خصائص الرسوم البيانية للوظيفة: 5 حقائق مهمة


خصائص الرسوم البيانية الوظيفية

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية، ستناقش هذه المقالة مفهوم العرض الرسومي للوظائف بالإضافة إلى قيمة المتغير الموجود في الوظيفة. حتى يتمكن القراء من فهم المنهجية بسهولة.

أي رسم بياني يمثل الدوال f (X) = | x-2 | - 1؟

نظرة واحدة على تعبير الجانب الأيمن تجعلنا نتساءل ، ما هذين العمودين حول -2؟ حسنًا ، هذه الأشرطة هي رمز لدالة خاصة جدًا في الرياضيات ، تُعرف باسم دالة المقياس أو دالة القيمة المطلقة. هذه الوظيفة مهمة جدًا في نظرية الوظيفة أن الأمر يستحق بضع كلمات عن أصله.

دعونا نقول إننا نقرر الوقت المطلوب للانتقال من مدينة إلى أخرى. في هذه الحالة ، ألا نهتم فقط بالمسافة بين المدينتين؟ هل سيكون للاتجاه أي أهمية؟ وبالمثل ، في دراسة التفاضل والتكامل ، غالبًا ما يُطلب منا تحليل التقارب بين رقمين ، وهي القيمة المطلقة لاختلافهما. لا نهتم إذا كان الفرق إيجابيًا أم سلبيًا. عالم الرياضيات الألماني كارل ويرستراس هو الشخص الذي أدرك ضرورة وظيفة تعبر عن القيمة المطلقة لرقم. في عام 1841 ، حدد Weierstrass دالة المعامل واستخدم العمودين كرمز لها. 

f (x) = x لكل x> 0

= -x لكل x <0

= 0 لـ x = 0

يُختصر بالصيغة f (x) = | x |

يتضح من التعريف أن هذه الوظيفة ليس لها أي تأثير على رقم موجب. ومع ذلك ، فإنه يغير رقمًا سالبًا إلى رقم موجب له نفس القيمة المطلقة. لذلك

| 5 | = 5

 7-2 5 =

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

لرسم الرسم البياني لـ | x | ، يجب أن نبدأ بالرسم البياني لـ f (x) = x وهو ببساطة خط مستقيم يمر من نقطة الأصل ، ويميل بزاوية 45 درجة إلى الجانب الإيجابي من المحور X

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: نظرية الوظيفة: f (x) = x

يمكن القول أنه سيتم الاحتفاظ بالنصف العلوي من هذا الرسم البياني بواسطة f (x) = | x | لأن هذه الوظيفة لا تغير الأرقام الموجبة. ومع ذلك ، يجب تغيير جانب النصف السفلي من الرسم البياني ، لأن | x | يجب أن تكون دائمًا إيجابية. لذلك ، سيتم الآن استبدال جميع النقاط الموجودة في النصف السفلي من f (x) = x في النصف العلوي ، مع الحفاظ على نفس المسافة من المحور X. بمعنى آخر ، الكل النصف الأيسر من f (x) = | x | هو في الواقع انعكاس النصف السفلي من f (x) = x حول المحور X.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية
خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: نظرية الوظيفة: | x | و x الرسوم البيانية

في الشكل أعلاه ، يوضح النصف الأيمن الرسوم البيانية لـ | x | و x متراكب ، بينما النصف الأيسر يظهر أحدهما على أنه انعكاس للآخر. من الضروري ملاحظة أن هذه التقنية قد تمتد إلى أي وظيفة. بمعنى آخر ، من السهل تخيل الرسم البياني لـ | f (x) | إذا كنا نعرف بالفعل الرسم البياني لـ f (x). المفتاح هو استبدال النصف السفلي بانعكاسه حول المحور X.

الآن نحن نعرف كيفية رسم | x |. لكن مشكلتنا الأصلية تتطلب حبكة | x-2 |. حسنًا ، هذا ليس سوى ملف تحول الأصل من (0,0،2,0) إلى (2،2) لأنه يقلل ببساطة قراءة X لجميع النقاط بمقدار وحدتين ، وبالتالي يتم تحويل f (x) إلى f (x-XNUMX).

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية:  نظرية الوظيفة: | x | و | x-2 |

الآن -1 هو الشيء الوحيد المتبقي الذي يجب الاهتمام به. هذا يعني طرح 1 من جميع النقاط في | x-2 |. بمعنى آخر ، هذا يعني سحب الرسم البياني رأسيًا لأسفل بمقدار وحدة واحدة. إذن ، سيكون الرأس الجديد (1 ، -2) بدلاً من (1،2,0)

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: نظرية الوظيفة: | x-2 | - 1

أي رسم بياني يمثل الدوال f (X) = - | x-2 | - 1؟

حسنًا ، يجب أن يكون ذلك سهلاً للغاية بعد التحليل الذي أجريناه للتو. الاختلاف الوحيد هنا هو علامة الطرح قبل | x-2 |. تعكس علامة الطرح ببساطة الرسم البياني لـ | x-2 | فيما يتعلق بالمحور X. لذلك ، يمكننا إعادة تشغيل السابق المشكلة فقط بعد النقطة حيث كان لدينا رسم بياني لـ | x-2 |. لكن هذه المرة قبل التفكير في -1 ، سنعكس الرسم البياني.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: رسم بياني لـ | x-2 | و - | x-2 |

بعد ذلك ، سنقوم بسحبه لأسفل بمقدار وحدة واحدة لدمج -1. ويتم ذلك.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية

يجب أن يكون الرسم البياني للدالة خطيًا إذا كان لها صفة معينة؟

ما هو الخط المستقيم؟ يتم تعريفه عادةً على أنه الحد الأدنى للمسافة بين نقطتين على سطح مستو. ولكن يمكن تعريفه أيضًا من زاوية أخرى. نظرًا لأن المستوى XY عبارة عن مجموعة من النقاط ، فيمكننا اعتبار أي خط على هذا المستوى هو موضع أو تتبع نقطة متحركة ، أو نقطة تتغير إحداثياتها X و Y.

يعني التحرك على طول خط مستقيم أن الحركة تحدث دون تغيير في الاتجاه. بعبارة أخرى ، إذا بدأت نقطة في التحرك من نقطة معينة وتحركت في اتجاه واحد فقط ، فيُقال إنها تتبع خطًا مستقيمًا. لذا ، إذا أردنا التعبير عن الرسم البياني الخطي كدالة ، فيجب علينا إيجاد معادلة لشرط الاتجاه الثابت.

ولكن كيف تعبر عن الاتجاه رياضيا؟ حسنًا ، نظرًا لأن لدينا بالفعل محورين مرجعيين في المستوى XY ، يمكن التعبير عن اتجاه الخط بالزاوية التي يصنعها مع أي من المحورين. فلنفترض أن الخط المستقيم يميل بزاوية α. لكن هذا يعني مجموعة من الخطوط المتوازية وليس مجرد مجموعة واحدة. لذلك ، لا يمكن أن تكون α هي المعلمة الوحيدة للخط.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: عائلة الخطوط ذات الانحدار 45 درجة

لاحظ أن الخطوط تختلف فقط في تقاطع Y الخاص بهم. التقاطع Y هو المسافة من أصل النقطة التي يلتقي فيها الخط مع المحور Y. دعونا نسمي هذه المعلمة ، C. إذن ، لدينا معاملين ، α و C. الآن ، دعونا نحاول اشتقاق معادلة الخط المستقيم.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: اعتراض شكل الخطوط المستقيمة

من الشكل يجب أن يكون واضحًا من المثلث الأيمن ، أنه لأي نقطة (س ، ص) على الخط يجب أن يكون الشرط الحاكم                      

(yc) / x = tanα.

⟹ ص = زتان α + ج

⟹y = mx + c حيث m = tanα

ومن ثم ، فإن أي معادلة بالصيغة y = ax + b يجب أن تمثل خطاً مستقيماً. بعبارة أخرى ، f (x) = ax + b هو الشكل المطلوب للدالة لكي تكون خطية.

يمكن اشتقاق نفس الشيء أيضًا من التعريف التقليدي للخط المستقيم الذي ينص على أن الخط هو أقصر مسار بين نقطتين على سطح مستو. لذا ، لنفترض أن (x1، y1) و (x2، y2) تكون نقطتين على خط مستقيم.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: نقطتان من الخطوط المستقيمة

بالنسبة لأي نقطة أخرى على الخط ، يمكن اشتقاق شرط عن طريق مساواة منحدرات مقطعي الخط المكونين من النقاط الثلاث حيث يجب أن يحافظ الخط على ميله في جميع المقاطع. ومن هنا جاءت المعادلة                                 

                                                                   (س س1) / (xx1) = (ص2-y1) / (x2-x1)

                                                            ⟹y (x2-x1) + س (ص1-y2) + (x1y2-y1x2) = 0

هذه المعادلة بصيغة Ax + By + C = 0 والتي يمكن كتابتها بالصيغة y = ax + b ، والتي نعرفها على أنها شكل دالة خطية.

ما هو الرسم البياني المستخدم لإظهار التغيير في متغير مقدم عند تغيير متغير ثان؟

لرسم رسم بياني مثالي لوظيفة ما ، سنحتاج إما إلى تعبير جبري محدد أو عدد لا حصر له من نقاط البيانات. في الحياة الواقعية ، كلاهما غير متاح في معظم الأوقات. البيانات التي لدينا مبعثرة. بمعنى آخر ، قد يكون لدينا قائمة بالنقاط (س ، ص) التي قد يتم رسمها على الرسم البياني ، ولكن قد لا تكون النقاط في موقع كثيف للغاية. لكن يتعين علينا ربط هذه النقاط على أي حال ، حيث لا توجد طريقة أخرى للنظر إلى نمط أو اتجاه المتغيرات. يُعرف الرسم البياني الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة بالرسم البياني الخطي.

سميت بهذا الاسم لأن النقاط المجاورة مرتبطة بخطوط مستقيمة. هذا الرسم البياني هو الأنسب لتوضيح العلاقة بين متغيرين حيث يعتمد أحدهما على الآخر ويتغير كلاهما. الرسوم البيانية للسلاسل الزمنية هي أمثلة للرسم البياني الخطي حيث يمثل المحور X الوقت بوحدات الساعات / الأيام / الأشهر / السنوات ويمثل المحور Y المتغير الذي تتغير قيمته بمرور الوقت.

المبيــعات2010201120122013201420152016201720182019
الموديل4000470044504920534051205450568055605900
خصائص الرسوم البيانية الوظيفية
خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: مثال على الرسم البياني الخطي

الوظيفة الدورية

عندما يكرر المتغير التابع قيمته في فترة محددة أو فاصل زمني للمتغير المستقل ، تسمى الوظيفة دورية. تسمى الفترة الزمنية الفترة أو الفترة الأساسية ، أحيانًا تكون الفترة الأساسية أو الفترة الأولية أيضًا. معايير الوظيفة التي يجب أن تكون دورية هي لبعض الثابت الحقيقي T ، f (x + T) = f (x). مما يعني أن f (x) تكرر قيمتها بعد كل T من وحدات x. قد نلاحظ قيمة الدالة في أي نقطة ، وسنجد نفس القيمة عند وحدات T يمينًا ويسارًا لتلك النقطة. هذه هي خاصية الوظيفة الدورية.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية:    مدة الخطيئة (س) هي 2

الشكل أعلاه يصور السلوك الدوري لـ Sinx. نأخذ قيمتين عشوائيتين لـ x ، مثل x1 و x2 ونرسم خطوطًا موازية للمحور x من sin (x1) و sin (x2). نلاحظ أن كلا الخطين يلتقيان بالرسم البياني مرة أخرى على مسافة 2π بالضبط. ومن ثم فإن فترة Sinx هي 2π. إذن يمكننا كتابة sin (x + 2 π) = sinx لأي x. الدوال المثلثية الأخرى دورية أيضًا. جيب التمام له نفس الفترة مثل Sin وكذلك Cosec و Sec. تان لديه فترة π وكذلك Cot.

ما المصطلح الذي يعطي عدد دورات دالة دورية تحدث في وحدة أفقية واحدة؟

فترة كاملة واحدة تسمى دورة. إذن ، توجد دورة واحدة بالضبط بوحدات T في المتغير x. ومن ثم توجد دورات 1 / T في وحدة واحدة من x. الرقم 1 / T له أهمية خاصة في دراسة الوظائف الدورية لأنه يوضح مدى تكرار الوظيفة لقيمها. ومن ثم يتم تعيين مصطلح "التردد" للرقم 1 / T. يُشار إلى التردد بالحرف "f" ، وهو أمر لا يجب الخلط بينه وبين "f" للوظيفة ، وكلما زاد التردد ، زاد عدد الدورات الموجودة لكل وحدة. يتناسب التردد والفترة عكسياً مع بعضهما البعض ، وهما مرتبطان بـ f = 1 / T أو T = 1 / f. بالنسبة للخطيئة (X) ، تكون الفترة 2π ، لذا فإن التردد سيكون 1 / 2π.

أمثلة:

  1. احسب فترة وتكرار الخطيئة (3x)

نظرًا لأن Sin (x) لها دورة واحدة في 2π ، فإن Sin (3x) سيكون لها 3 دورات في 2π بينما يتقدم x 3 مرات أسرع في Sin (3x). لذا فإن التردد سيكون 3 أضعاف تردد Sin (x) ، أي 3 / 2π. هذا يجعل الفترة 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

  1. احسب دورة Sin2x + sin3x

لاحظ أن أي عدد صحيح مضاعف للفترة الأساسية هو أيضًا فترة. في هذه المشكلة ، هناك مكونان للدالة. الأولى لها فترة π والثانية 2π / 3. لكن هذين النوعين مختلفان ، لذلك لا يمكن أن تكون فترة الدالة المركبة أيًا منهما. ولكن مهما كانت فترة التكوين ، يجب أن تكون فترة المكونات أيضًا. لذلك ، يجب أن يكون عددًا صحيحًا مشتركًا لكليهما. ولكن يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من هؤلاء. ومن ثم ستكون الفترة الأساسية هي المضاعف المشترك الأصغر لفترات المكونات. في هذه المسألة يكون Lcm (π، 2π / 3) = 2π 

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية: فترة دالة مركبة

  1. احسب فترة (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

من التافه ولكن المثير للاهتمام ملاحظة أن القاعدة التي اخترعناها في المسألة السابقة ، تنطبق بالفعل على أي تكوين للوظائف الدورية. لذلك ، في هذه الحالة أيضًا ، ستكون الفترة الفعالة هي المضاعف المشترك الأصغر لفترات المكونات. هذا هو المضاعف المشترك الأصغر (π، 2π / 5,2،3π / 2، π / 2) = XNUMXπ

  1. احسب دورة Sinx + sin πx

في البداية ، يبدو واضحًا أن الفترة يجب أن تكون المضاعف المشترك الأصغر (2π ، 2) ، لكننا ندرك بعد ذلك أن هذا الرقم غير موجود لأن 2π غير منطقي وكذلك مضاعفاته و 2 منطقيًا وكذلك مضاعفاته. لذلك ، لا يمكن أن يكون هناك عدد صحيح مشترك لهذين الرقمين. ومن ثم ، فإن هذه الوظيفة ليست دورية.

دالة الجزء الكسري {x} دورية.

و (س) = {س}

يُعرف هذا باسم دالة الجزء الكسري. يترك الجزء الأكبر من العدد الحقيقي ويترك الجزء الكسري فقط. لذلك ، تكون قيمته دائمًا بين 0 و 1 ولكنها لا تساوي أبدًا 1. يجب أن يوضح هذا الرسم البياني أن له فترة من 1.

خصائص الرسوم البيانية الوظيفية:  دالة الجزء الكسري {x}

                                                                           

الخلاصة

ناقشنا حتى الآن خصائص الرسوم البيانية الوظيفية. يجب أن نكون واضحين الآن بشأن الخصائص والأنواع المختلفة للرسوم البيانية. كان لدينا أيضًا فكرة عن تفسير رسومي للوظائف. ستغطي المقالة التالية الكثير من التفاصيل حول مفاهيم مثل النطاق والمجال والوظائف العكسية والوظائف المختلفة والرسوم البيانية الخاصة بهم والكثير من المشكلات التي تم حلها. للتعمق في الدراسة ، نشجعك على القراءة أدناه

حساب التفاضل والتكامل بواسطة مايكل سبيفاك.

الجبر مايكل أرتين.

لمزيد من مقالات الرياضيات ، من فضلك اضغط هنا.

آخر المقالات