الحركة التوافقية البسيطة للتردد الزاوي: 5 حقائق مهمة


تسمى كمية الجسم المتذبذب التي تقيس حركته الدورية أساسًا بالتردد الزاوي بالحركة التوافقية البسيطة (SHM). تتناول المقالة التردد الزاوي في SHM.

إن الحركة التوافقية البسيطة للتردد الزاوي (SHM) هي خاصية النظام المتذبذب كبندول بسيط. يتضمن SHM التذبذب "ذهابًا وإيابًا" ، ومن ثم تكون حركته جيبية. يُطلق على عدد التذبذبات التي يحملها البوب ​​في SHM تردده الزاوي - التي تقيس عدد المرات التي يتأرجح فيها البوب ​​في وقت معين.

عندما تكرر حركة الجسم نفسها في فترات متكررة ، يقال إنها في الداخل الحركة الدورية. نظرًا لأن حركة تأرجح البندول البسيط متكررة أو دورية ، فقد أطلقنا على SHM كأبسط شكل من أشكال الحركة الدورية. ولكن ما الذي يجعل الجسم يغير حركته باستمرار على فترات منتظمة؟ عندما ينتقل البوب ​​إلى موضع أعلى عندما نسحب أو ندفع ، فهذه قوة استعادة يتم بذلها على البوب ​​، وإحضاره إلى المكان الأول والتسبب في التذبذب. هذا يعني أيضًا أن البوب ​​يقوم بتذبذب واحد عند إعادته إلى موضعه الأولي.

عندما تكون قوة الاستعادة على البوب ​​مشابهة لإزاحتها من الموضع الأولي ، يُقال أن حركة البوب ​​هي "حركة توافقية بسيطة (SHM) ". إن SHM هو جيبي في الوقت الذي يصف التذبذب الدوري السلس للبوب. توضح الطبيعة الجيبية لبوب التردد الزاوي، التي يقيس معدل التذبذب. تكون الحركات التوافقية البسيطة دورية ومتذبذبة ، ولكن ليست كل الحركات التذبذبية عبارة عن حركات توافقية بسيطة ؛ على الرغم من أنها دورية. وبالمثل ، فإن حركة دائرية موحدة (UCM) تسمى الحركة الدورية ، وليس التذبذب. 

حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي

علاوة على ذلك ، سوف نستكشف بعض الاختلافات التي نحتاجها لفهم SHM ، مثل التمييز بين التردد الزاوي والسرعة الزاوية في SHM.

قراءة المزيد عن إمكانيات البندول البسيط في محادثة الطاقة الحركية.

ما هي السرعة الزاوية في الحركة التوافقية البسيطة؟

السرعة الزاوية للجسم المتأرجح في حركة توافقية بسيطة (SHM) هي التغير في الموضع الزاوي للجسم المتذبذب لكل وحدة زمنية.

بكل بساطة الحركة المتناسقة (SHM) ، تقيس السرعة الزاوية السرعة الزاوية للجسم المتذبذب أو الدوار. أي المعدل الذي يتأرجح به الجسم أو يدور - وهو ما يفسر حركة دوران الجسم. نظرًا لأن اتجاه السرعة الزاوية متعامد مع الإزاحة الزاوية ، فإنه يقدر كيف يمكن للجسم أن يتحرك حول متوسط ​​موضعه. لذلك ، فإن السرعة الزاوية للجسم الدوار تعتمد على حركته الدورانية. وهذا يعني - تسريع حركة دوران الجسم ، وزيادة سرعته الزاوية.

يمكن تحقيق السرعة الزاوية في SHM عن طريق التمييز بين الإزاحة الزاوية ([اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس]) مع الوقت.

[اللاتكس] \ omega = \ frac {d \ theta} {dt} [/ اللاتكس] ………… (1)

يشير رمز أوميغا [اللاتكس] \ أوميغا [/ اللاتكس] إلى السرعة الزاوية.

وفقًا للمعادلة (1) ، تكون وحدة قياس السرعة الزاوية راديان في الثانية. وحدة أخرى من السرعة الزاوية RPM، أو ثورة في الدقيقة. اتجاهه يتوقعه حكم اليد اليمنى. وفقًا لقاعدة الاتفاقية ، أظهر الدوران في اتجاه عقارب الساعة السرعة الزاوية السلبية، في حين أن عكس اتجاه عقارب الساعة موجب. 

السرعة الزاوية في الحركة التوافقية البسيطة
السرعة الزاوية حركة توافقية بسيطة (ائتمان: ويكيبيديا)

عادة ، يُفترض أن الجسم يتسارع عندما تختلف سرعته مع مرور الوقت. من حيث SHM ، تختلف السرعة باستمرار على مدى فترة. ومن ثم ، تسارع الجسم ليتذبذب اعتمادًا على إزاحته من الوضع المتوسط. هذا هو سبب تسارع حركة البندول عندما ندفعه أو نخرجه من الوضع المتوسط. لكنها توقفت في النهاية ، وبعد فترة عادت إلى وضعها الطبيعي مرة أخرى.

قراءة المزيد عن قوة التوتر في البندول البسيط

ما هو التردد الزاوي في التذبذب؟

التردد الزاوي يسمى التردد الشعاعي في التذبذب - والذي يقيس الإزاحة الزاوية للجسم المتذبذب لكل وحدة زمنية.

يتعلق التذبذب بالحركة المتكررة "ذهابا وإيابا" للجسم حول وضع ثابت بين موضعين. إنها الحركة الدورية التي تتكاثر في فترة منتظمة. بالنسبة لحركة الموجة الجيبية ، يتحرك الجسم من موضعه المتوسط ​​، ويقف في أعلى موضع ، ويعود إلى موضعه المتوسط ​​بسبب استعادة القوة. يُطلق على أقصى حركة أو إزاحة للجسم المتذبذب من موضعه المتوسط ​​اسم السعة (A). في حين أن حجم الإزاحة الزاوية من الموضع المتوسط ​​يسمى التردد الزاوي.

التردد الزاوي في الحركة التوافقية البسيطة
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي الشكل الموجي الجيبي (الائتمان: شترستوك)

مجموعة من التذبذبات التي عشناها في كل مكان من حولنا ، من الذرات تهتز إلى دقات القلب. ومن الأمثلة الأخرى للتذبذب في الفيزياء ، الموجات الجيبية في اهتزاز البندول من جانب إلى جانب أو حركة الزنبرك صعودًا وهبوطًا. في حالة التذبذب ، التردد الزاوي هو معدل تغيير حالة a شكل موجة جيبي. وبالتالي ، فإن الراديان في الثانية هو وحدة القياس لتذبذب التردد الزاوي للجسم. التردد الزاوي هو عدد قياسي ، مما يدل على أنه مجرد مقدار. ولكن عندما نعالج السرعة الزاوية في SHM ، فإنها تكون متجهًا. التردد الزاوي مطابق للسرعة الزاوية التي تحدد مقدار كمية المتجه.

قراءة المزيد عن العلاقة بين الحركة التوافقية البسيطة والحركة التوافقية المنتظمة.

كيف تجد التردد الزاوي؟

نظرًا لأن الحركة التوافقية البسيطة (SHM) دورية ، يمكننا أولاً معرفة الدورة ثم التردد الزاوي عن طريق توقيت التذبذب الكامل للجسم.

يساعدنا التذبذب التوافقي البسيط (SHM) في معرفة إزاحة الجسم المتذبذب وسرعته وتسارعه. لكن أولاً وقبل كل شيء ، نحتاج إلى اكتشاف الخصائص الأساسية للحركة الدورية - مثل اتساعها وترددها. لتحديد تردد التذبذب ، نحتاج إلى فهم كمية الفترة الزمنية. يُطلق على الوقت الإجمالي الذي يستغرقه الجسم المتذبذب لإكمال ذبذبة واحدة اسم الفترة الزمنية (T). علاوة على ذلك ، فإن ريسمى عدد التذبذبات التي يقوم بها الجسم لكل وحدة زمنية التردد (f) - والذي يقيس معدل التذبذب.

بالنسبة إلى SHM الخطي ، لا تعتمد الفترة والسعة على سعة التذبذب. على سبيل المثال ، يتذبذب وتر الجيتار بتردد متساوٍ سواء تم نتفه بقوة أو بسهولة. وذلك لأن فترة التذبذب ثابتة في حين أنها بسيطة هزاز توافقي يستخدم كساعة.

التردد والفترة الزمنية للجسم المتذبذب متبادلان لبعضهما البعض. 

[اللاتكس] f = \ frac {1} {T} [/ اللاتكس] ………………. (2)

عندما يتأرجح الجسم زاويًا ، فإننا نعتبر تردده ترددًا زاويًا. وبالتالي ، لفهم معدل الدوران ، نحتاج إلى الحصول على التردد الزاوي.

حركة متناغمة بسيطة
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي تتأرجح الجسم (الائتمان: ويكي الجامعة)

التردد على التردد الزاوي

يقيس التردد الزاوي نفس خاصية التردد العادي ، ولكن بدلاً من الدورات ، فإنه يستخدم الراديان.

التردد الزاوي للجسم المتأرجح أكثر أهمية من التردد العادي بمعامل 2π. ينشأ العامل الثابت 2π من أساس أن دورة واحدة في الثانية تشبه 2π راديان في الثانية. القول تمامًا ، عندما يصنع الجسم المتأرجح من موضعه المتوسط ​​دورة واحدة في الثانية ، فإنه يتأرجح زاويًا بمقدار 2π راديان في الثانية.

تُحسب صيغة التردد الزاوي للجسم المتذبذب الذي يكمل ذبذبة واحدة على النحو التالي:

[اللاتكس] \ omega = 2 \ pi f [/ اللاتكس] ………………… (*)

يكون التردد الزاوي للجسم المتذبذب دائمًا أكبر من التردد العادي.

الفرق بين التردد والتردد الزاوي
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
الفرق بين التردد والتردد الزاوي (الائتمان: قرة)

يمكن التعبير عن التردد الزاوي من حيث الفترة الزمنية T لأن مقدار الوقت بالثواني يحتاج الجسم المتذبذب لإكمال دورة واحدة. لذلك ، وفقًا للمعادلة (2) ، يمكننا حساب صيغة التردد الزاوي من حيث الفترة الزمنية على النحو التالي:

[اللاتكس] \ omega = \ frac {2 \ pi} {T} [/ اللاتكس] ………… .. (3)

التردد الزاوي هو التردد المتذبذب للجسم الذي يُقاس بالاهتزاز في الثانية ويُضرب في الإزاحة الزاوية [اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] للجسم.

وفقًا للمعادلة (1) ، يمكننا إعادة كتابة المعادلات أعلاه على النحو التالي

[اللاتكس] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ اللاتكس] ……… .. (4)

الزنبرك التردد الزاوي

لنأخذ مثالاً على جسم متأرجح كتلته م متصلة بالموصل المرن مثل الزنبرك.

سنجد التردد الزاوي في الربيع من خلال تطبيق قانون هوك ومفهوم SHM. يحدد قانون هوك السمات المرنة لأي مواد فقط في المنطقة التي تكون فيها القوة والإزاحة متناسبة. يحدد مقدار القوة اللازمة لتمتد أو تنضغط المادة المرنة.

رياضيا ،

[لاتكس] F = -kx [/ لاتكس] ................. (5)

حيث x هي الإزاحة و k هو ثابت الربيع.

حسب قانون نيوتن الثاني للحركة، القوة تعادل تسارع ضرب الكتلة.

[اللاتكس] F = أماه [/ لاتكس] ......... .. (6)

نظرًا لأنه يمكننا ربط التردد الزاوي وكتلة الجسم المتذبذب بالنابض ، يمكننا اكتشاف الإزاحة والسرعة والتسارع.

أولاً ، نقوم بصياغة معادلات SHM للإزاحة من الموضع المتوسط ​​على النحو التالي ،

[اللاتكس] x = Asin \ theta [/ latex] ……………. [7)

حيث A هي سعة التذبذب

استبدال المعادلة (4) في المعادلة أعلاه ، حصلنا عليها 

[اللاتكس] x = Asin \ omega t [/ latex] …………… (8)

حصلنا على معادلات SHM لتسريع الجسم المتذبذب ،

[اللاتكس] a = -A \ omega ^ {2} sin \ omega t [/ latex] ……… (9)

الآن بزرع كلتا المعادلتين في (8) و (9) في تنفيذ المعادلتين (5) و (6) والمقارنة ، نحصل على

[اللاتكس] ma = -kx [/ اللاتكس] 

[اللاتكس] m (-A \ omega ^ {2} sin \ omega t) = -k (Asin \ omega t) [/ latex] 

قسّم كلا الجانبين على [اللاتكس] - Asin \ omega t [/ latex] ، نحصل عليه

[اللاتكس] m \ omega ^ {2} = k [/ latex] 

حصلنا على صيغة التردد الزاوي من حيث ثابت الربيع وكتلة الجسم المتذبذب على النحو التالي:

[اللاتكس] \ omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}} [/ اللاتكس] ………… .. (10)

المعادلة أعلاه هي صيغة التردد الزاوي في SHM عندما يكون الربيع مثاليًا. أي لا التخميد.

أخيرًا ، بمقارنة المعادلة (10) بالمعادلة (*) ، يمكننا أيضًا حساب صيغة التردد الزاوي للفترة من حيث ثابت الربيع وكتلة الجسم المتذبذب على النحو التالي:

[اللاتكس] f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} [/ اللاتكس]

 [اللاتكس] T = {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {m} {k}} [/ لاتكس] ………………. (11)

المعادلة أعلاه هي الفترة الزمنية للجسم المتذبذب المرتبط بالزنبرك.

التردد الزاوي في الينابيع
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
الربيع (الائتمان: hyperphysics)

هل التردد الزاوي ثابت في الحركة التوافقية البسيطة؟

التردد الزاوي ، أو مقدار الكمية المتجهية للجسم المتذبذب ، ثابت في الحركة التوافقية البسيطة (SHM).

في مجلة الحركة الدائرية المنتظمة (UCM) ، كل من التردد الزاوي والسرعة الزاوية ثابتان. ولكن عندما يتأرجح الجسم بشكل زاوي فيما يتعلق بمحور ثابت ، تصبح حركته "الحركة التوافقية الزاويّة البسيطة". في البندول البسيط ، عندما يتم دفع أو سحب البوب ​​، فإنه يكتسب ترددًا زاويًا ثابتًا ، لكن سرعته الزاوية تتغير مع مرور الوقت. هذا هو السبب في أن السرعة الزاوية للجسم المتذبذب في الزاوية SHM ليست ثابتة ، ولكن ترددها الزاوي هو.

بشكل عام ، يعتمد التردد الزاوي على القوى المؤثرة على الجسم المتذبذب. في حالة البندول البسيط أو الزنبرك المثالي ، لا تعتمد القوة على السرعة الزاوية ؛ ولكن على التردد الزاوي. توضح صيغة التردد الزاوي (10) أن التردد الزاوي يعتمد على المعلمة k المستخدمة للإشارة إلى صلابة الزنبرك وكتلة جسم التذبذب. بالنسبة لاتساع التذبذب الأكبر ، تتغير قيمة k أيضًا ، وهي شديدة بما يكفي لإتلاف الزنبرك. لذلك ، من الواضح أن التردد الزاوي سيظل ثابتًا لنظام معين حتى لو تغيرت سرعته الزاوية أثناء التذبذب.

حركة الربيع التوافقية البسيطة
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
(ائتمان: شترستوك)

دعونا نرى ما إذا كان التردد الزاوي في SHM ثابتًا عالميًا أم لا عن طريق أخذ مثال على بندول بسيط، حيث تنتج قوة الاستعادة الناتجة عن وزن البوب ​​SHM.

على غرار المعادلة (11) ، يمكننا كتابة صيغة الفترة الزمنية لبندول بسيط على النحو التالي:

[اللاتكس] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {g} {l}} [/ اللاتكس] …………… (12)

حيث g هي العجلة بسبب الجاذبية على البوب ​​، و l طول البندول.

بمقارنة المعادلة (12) بالمعادلة (3) نحصل عليها

[اللاتكس] \ omega = \ sqrt {\ frac {l} {g}} [/ اللاتكس]

حصلنا على صيغة التردد الزاوي للجسم المتذبذب من حيث التسارع بسبب الجاذبية.

الآن ، إذا قمت بقياس تذبذب الزنبرك من نفس الموضع المتوسط ​​، فسيكون التردد الزاوي ثابتًا. ولكن إذا قمت بقياس التذبذب من موضع آخر لنفس الزنبرك ، فقد تلاحظ اختلافًا طفيفًا في قيمة التردد الزاوي [لاتكس] \ أوميغا [/ لاتكس] بسبب تغييرات طفيفة في ز. هذا يعني أن التردد الزاوي [latex] \ omega [/ latex] ثابت لنفس الموضع المتوسط ​​في SHM ، لكنه ليس ثابتًا عالميًا.

حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
(ائتمان: شترستوك)

كيف يختلف التردد الزاوي عن السرعة الزاوية؟

الفرق الحاسم بين التردد الزاوي للجسم المتذبذب وكمية السرعة الزاوية هو أن أحدهما عددي ، بينما الآخر متجه.

الاختلافات بين التردد الزاوي والسرعة الزاوية هي نظائر للاختلاف بين السرعة والسرعة في حركة خطية. السرعة الزاوية كمية متجهة ؛ لهذا تحدد قاعدة اليد اليمنى اتجاهها. ولكن نظرًا لأن كمية التردد الزاوي عددية ، فيمكننا القول إنها مقدار السرعة الزاوية فقط. وفقًا للمعادلتين (1) و (*) ، فإن كلا الكميتين لهما نفس الرمز والصيغة ولكن معاني مختلفة. يخبرنا التردد الزاوي عن الإزاحة الزاوية للجسم المتأرجح لكل وحدة زمنية. من ناحية أخرى ، تقيس السرعة الزاوية معدل أو درجة التغيير في دورانها الزاوي.

الفرق بين التردد الزاوي والسرعة الزاوية
حركة توافقية بسيطة التردد الزاوي
التردد الزاوي مقابل السرعة الزاوية
(ائتمان: ويكيبيديا)

ربما لاحظت أنه ليس من الضروري التعبير عن الحركة من خلال دوران قياسي ولكن فقط حركة ترجع موضعها بشكل دوري. ومع ذلك ، فإن السرعة الزاوية مرتبطة بالحركة. نظرًا لأن السرعة الزاوية تشتمل فقط على الحركة الدورانية للجسم المتذبذب ، فإن التردد الزاوي يستخدم بشكل أكثر شيوعًا لتمثيل مجموعة واسعة من المشاكل الفيزيائية في التذبذب. هذا هو السبب في استخدام التردد الزاوي على نطاق واسع عندما نتحدث عن الحركة التوافقية البسيطة.


مانيش نايك

مرحبًا ، أنا مانيش نايك أكملت درجة الماجستير في الفيزياء مع إلكترونيات الحالة الصلبة كتخصص. لدي ثلاث سنوات من الخبرة في كتابة المقالات في مادة الفيزياء. الكتابة ، والتي تهدف إلى توفير المعلومات الدقيقة لجميع القراء ، من المبتدئين والخبراء. في أوقات فراغي ، أحب قضاء وقتي في الطبيعة أو زيارة الأماكن التاريخية. يشرفني أن أكون جزءًا من LambdaGeeks. نتطلع إلى ربطك عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/manish-ashok-naik/ أيضًا ، من أجل دليل السفر إلى ماهاراشترا ومقالات الحفاظ على التراث ، قم بزيارة موقع الويب الخاص بي Wandering Maharashtra - https://wanderingmaharashtra.com / travel-blogs /

آخر المقالات