المعادلة الزاوية للحركة: 3 مفاهيم مهمة


توضح المعادلة الزاوية للحركة ، مجموعة المعادلات سلوك النظام الدوار من حيث حركاته كدالة للوقت. يناقش المقال باستفاضة حول المعادلات الزاوية لحركة النظام الدوار.

تشرح مجموعة معادلات الحركة الثلاثية نظام الدوران كمجموعة من وظائفه الرياضية في المتغيرات الديناميكية. 

أول معادلة زاوية للحركة[اللاتكس] \ omega = \ omega _ {0} + \ alpha t [/ اللاتكس]السرعة الزاوية كدالة للوقت
المعادلة الزاوية الثانية للحركة[اللاتكس] \ Delta \ theta = \ omega _ {0} t + \ frac {1} {2} \ alpha t ^ {2} [/ latex]الإزاحة الزاويّة كدالة للوقت
المعادلة الزاوية الثالثة للحركة [اللاتكس] \ omega ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} + 2 \ alpha \ Delta \ theta [/ latex] السرعة الزاوية كدالة في الإزاحة

كما ترى ، فإن المتغيرات في جميع المعادلات الثلاث هي بشكل عام إحداثيات مكانية وزمن ؛ ولكن تشمل أيضًا مكونات الزخم. إذا حددت ديناميكيات نظام ما ، يمكنك معرفة هذه المجموعات الثلاث من المعادلات ، وهي حلول للمعادلات التفاضلية التي تميز حركة النظام.

يتم تصنيف هذا الوصف للحركة إلى شكلين: دينامية و معادلات الحركة. في الحركة الديناميكية ، تدخل القوة والعزم والطاقة للأشياء في الصورة. بالمقارنة ، فإن الحركة الكينماتيكية معنية فقط بالمتغيرات المشتقة من مواضع الأشياء والوقت.

في هذه المقالة ، نحدد أولاً مجموعة المعادلات التي توضح الروابط بين المتغيرات ؛ ثم استخدم هذه الوصلات لتحليل الحركة الزاوية للجسم الدوار. تقارير التحليل التي حصلنا عليها من المعادلات الزاوية للحركة هي الأساس للحركية الدورانية.

كما ناقشنا التسارع الزاوي ثابت في المقالة السابقة ، يمكن الحصول على مجموعة حركة المعادلة الزاوية من تعريفات الكميات الحركية للجسم الدوار مثل الإزاحة [اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] ، السرعة الأولية [اللاتكس] \ omega_ {0} [/ اللاتكس] ، السرعة النهائية [اللاتكس] \ أوميغا [/ لاتكس] والوقت ر.

المعادلة الزاوية لحركة الجسم الدوار
المعادلة الزاوية للحركة
من تدوير الجسم

عادة ما يتم التعرف على المعادلات الزاوية باعتبارها القوانين الفيزيائية ومن ثم تطبيق تعريفات هذه الكميات الفيزيائية الحركية. ومن ثم يمكن الحصول على حلول هذه المعادلات بتقدير القيم الأولية التي تحدد قيم الثوابت.

اقرأ المزيد عن مقالتنا السابقة على السرعة الزاوية للجسم الدوار.

تشبيه الحركة الزاوية

هناك نظائر لجميع كميات الحركة الخطية مثل المسافة والسرعة والتسارع في الحركة الزاوية ، مما يجعل الحركة الزاوية أكثر راحة للعمل بعد التعرف على الحركة الخطية. 

لنكتب معادلة السرعة الخطية على النحو التالي ،

[اللاتكس] v = \ frac {ds} {dt} [/ اللاتكس] ………… (1)

الحركة الزاوية هي حركة الجسم الدوار حول محور ثابت مساوية للزاوية التي يتحرك عليها المحور بواسطة خط مرسوم للجسم. 

كتعريفات للحركة الزاوية ، دعنا نستبدل الإزاحة [اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] بدلاً من ds ، ورمز السرعة الزاوية [اللاتكس] \ أوميغا [/ اللاتكس] ، بدلاً من السرعة الخطية v ، حصلنا عليها

[اللاتكس] \ omega = \ frac {d \ theta} {dt} [/ اللاتكس] ……… .. (2)

هذا يعني أن السرعة الزاوية للجسم هي الزاوية التي يكتسحها الجسم الدوار لكل وحدة زمنية. 

تشبيه الحركة الزاوية بالحركة الخطية
تشبيه الحركة الزاوية
مع حركة خطية
(المصدر: علم اي بي سي)

باستخدام إحداثيات قطبية دائرية، التي تحدد متجهًا من المحور إلى موضعه ، يمكننا تمثيل إزاحة الجسم الدوار. مثل معادلة السرعة الزاوية ، يمكننا تحديد الموضع باستخدام مجموعة مختلفة من الإحداثيات. بدلًا من استخدام إحداثيات x و y ، يمكن كتابة الإزاحة الزاوية بدلالة نصف قطر صوهي بعده عن الأصل.

تشبيه الحركة الزاوية
تشبيه الحركة الزاوية

[اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] هي الزاوية بين متجه الإزاحة والمحور من خلال الأصل ، وعادة ما يتم قياسها عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور السيني ويتم التعبير عنها عمومًا بالراديان - التي تحول الحركة الخطية إلى الحركة الزاوية بشكل أسهل.

يمكننا تبسيط تحديد معادلات الحركة الأكثر زاوية ، على غرار المعادلات الخطية للحركة - لوصف التطبيقات المختلفة في الفيزياء والهندسة حيث يكون للنظام تسارع زاوي ثابت.

أول معادلة حركية للحركة الزاوية

أول معادلة زاوية للحركة هي معادلة السرعة الزاوية بدالة الزمن. يشرح العلاقة بين الكميات مثل [لاتكس] \ أوميغا [/ لاتكس] ، [لاتكس] \ ألفا [/ لاتكس] و تي.

توضح المعادلة الحركية الأولى لجسم دوار العلاقة بين سرعتها الزاوية والتسارع الزاوي والزمن. بكلمات بسيطة ، يوضح كيف يتسارع الجسم الدوار عندما تتغير سرعته الزاوية مع مرور الوقت. 

السرعة الزاوية ثابتة في a الحركة الدائرية المنتظمة (UCM) ولكن ليس في حركة دورانية. لذلك ، ينتج التسارع الزاوي بسبب التغير في سرعته الزاوية مع مرور الوقت. 

 [اللاتكس] \ alpha = \ frac {d \ omega} {dt} [/ اللاتكس] …………… (3)

كلما كان التباين في السرعة أسرع ، زاد تسارعها. إذا كان الجسم يدور في اتجاه عقارب الساعة ، فإن سرعته موجبة. خلاف ذلك ، فهو سلبي. إذا زادت [اللاتكس] \ أوميغا [/ اللاتكس] ، فإن [اللاتكس] \ ألفا [/ اللاتكس] يكون موجبًا. إذا انخفض ، فإن [اللاتكس] \ ألفا [/ اللاتكس] سلبي. هذا يعني أنه إذا تباطأ الجسم الدوار ، فإن تسارعه يكون سالبًا ، بينما إذا زاد ، يكون تسارعه موجبًا.

دعنا نشتق أول معادلة زاوية للحركة تتعلق بـ [اللاتكس] \ أوميغا [/ اللاتكس] و [اللاتكس] \ ألفا [/ اللاتكس].

نحن نتذكر المشترك معادلة حركية للحركة الخطية على النحو التالي:

[اللاتكس] v = u + at [/ latex] ……………… (4)

العلاقة بين السرعة الخطية والزاوية
العلاقة بين
السرعة الخطية والزاوية

وفقًا لـ [اللاتكس] v = r \ omega [/ latex] ، لدينا علاقة توضح أن التسارع الخطي a والتسارع الزاوي [اللاتكس] \ alpha [/ latex] ثابت. بمعنى آخر،

[اللاتكس] a = r \ alpha [/ latex]

بالتعويض عن قيم v و a في المعادلة (4) ، نحصل على

[لاتكس] r \ omega = r \ omega_ {0} + r \ alpha t [/ latex]

بإلغاء نصف القطر r ، نحصل على الناتج

[اللاتكس] \ omega = \ omega _ {0} + \ alpha t [/ latex] لتسريع ثابت [اللاتكس] \ alpha [/ latex] …………………… .. .. (A)

لاحظ أن المعادلة أعلاه تشبه نسختها الخطية ، إلى جانب نظائرها الزاوية. يمكننا تحديد المزيد من المواقف الأخرى باستخدام مجموعة موحدة من المعادلات الزاوية للحركة بعد تسارع زاوي ثابت.

المعادلة الحركية الثانية للحركة الزاوية

المعادلة الزاوية الثانية للحركة هي معادلة الإزاحة الزاوية بدالة الوقت. يشرح العلاقة بين الكميات مثل [اللاتكس] \ ثيتا [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] \ ألفا [/ اللاتكس] و t.

توضح المعادلة الحركية الثانية للجسم الدوار العلاقة بين إزاحته الزاوية والتسارع الزاوي والوقت. بكلمات بسيطة ، يوضح كيفية دوران الجسم يتسارع عندما يكون الزاوي يتغير الإزاحة مع مرور الوقت. 

لقد حصلنا على أول معادلة زاوية للحركة (A) ، والتي سنستخدمها لحل المزيد من مشاكل الحركة الدورانية.

لنشتق المعادلة الزاوية الثانية للحركة بإعادة ترتيب المعادلة (2) إلى

[اللاتكس] \ omega dt = d \ ثيتا [/ اللاتكس]

بما أن ثابت التسارع الزاوي ، الذي يدمج كلا الجانبين من قيمته الأولية إلى قيمته النهائية ، نحصل عليه

[لاتكس] \ int_ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} (\ omega _ {0} + \ alpha t) dt = \ int _ {\ theta _ {i}} ^ {\ theta _ {f} } د \ ثيتا [/ لاتكس]

[لاتكس] \ int_ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ omega _ {0} dt + \ int_ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ alpha tdt = \ int _ {\ theta _ {i}} ^ {\ theta _ {f}} د \ ثيتا [/ اللاتكس]

[اللاتكس] \ omega_ {0} t + \ frac {1} {2} \ alpha t ^ {2} = \ theta _ {f} - \ theta i [/ latex]

[اللاتكس] \ Delta \ theta = \ omega_ {0} t + \ frac {1} {2} \ alpha t ^ {2} [/ latex] ……………… .. (B)

توفر لنا المعادلة (ب) الموضع الزاوي للجسم الدوار لأشكال أولية معينة والتسارع الزاوي للجسم في وقت معين.

المعادلة الحركية الثالثة للحركة الزاوية

المعادلة الزاوية الثالثة للحركة هي معادلة السرعة الزاوية بدالة إزاحتها الزاوية. يشرح العلاقة بين الكميات مثل [لاتكس] \ أوميغا [/ لاتكس] ، [لاتكس] \ ثيتا [/ لاتكس] ، و تي.

توضح المعادلة الحركية الثانية للجسم الدوار العلاقة بين سرعتها الزاوية والإزاحة الزاوية والوقت. بكلمات بسيطة ، يوضح كيف يغير الجسم الدوار سرعته مع إزاحته في وحدة الزمن. 

لنجد المعادلة الزاوية الثالثة للحركة المستقلة عن الزمن t من خلال حل المعادلة (A) لـ t ،

[اللاتكس] t = \ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ alpha} [/ latex]

استبدال قيمة t في المعادلة (ب) ، نحصل عليها

[اللاتكس] \ Delta \ theta = \ omega_ {0} (\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ alpha}) + \ frac {1} {2} \ alpha (\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ alpha}) [/ لاتكس]

= [اللاتكس] \ frac {\ omega \ omega _ {0}} {\ alpha} - \ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {\ alpha} + \ frac {1} {2} \ frac {\ omega ^ {2}} {\ alpha} - \ frac {\ omega \ omega _ {0}} {\ alpha} + \ frac {1} {2} \ frac {\ omega _ {0} ^ {2 }} {\ alpha} [/ اللاتكس]

= [اللاتكس] \ frac {1} {2} \ frac {\ omega ^ {2}} {\ alpha} - \ frac {1} {2} \ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} { \ alpha} [/ لاتكس]

[اللاتكس] \ Delta \ theta = \ frac {\ omega ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}} {2 \ alpha} [/ latex]

إعادة ترتيب المعادلة أعلاه لـ [اللاتكس] \ أوميغا [/ اللاتكس] ، نحصل عليها

[اللاتكس] \ omega ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} + 2 \ alpha \ Delta \ theta [/ latex] …………. (C)

توضح المعادلة (2) من خلال المعادلة (C) دوران المحور الثابت لتسريع ثابت

معادلات الحركة الحركية
معادلات الحركة الحركية

مانيش نايك

مرحبًا ، أنا مانيش نايك أكملت درجة الماجستير في الفيزياء مع إلكترونيات الحالة الصلبة كتخصص. لدي ثلاث سنوات من الخبرة في كتابة المقالات في مادة الفيزياء. الكتابة ، والتي تهدف إلى توفير المعلومات الدقيقة لجميع القراء ، من المبتدئين والخبراء. في أوقات فراغي ، أحب قضاء وقتي في الطبيعة أو زيارة الأماكن التاريخية. يشرفني أن أكون جزءًا من LambdaGeeks. نتطلع إلى ربطك عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/manish-ashok-naik/ أيضًا ، من أجل دليل السفر إلى ماهاراشترا ومقالات الحفاظ على التراث ، قم بزيارة موقع الويب الخاص بي Wandering Maharashtra - https://wanderingmaharashtra.com / travel-blogs /

آخر المقالات