نظرية الاحتمالية: 7 حقائق سريعة كاملة


نشأت نظرية الاحتمالات من مفهوم المخاطرة. هناك العديد من التعقيدات التي تأتي من لعبة الحظ اليوم ، مثل الفوز بمباراة كرة قدم ، ولعب الورق ، ورمي قطعة نقدية أو رمي النرد. 

تستخدم نظرية الاحتمالية في العديد من القطاعات المختلفة ومرونة نظرية الاحتمالات يوفر أدوات للعديد من المتطلبات المختلفة تقريبًا. سنناقش هنا نظرية الاحتمالات وعينات قليلة بمساعدة بعض المفاهيم والنتائج الأساسية.

تجارب عشوائية:

"التجربة العشوائية هي نوع من التجارب حيث لا يمكن التنبؤ بالنتيجة."

فضاء العينة: 

تسمى مجموعة جميع النتائج المحتملة من التجربة مساحة العينة ، وعادة ما يتم الإشارة إليها بواسطة S ويقال إن جميع نتائج الاختبار هي نقطة عينة.
على سبيل المثال: فكر في التجربة العشوائية لإلقاء عملتين في المرة الواحدة. هناك 2 نتائج تشكل مساحة عينة يُشار إليها بالرمز S = {HH ، TT ، HT ، TH}

القطار والحدث:

كل مجموعة فرعية غير فارغة من A من عينة الفضاء S تسمى حدثًا. ضع في اعتبارك تجربة رمي قطعة نقود. عندما نرمي عملة معدنية ، يمكننا أن نجد رأسًا (H) أو ذيلًا (T). هنا رمي قطعة نقود هو درب والحصول على رأس أو ذيل هو حدث.

أحداث المجمع: 

الأحداث التي يتم الحصول عليها من خلال الجمع بين حدثين أساسيين أو أكثر تسمى الأحداث المركبة أو الأحداث القابلة للتحلل.

الأحداث الحارقة:

يُطلق على العدد الإجمالي للنتائج الممكنة لأي مسار أحداث شاملة.

على سبيل المثال: في رمي النرد النتائج المحتملة هي 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. لذلك لدينا إجمالي 6 أحداث في رمي النرد.

نظام الأحداث الحصري والعابر بشكل متبادل:

دع S هو عينة من مساحة التجربة العشوائية ، إذا كان X1، العاشر2، ......Xn هي مجموعات فرعية من S و

(ط) Xi ∩ Xj = Φ لـ ij و (XNUMX) العاشر1 ∪ X2 ……… ∪ Xn =S

ثم هذه المجموعة من X1∪ X2 ……… ∪ Xn يقال أنه ينشئ نظامًا حصريًا وشاملًا للأحداث.

ما هو الاستقلال؟

عندما نقوم بسحب بطاقة في جيب به بطاقات مضبوطة جيدًا وثانيًا نقوم أيضًا باستخراج بطاقة من الحزمة المتبقية من البطاقات (تحتوي على 51 بطاقة) ، ثم يتم تعليق الاستخراج الثاني في الأول. ولكن إذا قمنا ، من ناحية أخرى ، بسحب البطاقة الثانية من العبوة عن طريق إدخال البطاقة الأولى المسحوبة (استبدال) ، يُعرف السحب الثاني على أنه مستقل عن الأولى.

على سبيل المثال:  تم طرح عملتين. دع العملة الأولى التي لها رأس هي الحدث X و Y تكون العملة الثانية التي تظهر الذيل بعد الرمية. حدثان X و Y مستقلان بشكل أساسي.

على سبيل المثال:   يتم رسم اثنين من النرد العادل. إذا جاء الرقم الفردي في النرد الأول ، فاعتبره الحدث X وللرقم الزوجي الثاني باعتباره الحدث Y.

الحدثان X و Y مستقلان بشكل متبادل.

مثال: بطاقة مأخوذة من حزمة من 52 بطاقة. إذا A = البطاقة من القلوب ، B = البطاقة هي ملك و A ⋂ ​​B = البطاقة هي ملك القلوب ، ثم الأحداث A و B تعتمد

عدد مناسب من القضايا: عدد الحالات التي تسمح بمحاكمة حدث ما في محاكمة هو العدد الإجمالي للأحداث الأولية التي يضمن جانب أي منها حدوث الحدث.

ما هو المقصود بالاحتمالية 

إذا نتج عن مظاهرة تعسفية n نتائج غير متناسقة ، متساوية الاحتمال وشاملة ، منها m يوافق على وقوع الحدث A، ثم احتمال حدوث A اعطي من قبل

تدوين الاحتمال: P (X) = m / n

لحدثين X و Y ،

(ط) X ′ أو   أو XC يشير إلى عدم حدوث أو نفي X.

(XNUMX) العاشر ∪ Y تعني حدوث أي واحد على الأقل من X و Y.

(ثالثا) العاشر ∩ Y تعني حدوث متزامن لـ X و Y.

(رابعا) X ′ ∩ Y تعني عدم حدوث أحدهما والآخر X و Y.

(v) X⊆ Y تعني أن "حدوث X يشير إلى حدوث Y".

على سبيل المثال: دلو يحتوي على 6 كرات حمراء و 7 كرات سوداء. أوجد احتمال رسم كرات حمراء اللون. 

الحل: المجموع لا. الطرق الممكنة للحصول على قطعة واحدة من الرخام = 1 + 6

 عدد طرق الحصول على قطعة واحدة من الرخام الأحمر = 1 

الاحتمال = (عدد الحالات المواتية) / (العدد الإجمالي للحالات الشاملة) = 6/13

على سبيل المثال: من حزمة من 52 بطاقة ، يتم سحب بطاقة واحدة بشكل عشوائي. أوجد احتمال الحصول على بطاقة ملكة.

الحل: يمكن اختيار بطاقة الملكة بأربع طرق.

 إجمالي عدد طرق اختيار بطاقة ملكة واحدة = 1 

الاحتمال = عدد الحالات المواتية / إجمالي عدد الحالات الشاملة = 4/52 = 1/13

على سبيل المثال: أوجد احتمال الرمي:

(أ) الحصول على 4 ، (ب) عدد فردي ، (ج) عدد زوجي 

مع يموت عادي (ستة وجوه). 

حل: المشكلة هي مشكلة النرد

أ) عند رمي نرد ، هناك طريقة واحدة فقط للحصول على 4.

الاحتمال = عدد الحالات المواتية / إجمالي عدد الحالات الشاملة = 1/6

ب) عدد طرق هبوط عدد فردي هو 1 ، 3 ، 5 = 3

الاحتمال = عدد الحالات المواتية / إجمالي عدد الحالات الشاملة = 3/6 = 1/2

ج) عدد طرق هبوط عدد زوجي هو 2 ، 4 ، 6 = 3

الاحتمال = عدد الحالات المواتية / إجمالي عدد الحالات الشاملة = 3/6 = 1/2

على سبيل المثال: ما هي الفرصة المحتملة للعثور على ملك وملكة ، عندما يتم سحب بطاقتين من حزمة من 2 ورقة لعب؟

حل:  يمكن سحب بطاقتين من حزمة من 2 بطاقة = 52C2 (52 اختر 2) طريقتين

52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

يمكن اختيار بطاقة ملكة واحدة من 1 بطاقات كوين = 4C1= 4 طرق (4 اختر 1) 

يمكن الحصول على بطاقة كينغ واحدة من 1 بطاقات ملك = 4C1= 4 طرق (4 اختر 1)

الحالات المواتية = 4 × 4 = 16 طريقة

P (رسم 1 Queen & 1 king card) = عدد الحالات المواتية / إجمالي عدد الحالات الشاملة = 16/1326 = 8/663

على سبيل المثال: ما هي فرص الحصول على 4 أو 5 أو 6 في الرمية الأولى و 1 أو 2 أو 3 أو 4 في الرمية الثانية إذا تم رمي النرد مرتين. 

حل:

دع P (A) = احتمال الحصول على 4 أو 5 أو 6 في الرمية الأولى = 3/6 = 1/2

و P (B) = احتمال الحصول على 1 أو 2 أو 3 أو 4 في الرمية الثانية = 4/6 = 2/3

يكون احتمال الأحداث إذن

نظرية الاحتمالات

على سبيل المثال: كتاب يحتوي على إجمالي عدد صفحات 100 ، إذا تم تحديد أي صفحة بشكل تعسفي. ما هي الاحتمال المحتمل أن يكون مجموع كل أرقام رقم الصفحة المحددة هو 11.

حل:  عدد الطرق المفضلة للحصول على 11 سيكون (2 ، 9) ، (9 ، 2) ، (3 ، 8) ، (8 ، 3) ، (4 ، 7) ، (7 ، 4) ، (5 ، 6) ) ، (6 ، 5)

ومن ثم فإن الاحتمال المطلوب = 8/100 = 2/25

على سبيل المثال: دلو يحتوي على 10 كرات بيضاء و 6 حمراء و 4 سوداء و 7 كرات زجاجية. يتم سحب 5 كرات من الرخام بشكل عشوائي. ما احتمال أن يكون اثنان منهم باللون الأحمر والآخر باللون الأسود؟

حل: 

مجموع لا. عدد الكرات = 10 + 6 + 4 + 7 = 27

يمكن استخلاص 5 كرات من الرخام الـ 27 = 27 اختر 5 طرق

= 27C5=27!/[5!(27-5)!]=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

مجموع لا. عدد الأحداث الشاملة = 80730

يمكن استخلاص كرتين من الرخام الأحمر من 2 كرات حمراء = 6 طرق

= 6C2=6!/[2!(6-2)!]=(6*5)/2=15

يمكن سحب قطعة من الرخام الأسود من 1 كرات سوداء = 4 اختر طريقة واحدة = 4C1=4

∴ عدد الحالات المواتية = 15 × 4 = 60

ومن ثم فإن الاحتمال المطلوب = عدد الحالات المواتية إجمالي عدد الحالات الشاملة

الخلاصة:

   يوفر نظرية الاحتمالات ممتع للغاية وقابل للتطبيق في حياتنا اليومية الاحتمالات تبدو النظرية والأمثلة مألوفة لنا ، هذه في الواقع نظرية كاملة تُستخدم الآن أيامًا في العديد من التقنيات والتطبيقات ، كانت هذه المقالة مجرد لمحة عن مفهوم الاحتمالية التي ستتناولها المقالات المتتالية مع مفهوم التفاصيل ونتائج الاحتمالية لمزيد من الدراسة يرجى الرجوع إلى الكتاب أدناه:

المرجع: مخططات Schaum للاحتمالات والإحصاء.

إذا كنت مهتمًا بقراءة موضوعات أخرى في الرياضيات ، يرجى الاطلاع عليها هذه الصفحة.

الدكتور. محمد مزهر اول حق

أنا د. محمد مظهر الحق ، أستاذ مساعد في الرياضيات. لديه خبرة 12 سنة في التدريس. امتلاك معرفة واسعة في الرياضيات البحتة ، على وجه التحديد في الجبر. امتلاك القدرة الهائلة على تصميم المشكلات وحلها. قادرة على تحفيز المرشحين لتحسين أدائهم. أحب المساهمة في Lambdageeks لجعل الرياضيات بسيطة ومثيرة للاهتمام وتشرح الذات للمبتدئين وكذلك الخبراء. دعنا نتواصل عبر LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

آخر المقالات