المتغير العشوائي ذو الحدين: 3 حقائق مثيرة للاهتمام يجب معرفتها


المتغير العشوائي ذو الحدين وبواسون وخصائصه

    المتغير العشوائي الذي يتعامل مع نتيجة نجاح وفشل التجربة العشوائية لعدد n من التكرار كان معروفًا بأنه متغير عشوائي ذي حدين ، ويتعامل تعريف دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة به مع احتمال النجاح p واحتمال الفشل q فقط ، والتعريف بالأمثلة لقد رأينا بالفعل ، الآن مع الفهم نرى بعض خصائص هذا المتغير العشوائي المنفصل ،

توقع وتباين المتغير العشوائي ذي الحدين

توقع وتباين المتغير العشوائي ذي الحدين مع تكرار n و p مثل احتمال النجاح

E [X] = np

و Var (X) = np (1-p)

فكر الآن في إظهار هذين توقع المتغير العشوائي للقدرة k باتباع تعريف دالة الكتلة الاحتمالية للمتغير العشوائي ذي الحدين مثل ،

[لاتكس] E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} [/ اللاتكس]

[لاتكس] E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} [/ اللاتكس]

[اللاتكس] i \ binom {n} {i} = n \ binom {n-1} {i-1} [/ اللاتكس]

المتغير العشوائي ذو الحدين

حيث Y هو متغير عشوائي آخر ذي الحدين مع تجارب n-1 و p هو احتمال النجاح ، إذا أخذنا قيمة k = 1 فسنحصل

E [X] = np

وإذا استبدلنا k = 2 فسنحصل على

السابق2] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

لذلك سنحصل بسهولة

فار (X) = E [X.2] - (السابق])2

= np [(n-1) p + 1] - (np)2

= np (1-p)

على سبيل المثال: بالنسبة لعملة غير متحيزة ، قم بتجربة القذف 100 مرة ولعدد التيول التي تظهر في هذه الحالة ، ابحث عن المتوسط ​​والتباين والانحراف المعياري لمثل هذه التجربة.

احتمالية نجاح القرعة الواحدة هي: p = 1/2 = 0.5

لذا فإن معنى هذه التجربة هو

E [X] = np

نظرًا لأن التجربة ذات الحدين فقط لأنها نجاح أو فشل فسنحصل على عدد n من التكرارات

حتى μ = np

μ = 100 س (0.5) = 50

وبالمثل ، سيكون التباين والانحراف المعياري

فار (X) = np (1-p)

σ2= np (1-p)

[اللاتكس] Var (X) = np (1-p) [/ latex]

[لاتكس] \ سيجما ^ {^ {2}} = np (1-p) [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ sigma = \ sqrt {np (1-p)} [/ اللاتكس]

ستكون القيمة

σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25

على سبيل المثال:     أوجد المتوسط ​​والانحراف المعياري لاحتمال عيب 0.1 في شركة تصنيع الترباس من دفعة 400 برغي.

هنا ن = 400 ، ف = 0.1 ، يعني = ن = 400 × 0.1 = 40

منذ

σ2= np (1-p)

[لاتكس] \ سيجما ^ {2} = np (1-p) [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ sigma = \ sqrt {np (1-p)} [/ اللاتكس]

لذلك سيكون الانحراف المعياري

[latex]=\sqrt{(400)(0.1)(1-0.1)}=\sqrt{400*0.1*0.9}=20*0.3=6[/latex]

على سبيل المثال: أعثر على الاحتمالات من حالات النجاح بالضبط ، أقل من 2 على الأقل إذا كان المتوسط ​​والانحراف المعياري للمتغير العشوائي ذي الحدين هو 4 و 2 على التوالي.

منذ المتوسط ​​= np = 4

و التباين = np (1-p) = 2 ،

so 4 (1-ع) = 2

(1 - ع) = 1/2

ع = 1- (1/2)

وضع هذه القيمة يعني أننا نحصل عليها

np = 4

ن (1/2) = 4

n=8

سيكون احتمال نجاح 2 بالضبط

[latex]P(2)=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{8-2}=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{8}=(\frac{87} {2})(\ frac {1} {256}) = \ frac {7} {64} [/ لاتكس]

سيكون احتمال نجاح أقل من 2

ص (س <2)

= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7

= (1/256) +8 × (1/2) × (1/2)7 = 9 / 256

احتمال نجاح 2 على الأقل

ص (X> 2) = 1- ص (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

متغير عشوائي من بواسون

    المتغير العشوائي المنفصل X الذي يأخذ القيم 0,1,2،0،XNUMX …… .. معروف بأنه متغير Poisson العشوائي المقدم لأي λ> XNUMX يجب أن تكون دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة به

[لاتكس] f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {^ {- \ lambda}}} {x!} \ space for \ \ all \ \ س = 0,1,2،XNUMX،XNUMX ... [/ لاتكس]

or

[لاتكس] p (i) = P (X = i) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} \ \ for \ \ all \ x = 0,1,2،XNUMX، XNUMX ... [/ لاتكس]

as

[لاتكس] \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty P (i) = e ^ {- \ lambda} \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {i}} { i!} = e ^ {- \ lambda} e ^ {\ lambda} = 1 [/ لاتكس]

عندما تكون n كبيرة جدًا واحتمال النجاح p صغير جدًا في مثل هذه الحالة ، يصبح متغير Poisson العشوائي مع دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة به هو التقريب العشوائي ذي الحدين المتغير مع pmf المعني لأن التوقع في هذه الحالة هو np سيكون معتدلًا وهذا من شأنه يكون λ = np .

على سبيل المثال: أوجد احتمال وجود خطأ كتابي واحد على الأقل في كل صفحة من الكتاب تحتوي على توزيع بواسون بمتوسط ​​1/2 لصفحة واحدة.

دع المتغير العشوائي المنفصل X يشير إلى الأخطاء الموجودة على الصفحة. لذا فإن متغير بواسون العشوائي له دالة كتلة الاحتمال كـ

λ = 1/2

[لاتكس] f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ where \ x = 0,1,2،XNUMX، XNUMX ، ... [/ لاتكس]

[لاتكس] \ lambda = \ فارك {1} {2} [/ لاتكس]

[latex]p(X\geqslant 0)=1-p(X=0)=1-\frac{\lambda ^{0}e^{-\lambda }}{0!}=1-e^-\frac{1}{2}=0.3934[/latex]

[لاتكس] p (X \ leq 1) = p (X = 0) + p (X = 1) = \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {0!} + \ frac { \ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {1!} = e ^ {^ {- 1}} + e ^ {^ {- 1}} = 0.7358 [/ latex]

على سبيل المثال: أوجد احتمال أن العينة المكونة من 10 عناصر منتجة بواسطة آلة بها 0.1 فرصة إنتاج معيب تحتوي على أكثر من عنصر معيب واحد.

[لاتكس] f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ where \ x = 0,1,2،XNUMX، XNUMX .... [/ لاتكس]

يمكننا حل ذلك من خلال دالة الكتلة الاحتمالية ذات الحدين وكذلك دالة الكتلة الاحتمالية لبواسون ، لذلك قمنا بحل ذلك عن طريق بواسون

توقع وتباين متغير بواسون العشوائي

توقع وتباين متغير Poisson العشوائي مع تكرار n و p مثل احتمال النجاح

E [X] = np =

و          

فار (X) = np =

قبل عرض النتيجة ، يجب أن نضع في اعتبارنا أن متغير بواسون العشوائي ليس سوى تقريب للمتغير العشوائي ذي الحدين ، لذا فإن np = λ الآن سيكون التوقع باستخدام دالة كتلة الاحتمال

[لاتكس] E [X] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!} [/ latex]

[لاتكس] E [X] = \ lambda \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)!} [/ اللاتكس]

[لاتكس] E [X] = \ lambda {e ^ {- \ lambda}} \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty i \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} \ \ by \ \ letting \ \ j = i-1 [/ لاتكس]

[لاتكس] E [X] = \ lambda \ \ منذ \ \ \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} = e ^ {\ lambda} [/ اللاتكس]

هذا يعني أن القيمة الرياضية المتوقعة لمتغير Poisson العشوائي تساوي المعلمة الخاصة به ، وبالمثل لحساب التباين والانحراف المعياري لمتغير Poisson العشوائي ، نحتاج إلى توقع مربع X لذلك ،

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty i ^ {2} \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!} [/ اللاتكس]

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i- 1)!} [/ لاتكس]

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty (j + 1) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j !} \ \ by \ \ letting \ \ j = i-1 [/ اللاتكس]

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ lambda [\ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty (j) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j! } + \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!}] [/ لاتكس]

[لاتكس] E [X ^ {2}] = \ lambda (\ lambda +1) [/ لاتكس]

الجمع أعلاه واضح لأن اثنين من المجاميع هما توقع ومجموع الاحتمالات.

وبالتالي فإن قيمة التباين التي سنحصل عليها هي

فار (X) = E [X.2] - (السابق])2

= λ

لذلك في حالة متغير Poisson العشوائي ، يكون للمتوسط ​​والتباين نفس القيمة مثل np كمعامل.

يوفر متغير بواسون العشوائي هو التقريب الجيد لإيجاد عمليات متنوعة ، مثل العثور على حدوث عدد من الزلازل خلال مدة زمنية معينة ، وإيجاد عدد الإلكترون خلال فترة زمنية محددة من الكاثود الساخن ، وإيجاد العدد المحتمل للوفيات خلال الوقت المحدد ، أو العدد الحروب في غضون سنة محددة وما إلى ذلك

مثال : احسب احتمال أن يكون العدد الإجمالي للمسافرين في يومين أقل من 2. إذا كان عدد وصول الركاب بمتوسط ​​5 يتبع متغير Poisson العشوائي. يعني = np = 5

[اللاتكس] P (r) = \ frac {e ^ {- 5} {(5) ^ {r}}} {r!} [/ اللاتكس]

إذا أخذنا في الاعتبار عدد الركاب في يومين أقل من 2 فسيكون

اليوم الأولثاني يومفي المجموع
000
011
101

لذا فإن الاحتمال سيكون مجموعة من هذين اليومين

=e-10[1 + 5 + 5]

= 11 هـ-10

= 114.5410-5

= 4.994 10 *-4

[latex]P(X< 2)= P(0)P(0)+P(0)P(1)+P(1)P(0)[/latex]

[latex]=\frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}+ \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}} + \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}[/latex]

[اللاتكس] = e ^ {- 5} .e ^ {- 5} + e ^ {- 5}. هـ ^ {- 5} .5+ هـ ^ {- 5} .5. ه ^ {- 5} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = e ^ {- 10} [1 + 5 + 5] [/ اللاتكس]

[اللاتكس] = 11e ^ {- 10} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = 114.5410 ^ {- 5} [/ لاتكس]

[اللاتكس] = 4.994 * 10 ^ {- 4} [/ لاتكس]

مثال: احسب احتمال وجود 4 مكثفات معيبة أو أكثر من عبوة مكونة من 100 مكثف بشرط أن يكون عيب التصنيع للمكثفات 1٪.

هنا ع = 1٪ = 0.01 و ن = 100 * 0.01 = 1

لذلك يمكننا استخدام دالة كتلة احتمالية متغيرات بواسون العشوائية PMF

يعني = np = 100 * 0.01 = 1

[لاتكس] P (r) = \ frac {e ^ {- 1} (1) ^ {r}} {r!} = \ frac {e ^ {- 1}} {r!} [/ لاتكس]

لذلك سيكون احتمال وجود 4 مكثفات خاطئة أو أكثر

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

[اللاتكس] p (X \ geq 4) = 1-p (X <4) [/ اللاتكس]

[latex]=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)][/latex]

[latex]=1-[\frac{e^{-1}}{0!} + \frac{e^{-1}}{1!} + \frac{e^{-1}}{2!} + \frac{e^{-1}}{3!}] =1- e^{-1} [1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6}]=1-\frac{8}{3e}=1-0.981=0.019[/latex]

مثال: إذا كان هناك 0.002 فرصة لوجود عيب في المنتج من التصنيع ، بالنسبة للحزمة التي تحتوي على 10 من هذه المنتجات ، فما هو احتمال أن هذه الحزمة لا تحتوي على عيب ، أو معيب ، أو منتجان معيبان من الشحنة 50000 عبوات من نفس المنتج.

هنا للحصول على حزمة واحدة احتمال وجود عيب أي ص = 0.002 ، ن = 10

ثم المتوسط np = 0.002 * 10 = 0.020

[لاتكس] f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ where \ x = 0,1,2،XNUMX، XNUMX .. [/ لاتكس]

سنجد لكل حالة مثل

المتغير العشوائي ذو الحدين: مثال

لذلك يتضح من الجدول أن عدد الشفرات المعيبة في الحزم صفر وواحد واثنان سيكون 4900,980,10 على التوالي.

الخلاصة:

   في هذه المقالة ناقشنا بعض خصائص أحد المتغير العشوائي ذو الحدين, متغير بواسون العشوائي وتجربة عشوائية. أيضًا متغير عشوائي آخر منفصل مثل متغير بواسون العشوائي ، تمت مناقشته مع الخصائص. تم أخذ توزيع دالة كتلة الاحتمال ، والتوقع ، والتباين ، ومثال الانحراف المعياري أيضًا من أجل فهم أفضل ، في المقالات التالية نحاول تغطية بعض المتغيرات العشوائية المنفصلة إذا كنت تريد مزيدًا من القراءة ثم انتقل من خلال صفحة الرياضيات.

الخطوط العريضة ل Schaum للاحتمالات والإحصاء

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات