [X_ {i} X_ {j} X_ {k} X_ {l} \ right] & = 0 \\
\ end {align} [/ اللاتكس]

بمساعدة الجمع بين الزوجين ، سيكون توسيع السلسلة الآن

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [S_ {n} ^ {4} \ right] & = n E \ left [X_ {i} ^ {4} \ right] +6 \ left (\ start {array} {l}
ن \\
2
\ end {array} \ right) E \ left [X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ {2} \ right] \\
& = n K + 3 n (n-1) E \ left [X_ {i} ^ {2} \ right] E \ left [X_ {j} ^ {2} \ right]
\ end {align} [/ اللاتكس]

منذ

[latex]0 \leq \operatorname{Var}\left(X_{i}^{2}\right)=E\left[X_{i}^{4}\right]-\left(E\left[X_{i}^{2}\right]\right)^{2}[/latex]

so

[لاتكس] \ يسار (E \ left [X_ {i} ^ {2} \ right] \ right) ^ {2} \ leq E \ left [X_ {i} ^ {4} \ right] = K [/ latex ]

نحصل على

[لاتكس] E \ left [S_ {n} ^ {4} \ right] \ leq n K + 3 n (n-1) K [/ latex]

هذا يشير إلى عدم المساواة

[لاتكس] E \ left [\ frac {S_ {n} ^ {4}} {n ^ {4}} \ right] \ leq \ frac {K} {n ^ {3}} + \ frac {3 K} {ن ^ {2}} [/ لاتكس]

من هنا

[latex]E\left[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} E\left[\frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]<\infty[/latex]

من خلال تقارب السلسلة لأن احتمال كل متغير عشوائي هو واحد كذلك

[اللاتكس] \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {S_ {n} ^ {4}} {n ^ {4}} = 0 [/ latex]

منذ

[اللاتكس] \ frac {S_ {n}} {n} \ rightarrow 0 \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty [/ latex]

إذا كان متوسط ​​كل متغير عشوائي لا يساوي الصفر ، فيمكننا كتابته مع الانحراف والاحتمال الأول

[اللاتكس] \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ left (X_ {i} - \ mu \ right)} {n} = 0 [/ latex]

or

[اللاتكس] \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} = \ mu [/ latex]

وهو النتيجة المطلوبة.

عدم مساواة تشيبيشيف من جانب واحد

متباينة Chebysheve أحادية الجانب للمتغير العشوائي X بمتوسط ​​صفر وتباين محدود إذا كان a> 0 هو

عدم مساواة تشيبيشيف
عدم المساواة chebyshev

لإثبات ذلك ، ضع في اعتبارك أن b> 0 دع المتغير العشوائي X هو

[اللاتكس] X \ geq a \ text {مكافئ لـ} X + b \ geq a + b [/ latex]

الذي يعطي

[اللاتكس] P [X \ geq a] = P [X + b \ geq a + b] \\
\ leq P [(X + b) ^ {2} \ geq (a + b) ^ {2}]
[/ اللاتكس]

لذلك باستخدام عدم المساواة ماركوف

عدم مساواة تشيبيشيف
chebyshev من جانب واحد

الذي يعطي عدم المساواة المطلوبة. بالنسبة للمتوسط ​​والتباين يمكننا كتابته على النحو التالي

[لاتكس] P (X- \ mu \ geq a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}}
\\ P (\ mu-X \ geq a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}} [/ لاتكس]

يمكن كتابة هذا كذلك باسم

[اللاتكس] \ ابدأ {مجموعة} {l}
ف (X \ geq \ mu + a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}} \\
P \ {X \ leq \ mu-a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}}
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

على سبيل المثال:

أوجد الحد الأعلى لاحتمال أن يكون إنتاج الشركة الموزعة عشوائيًا 120 على الأقل ، إذا كان إنتاج هذه الشركة المعينة يعني 100 والتباين 400.

حل:

باستخدام جانب واحد عدم الإنصاف chebyshev

[لاتكس] P \ {X \ geq 120 \} = P (X-100 \ geq 20 \} \ leq \ frac {400} {400+ (20) ^ {2}} = \ frac {1} {2} [/ اللاتكس]

لذا فإن هذا يعطي احتمال الإنتاج في غضون أسبوع على الأقل 120 هو 1/2 ، والآن سيتم الحصول على حد هذا الاحتمال باستخدام عدم المساواة ماركوف

[اللاتكس] P [X \ geq 120 \} \ leq \ frac {E (X)} {120} = \ frac {5} {6} [/ اللاتكس]

الذي يظهر الحد الأعلى للاحتمال.

على سبيل المثال:

يتم أخذ مائة زوج من مائتي شخص لديهم مائة رجل ومائة امرأة يجدون الحد الأعلى لاحتمال أن يتكون ثلاثين زوجًا على الأكثر من رجل وامرأة.

حل:

دع المتغير العشوائي Xi as

[اللاتكس] X_ {i} = \ left \ {\ start {array} {ll} 1 & \ text {if man i is paired with a women} \\ 0 & \ text {خلاف ذلك} \ end {array} \ right . [/ لاتكس]

لذلك يمكن التعبير عن الزوج كـ

[اللاتكس] X = \ sum_ {i = 1} ^ {100} X_ {i} [/ اللاتكس]

نظرًا لأن كل رجل يمكن أن يتزاوج مع الأشخاص المتبقين الذين يوجد بينهم مائة من النساء ، فهذا يعني

[اللاتكس] E \ left [X_ {i} \ right] = P \ left \ {X_ {i} = 1 \ right \} = \ frac {100} {199} [/ اللاتكس]

بنفس الطريقة إذا كان i و j غير متساويين

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [X_ {i} X_ {j} \ right] & = P \ left \ {X_ {i} = 1، X_ {j} = 1 \ right \} \\
& = P \ left \ {X_ {i} = 1 \ right \} P \ left [X_ {j} = 1 \ mid X_ {i} = 1 \ right \} = \ frac {100} {199} \ frac {99} {197}
\ end {align} [/ اللاتكس]

as

[اللاتكس] P \ left \ {X_ {j} = 1 \ mid X_ {i} = 1 \ right \} = 99/197 [/ latex]

ومن ثم لدينا

[لاتكس] تبدأ {محاذاة}
E [X] & = \ sum_ {i = 1} ^ {100} E \ left [X_ {i} \ right] \\
& = (100) \ frac {100} {199} \\
& \ حوالي 50.25 \
\ operatorname {Var} (X) & = \ sum_ {i = 1} ^ {100} \ operatorname {Var} \ left (X_ {i} \ right) +2 \ sum_ {i
&=100 \frac{100}{199} \frac{99}{199}+2\left(\begin{array}{c}
100 \\
2
\end{array}\right)\left[\frac{100}{199} \frac{99}{197}-\left(\frac{100}{199}\right)^{2}\right] \\
& \ حوالي 25.126
\ end {align} [/ اللاتكس]

يستخدم ال عدم المساواة chebyshev

[اللاتكس] P \ {X \ leq 30 \} \ leq P \ {| X-50.25 | \ geq 20.25 \} \ leq \ frac {25.126} {(20.25) ^ {2}} \ حوالي 0.061 [/ اللاتكس]

التي تشير إلى أن إمكانية إقران 30 رجلاً بالنساء أقل من ستة ، وبالتالي يمكننا تحسين الحد باستخدام عدم المساواة بين شيبيشيف من جانب واحد

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
P [X \ leq 30 \} & = P [X \ leq 50.25-20.25 \ rangle \\
& \ leq \ frac {25.126} {25.126+ (20.25) ^ {2}} \\
& \ تقريبًا ، 0.058
\ end {align} [/ اللاتكس]

تشيرنوف باوند

إذا كانت وظيفة توليد اللحظة معروفة بالفعل بعد ذلك

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
ف [X \ geq a \} & = P \ left (e ^ {\ ell X} \ geq e ^ {\ downarrow a} \ right) \\
& \ leq E \ left [e ^ {t X} \ right] e ^ {- ta}
\ end {align} [/ اللاتكس]

as

[اللاتكس] M (t) = E \ left [e ^ {LX} \ right] [/ اللاتكس]

بنفس الطريقة يمكننا كتابة t <0 مثل

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
P \ {X \ leq a \} & = P \ left \ {e ^ {IX} \ geq e ^ {[\ alpha} \ right \} \\
& \ leq E \ left [e ^ {t X} \ right] e ^ {- ta}
\ end {align} [/ اللاتكس]

وبالتالي يمكن تعريف حدود تشيرنوف على أنها

[اللاتكس] \ تبدأ {مجموعة} {ll}
P \ {X \ geq a \} \ leq e ^ {- f \ tau} M (t) & \ text {for all} t> 0 \\
P \ {X \ leq a \} \ leq e ^ {- \ pi \ tau} M (t) & \ text {for all} t <0
\ نهاية {مجموعة} [/ لاتكس]

تمثل هذه المتباينة جميع قيم t سواء كانت موجبة أو سالبة.

حدود تشيرنوف للمتغير العشوائي العادي القياسي

حدود تشيرنوف للمعيار متغير عشوائي عادي الذي وظيفة توليد اللحظة

[اللاتكس] M (t) = e ^ {e ^ {2} / 2} [/ اللاتكس]

is

[لاتكس] P \ {Z \ geq a \ rangle \ leq e ^ {- ta} e ^ {t ^ {2} / 2} \ quad \ text {for all} \ quad t> 0 [/ latex]

لذا فإن التقليل من هذه المتباينة وحدود القوة في الجانب الأيمن نحصل على a> 0

[اللاتكس] P \ {Z \ geq a \} \ simeq e ^ {- \ lambda ^ {2} / 2} [/ latex]

وبالنسبة لـ <0 فهو كذلك

[اللاتكس] P \ {Z \ leq a \} \ leqq e ^ {- \ alpha ^ {2} / 2} [/ latex]

حدود تشيرنوف لمتغير بواسون العشوائي

حدود تشيرنوف لمتغير بواسون العشوائي الذي يعمل على توليد اللحظة

[لاتكس] M (t) = e ^ {\ lambda \ left (e ^ {\ prime} -1 \ right)} [/ لاتكس]

is

[اللاتكس] P \ {X \ geq i \} \ leq e ^ {\ lambda \ left (e ^ {t} -1 \ right)} e ^ {- it} \ quad t> 0 [/ latex]

لذا فإن التقليل من هذه المتباينة وحدود القوة في الجانب الأيمن نحصل على a> 0

[اللاتكس] P \ {X \ geq i \} \ leq e ^ {\ lambda \ omega / \ lambda-1)} \ left (\ frac {\ lambda} {i} \ right) [/ latex]

وسيكون

[اللاتكس] P \ {X \ geq i \} \ leq \ frac {e ^ {- 2} (e \ lambda) ^ {i}} {l ^ {i}} [/ لاتكس]

مثال على تشيرنوف باوندز

في إحدى الألعاب ، إذا كان من المرجح أن يفوز اللاعب باللعبة أو يخسرها بشكل متساوٍ بغض النظر عن أي نتيجة سابقة ، فابحث عن عنصر التحكم المرتبط بالاحتمال

الحل: دع Xi تدل على فوز اللاعب ثم الاحتمال

[اللاتكس] P \ left \ {X_ {i} = 1 \ right \} = P \ left \ {X_ {i} = - 1 \ right \} = \ frac {1} {2} [/ latex]

لتسلسل ن يلعب دعونا

[اللاتكس] S_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} [/ اللاتكس]

لذلك ستكون وظيفة توليد اللحظة

[لاتكس] E \ left [e ^ {\ ell X} \ right] = \ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2} [/ latex]

هنا باستخدام توسعات المصطلحات الأسية

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
e ^ {I} + e ^ {- l} & = 1 + t + \ frac {t ^ {2}} {2!} + \ frac {t ^ {3}} {3!} + \ cdots + \ left ( 1-t + \ frac {t ^ {2}} {2!} - \ frac {t ^ {3}} {3!} + \ cdots \ right) \\
& = 2 \ left \ {1+ \ frac {t ^ {2}} {2!} + \ frac {t ^ {4}} {4!} + \ cdots \ right \} \\
& = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {t ^ {2 n}} {(2 n)!} \\
& \ simeq 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ left (t ^ {2} / 2 \ right) ^ {n}} {n!} \ quad \ operatorname {since} (2 ن) ! \ geq n! 2 ^ {n} \\
& = 2 e ^ {t ^ {2} / 2}
\ end {align} [/ اللاتكس]

اذا لدينا

[لاتكس] E \ left [e ^ {t X} \ right] \ geq e ^ {t ^ {2} / 2} [/ اللاتكس]

الآن تطبيق خاصية وظيفة توليد اللحظة

[لاتكس] \ تبدأ {محاذاة}
E \ left [e ^ {\ mathcal {S} _ {n}} \ right] & = \ left (E \ left [e ^ {LX} \ right] \ right) ^ {n} \\
& \ leq e ^ {n ^ {2} / 2}
\ end {align} [/ اللاتكس]

هذا يعطي المتباينة

[اللاتكس] P \ left \ {S_ {n} \ geq a \ right \} \ leq e ^ {- \ alpha ^ {2} / 2 n} \ quad a> 0 [/ latex]

من هنا

[اللاتكس] P \ left \ {S_ {10} \ geq 6 \ right \} \ leq e ^ {- 36/20} \ almost 0.1653 [/ latex]

الخلاصة:

تمت مناقشة نظرية عدم المساواة والحد للأعداد الكبيرة ، كما تم أخذ الأمثلة المبررة لحدود الاحتمالات للحصول على لمحة عن الفكرة ، كما تم أخذ مساعدة المتغير العشوائي العادي والدالة المولدة للحظة. المفهوم بسهولة ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من القراءة ، فراجع الكتب أدناه أو لمزيد من المقالات حول الاحتمالية ، يرجى اتباع صفحات الرياضيات.

دورة أولى في الاحتمالات من شيلدون روس

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

مقدمة عن الاحتمالات والإحصاء بواسطة روهاجي وصالح

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات